山东省烟台市中英文学校届高三数学上学期冬学竞赛试题.docx
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山东省烟台市中英文学校届高三数学上学期冬学竞赛试题
山东省烟台市中英文学校2021届高三数学上学期冬学竞赛试题
一、单选题：
本大题共8个小题.每小题5分；共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.复数的共轭复数为（）
A.B.C.D.
2.已知全集，集合,集合，那么=（）
A.B.C.D.
3、已知，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件
4、已知为等差数列，为其前项和，若，则（）
A.49B.91C.98D.182
5、已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（）
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
6、已知向量，，，则（）
A.B.C.5D.25
7、函数的图象大致是
A.B.
C.D.
8、已知函数，（其中为自然对数的底数），
若函数有4个零点，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
二、多选题：
本大题共4个小题.每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共20分
9、设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（）
A.B.C.D.、均为的最大值
10、下列命题正确是：
（）
A.函数的图像关于坐标原点对称，
B.若，，，，则，
C.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
D.设、，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则不与垂直
11、对于函数，下列正确的是（）
A.是函数的一个极值点
B.的单调增区间是，
C.在区间上单调递减
D.直线与函数的图象有3个交点
12.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：
）表示他从小岛到城镇的时间,（单位：
）表示此人将船停在海岸处距点的距离.设，，则（）
A．函数为减函数
B．
C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少
D、当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过
三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：
文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如果两个埃及分数与的和表示等.从这个埃及分数中挑出不同的个，使得它们的和为，这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）
14.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴上的非负半轴，，
点是终边上一点，则的值是．
15、已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=.
16、设函数的最大值为，最小值为，则=___________.
四、解答题：
本大题共6小题，共70分．其中17题10分，其它题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，若，，
且的面积为，求的值.
18、在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角的对边分别为，且满足.
，求的面积.
注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
19、已知数列前项和为，其中为常数．
（1）证明：
；
（2）是否存在，使得为等差数列？
并说明理由．
20、在数列中，已知，，且对于任意正整数都有.
（1）令，求数列的通项公式.
（2）求的通项公式.
21、已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若函数与有相同极值点．
①求实数的值；
②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，
求实数的取值范围．
22、已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为.
（1）求；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，求证：
数学答案
1、复数，共轭复数为，故答案为B．
2.由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以.
故答案为C
3、A
4∵，∴，即，
∴，故选B．
5、函数，所以将函数的图象向左平移个单位时，可得到的图象，选A.
6、解：
∵向量，∴，
∵，，
，.故选：
C.
7、当时，
故函数图像过原点，排除又，令
则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除
故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有符合要求故选
【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．
8、解：
函数为偶函数，且的最大值为1，
由的导数为，
可得时，递增，或，递减，
取得极小值，
作出，的图象，
函数有4个零点，即为有四个解，
可令，
若，则，则有3解，不符题意；
若，则有4解，两个负的，两个正的，
则可能有4，6解，不符题意；
若，则有4解，两个负的，两个正的，（一个介于，一个大于1），
则有6解，不符题意；
若，则有4解，两个负的，两个正的（一个介于，一个大于1），
则有4解，符合题意.故选：
B.
9、解：
由得，即，
又∵，，，故B正确；
同理由，得，
，故A正确；
对C，，即，可得，
由结论，显然C是错误的；
与均为的最大值，故D正确；故选：
ABD.
【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.
10、解：
对A：
的定义域为，，则为奇函数，故A正确；
对B：
由得，则，故，故B正确；
对C：
由题可得，得，解得，则当时，的最小值为，故C正确；
对D：
，则与垂直，故D错误.故选：
ABC.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题.
11、解：
由题得，
令，可得，
则在，上单调递增，在上单调递减，
是函数的一个极值点，
故AC正确，B错误；
因为，，
又，
根据在上单调递减得
得，
所以直线与函数图象有3个交点，故D正确.故选：
ACD.
12、AC
13、
14、
15、解：
∵θ是第四象限角，∴，则，
又sin（θ），
∴cos（θ）．
∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．
则tan（θ）＝﹣tan（）．故答案为．
16、，令，则为奇函数，
所以的最大值和最小值和为0，又.
有，即.答案为：
2.
17、解：
（1），
的最小正周期为；
（2），∴，
，则，∴，
∵，∴，
又的面积为，∴，
∴，则，，
由余弦定理得.
18、在横线上填写①“”
解：
由正弦定理，得
由，得，
由，得．所以
又（若，则．这与矛盾），
所以．
又，得.
由余弦定理及，得.
即．将代入，解得．
所以．
在横线上填写②“”
解：
由及正弦定理，得
．
又，
所以有
因为，所以．
从而有．又所以.
由余弦定理及，得，
即．将代入，解得．
所以．
在横线上填写③“”
解：
由正弦定理，得.
由，得，所以．
由二倍角公式，得
由，得，所以.所以，即.
由余弦定理及，得，
即．将代入，解得．
所以．
19、（I）由题设，，．两式相减得，．
由于，所以．
（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．
故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，．
所以，．因此存在，使得为等差数列．
20、解：
（1）由已知可得，
即，则是公比为的等比数列，又，
所以，即；
（2）由
（1）知，
所以，
令，
有，则是公比为的等比数列，又，
所以，
所以.
21、
（1），
由得，由得，
∴在上为增函数，在上为减函数，
∴函数的最大值为；
（2）∵，∴，
（Ⅰ）由
（1）知，是函数的极值点，又∵函数与有相同极值点，
∴是函数的极值点，∴，解得，
经检验，当时，函数取到极小值，符合题意；
（ⅱ）∵，，，∵，即，∴，，
由（ⅰ）知，∴，当时，，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，∵，
而，∴，∴，，
①当，即时，对于，不等式恒成立
，
∵，∴，又∵，∴，
②当，即时，对于，不等式，
，
∵，∴，又∵，
∴．综上，所求的实数的取值范围为．
22、解：
（1）对求导，得.
因此.又因为.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
由题意，
显然适合上式.
令，求导得，
因此为增函数．故是唯一解．
（2）由
（1）可知，
因此
所以为减函数．
因为
所以为增函数.
（3）证明：
由，易得.
.
由
（2）可知，在上为减函数.
因此，当时，，即．
令，得，即．
因此，当时，．所以成立
下面证明：
.
由
（2）可知，在上为增函数.
因此时，，即.
因此，即.
令，得，即.
当时，.
因为，
所以，
所以.
所以，当时，.
所以，当时，成立.
综上所述，当时，成立.
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