MATLAB中的矩阵与向量运算.docx
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MATLAB中的矩阵与向量运算
之欧侯瑞魂创作
4.1数组运算和矩阵运算
从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操纵简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表4.1.1列出了两种运算指令形式的实质内涵的异同.
4.1.1数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵
数组运算矩阵运算
指令含义指令含义
A.'非共轭转置A'共轭转置
A=s把标量s赋给数组A的每个元素
s+B把标量s分别与数组B的每个元素相加sB,Bs标量s分别与数组B的元素之差
s.*A标量s分别与数组A的元素之积s*A标量s分别与矩阵A的元素之积
s./B,B.\s标量s分别被数组B的元素除s*inv（B）矩阵B的逆乘标量s
A.^n数组A的每个元素的n次方A^nA为方阵时,矩阵A的n次方
A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加
AB数组对应元素的相减AB矩阵相减
A.*B数组对应元素的相乘A*B内维相同矩阵的乘积
A./BA的元素被B的对应元素除A/BA右除B
B.\A一定与上相同B\AA左除B（一般与右除分歧）
exp（A）以e为底,分别以A的元素为指数,求幂expm（A）A的矩阵指数函数
log（A）对A的各元素求对数logm（A）A的矩阵对数函数
sqrt（A）对A的积各元素求平方根sqrtm（A）A的矩阵平方函数
从上面可以看到,数组运算的运算如:
乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,介入运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维.
4.2数组的基本运算
在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组.
4.2.1点转置和共轭转置
.'——点转置.非共轭转置,相当于conj（A'）.
>>a=1:
5;
>>b=a.'
b=
1
2
3
4
5
>>c=b.'
c=
12345
这标明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量.
'——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如:
>>d=a+i*a
d=
Columns1through3
1.0000+1.0000i2.0000+2.0000i3.0000+3.0000i
Columns4through5
4.0000+4.0000i5.0000+5.0000i
>>e=d'
e=
1.00001.0000i
2.00002.0000i
3.00003.0000i
4.00004.0000i
5.00005.0000i
4.2.2纯量（标量）和数组的四则运算
纯量和数组之间可以进行简单数学运算.如:
加,减,乘,除及其混合运行.
>>g=[1234
5678
9101112]
>>g=g2
g=
1012
3456
78910
>>2*g1
ans=
3113
57911
13151719
4.2.3数组间的四则运算
在MATLAB中,数组间进行四则运算时,介入运算的数组必须具有相同的维数,加,减,乘,除运算是按元素与元素的方式进行的.其中,数组间的加,减运算与矩阵的加,减运算要同,运算符为:
"+","".但是,数组间的乘,除运算与矩阵间的乘,除运算完全分歧,运算符号也有不同,数组间的乘,除运算符为:
".*","./"或".\".
1.数组按元素相加,减
>>g=[1234
5678
9101112]
>>h=[1111;2222;3333]
>>g+h%按元素相加
ans=
2345
78910
12131415
>>ansh%按元素相减
ans=
1234
5678
9101112
>>2*gh%混合运算
ans=
1357
8101214
15171921
2.按元素乘
>>g.*h
ans=
1234
10121416
27303336
3.按元素除
数组间的除法运算符有两个,即左除:
"./"和右除:
".\",它们之间的关系是:
a./b=b.\a
>>g./h
ans=
1.00002.00003.00004.0000
2.50003.00004.10004.0000
3.00003.33333.66674.0000
>>h.\g
ans=
1.00002.00003.00004.0000
2.50003.00004.10004.0000
3.00003.33333.66674.0000
4.2.4幂运算
在MATLAB中,数组的幂运算的运算为:
".^",暗示每一个元素进行幂运算.
>>g.^2%数组g每个元素的平方
ans=
14916
25364964
81100121144
>>g.^
（1）%数组g的每个元素的倒数
ans=
1.00000.50000.33330.2500
0.20000.16670.14290.1250
0.11110.10000.09090.0833
>>2.^g%以g的每个元素为指数对2进行乘方运算
ans=
24816
3264128256
512102420484096
>>g.^h%以h的每个元素为指数对g中相应元素进行乘方运算
ans=
1234
25364964
729100013311728
>>g.^（h1）
ans=
1111
5678
81100121144
4.2.5数组的指数,对数和开方运算
在MATLAB中,所谓数组的运算实质是是数组内部每个元素的运算,因此,数组的指数,对数和开方运算与标量的运算规则完全是一样的,运算符函数分别为:
exp（）,log（）,sqrt（）等.
>>a=[134;265;324];
>>c=exp（a）
c=
2.718320.085554.5982
7.3891403.4288148.4132
20.08557.389154.5982
>>
数组的对数,开方运算与数组的指数运算,其方式完全一样,这里不详述.
4.3向量运算
对于一行或一列的矩阵,为向量,MATLAB有专门的函数来进行向量点积,叉积和混合积的运算.
4.3.1向量的点积运算
在高等数学中,我们知道,两向量的点积指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积,通经常使用来定义向量的长度.在MATLAB中,向量的点积用函数"dot"来实现,其调用格式如下:
C=dot（A,B）——返回向量A与B的点积,结果存放于C中.
C=dot（A,B,DIM）——返回向量A与B在维数为DIM的点积,结果存放于C中.
>>A=[24531];
>>B=[38101213];
>>C=dot（A,B）
C=
137
>>C=dot（A,B,4）
C=
632503613
4.3.2向量的叉积运算
在高等数学中,我们知道,两向量的叉积返回的是与两个向量组成的平面垂直的向量.在MATLAB中,向量的点积用函数"cross"来实现,其调用格式如下:
C=cross（A,B）——返回向量A与B的叉积,即:
结果存放于C中.
C=cross（A,B,DIM）——返回向量A与B在维数为DIM的叉积,结果存放于C中.
>>A=[245];
>>B=[3810];
>>C=cross（A,B）
C=
054
4.3.3向量的混合运算
>>D=dot（A,cross（B,C））
D=
41
上例标明,首先进行的是向量B与C的叉积运算,然后再把叉积运算的结果与向量A进行点积运算.
4.4矩阵的基本运算
如果说MATLAB的最大特点是强大的矩阵运算功能,此话毫不为过.事实上,MATLAB中所有的计算都是以矩阵为基本单元进行的.MATLAB对矩阵的运算功能最全面,也是最为强大的.矩阵在形式上与构造方面是等同于前面所述的数组的,当其数学意义却是完全分歧的.
矩阵的基本运算包含矩阵的四则运算,矩阵与标时的运算,矩阵的幂运算,指数运算,对数运算,开方运算及以矩阵的逆运算,行列式运算等.
4.4.1矩阵的四则运算
矩阵的四则运算与前面介绍的数组的四则运算基底细同.但也有一些不同.
1.矩阵的加减
矩阵的加,减与数组的加,减是完全相同的,运算时要求两矩阵的大小完全相同.
>>a=[12;35;26];
>>b=[24;18;90];
>>c=a+b
c=
36
413
116
2.矩阵的相乘
对于矩阵的乘法,从线性代数中,我们知道,要求进行相乘的两矩阵有相同的公共维.如:
>>a=[12;35;26];
>>b=[241;890];
>>c=a*b
c=
18221
46573
52622
设A矩阵为一个阶的矩阵,则要求与之相乘的B矩阵必须是一个阶,得到矩阵是阶的.即,只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时,两个矩阵的乘积才有意义.
3.矩阵的除法
对于矩阵的除法有两个运算符号,分别为左除符号"\"和右除符号"/".矩阵的右除运算速度要慢一点,而左除运算可以防止奇异矩阵的影响.
对于方程,若此方程为超定的方程,则使用除法可以自动找到使的平方最小化的解.若此方程为不定方程,则使用除法运算符至少求得的解至多有rank（A）（矩阵A的秩）个非零元素,而且求得的解是这种类型的解中范数最小的一个.
>>a=[213420;57820;211417;343138];
>>b=[10203040]';
>>x=b\a
x=
0.76671.18670.8767
上面方程是超定方程.要注意的:
结果矩阵x是列向量形式.如果,
>>a=[2134205;78202114;17343138];
>>b=[102030]';
>>x=b\a
x=
1.62861.25711.10711.0500
上面的方程为不定方程.
4.矩阵与标量间的四则运算
矩阵与标量的四则运算和数组与标量间的四则运算完全相同,即矩阵中的每个元素与标量进行加,减,乘,除四则运算.需要说明的是,当进行除法运算时,标量只能做除数.
5.矩阵的幂运算
矩阵的幂运算与标量的幂运算分歧.用符号"^",它不是对矩阵的每个元素进行幂运算,而是与矩阵的某种分解有关.
>>b=[213420;782021;173431];
>>c=b^2
c=
343320741754
355537662631
35362312
6.矩阵的指数,对数运算与开方运算
矩阵的指数运算,对数运算与开方运算与数组相应的运算是分歧的.它其实不是对矩阵中的单个元素的运算,而是对整个矩阵的运算.这些运算函数如下:
expm,expm1,expm2,expm3——指数运算函数;
logm——对数运算函数;
sqrtm——开方运算函数.
>>a=[134;265;324];
>>c=expm（a）
c=
1.0e+004*
0.46680.76940.9200
0.79191.30651.5613
0.48070.79190.9475
>>c=logm（a）
c=
0.5002+2.4406i0.59600.6800i0.78811.2493i
0.4148+0.4498i1.46600.1253i1.01080.2302i
0.57801.6143i0.4148+0.4498i1.0783+0.8263i
>>c=sqrtm（a）
c=
0.6190+0.8121i0.81280.2263i1.16230.4157i
0.3347+0.1497i2.30220.0417i1.14750.0766i
1.02710.5372i0.3347+0.1497i1.6461+0.2750i
7.矩阵的转置,逆运算与行列式运算
矩阵的转置的运算符为"'".求逆用运算函数:
inv（）.而用函数:
det（）则可求的矩阵行列式的大小.
>>a=[120;251;4101];
>>c=a'
c=
124
2510
011
>>b=inv（a）
b=
522
211
021
>>d=det（a）
d=
1
4.5矩阵的特殊运算
矩阵的特殊运算包含矩阵特征值运算,条件数运算,奇异值运算,范数运算,秩运算,正交化运算,迹运算,伪逆运算等,这些运算,MATLAB都可以非常方便地给出.
4.5.1矩阵的特征值运算
在线性代数中,计算矩阵的特征值过程相当复杂.而在MATLAB中,矩阵特征值运算只需用函数"eig（）"或"eigs（）"计算即可得到.其使用格式如下.
E=eig（X）——生成由矩阵X的特征值所组成的一个列向量;
[V,D]=eig（X）——生成两个矩阵V和D,其中V是以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵,D是由矩阵X的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵.
eigs（）函数使用迭代法求解矩阵的特征值和特征向量.
D=eigs（X）——生成由矩阵X的特征值所组成的一个列向量.X必定是方阵,最好是大型稀疏矩阵;
[V,D]=eigs（X）——生成两个矩阵V和D,其中V是以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵,D是由矩阵X的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵.
>>a=[120;251;4101];
[b,c]=eig（a）
b=
0.24400.91070.4472
0.33330.33330.0000
0.91070.24400.8944
c=
3.732100
00.26790
001.0000
4.5.2矩阵（向量）的范数运算
为了反映了矩阵（向量）某些特性,线性代数中引入了范数的概念,它分为2范数,1范数,无穷范数和Frobenius范数等.在MATLAB中,用函数norm（）或normest（）计算矩阵（向量）的范数.其使用格式如下.
norm（X）——计算矩阵（向量）X的2范数;
norm（X,2）——同上;
norm（X,1）——计算矩阵（向量）X的1范数;
norm（X,inf）——计算矩阵（向量）X的无穷范数;
norm（X,'fro'）——计算矩阵（向量）X的Frobenius范数;
normest（X）——只计算矩阵（向量）X的2范数;而且是2范数的估计值,适用于计算norm（X）比较费时的情况.
>>X=hilb（4）
X=
1.00000.50000.33330.2500
0.50000.33330.25000.2000
0.33330.25000.20000.1667
0.25000.20000.16670.1429
>>norm（4）
ans=
4
>>norm（X）
ans=
1.5002
>>norm（X,2）
ans=
1.5002
>>norm（X,1）
ans=
2.0833
>>norm（X,inf）
ans=
2.0833
>>norm（X,'fro'）
ans=
1.5097
>>normest（X）
ans=
1.5002
4.5.3矩阵的条件数运算
矩阵的条件数是判断矩阵"病态"程度的一个量值,矩阵A的条件数越大,标明A越"病态",反之,标明A越"良态".如Hilbert矩阵就是一个有名的病态矩阵.
cond（X）——返回矩阵X的2范数的条件数;
cond（X,P）——返回矩阵X的P范数的条件数,其中P为1,2,inf或fro;
rcond（X）——用于计算矩阵条件数的倒数值,当矩阵X为"病态"时,rcond（X）就接近0,X为"良态"时,rcond（X）就接近1.
condest（X）——计算关于矩阵X的1范数的条件数的估计值.
>>M=magic（3）
M=
816
357
492
>>H=hilb（4）
H=
1.00000.50000.33330.2500
0.50000.33330.25000.2000
0.33330.25000.20000.1667
0.25000.20000.16670.1429
>>c1=cond（M）
c1=
4.3301
>>c2=cond（M）
c2=
4.3301
>>c3=rcond（M）
c3=
0.1875
>>c4=condest（M）
c4=
5.3333
>>h1=cond（H）
h1=
1.5514e+004
>>h2=cond（H,inf）
h2=
2.8375e+004
>>h3=rcond（H）
h3=
3.5242e005
>>h4=condest（H）
h4=
2.8375e+004
从上计算可以看出,魔方矩阵比较"良态",而Hilbert矩阵是"病态"的.
4.5.4矩阵的秩
秩是线性代数中的相当重要的概念之一,通常矩阵可以经过初等行列式或列变换,将其转化为行阶梯形矩阵,而行阶梯矩阵所包含非零行的行数是一个定的,这个确定的非零行的行数就是矩阵的秩.矩阵中的秩用函数rank（）来计算.
>>T=rand（6）
T=
0.95010.45650.92180.41030.13890.0153
0.23110.01850.73820.89360.20280.7468
0.60680.82140.17630.05790.19870.4451
0.48600.44470.40570.35290.60380.9318
0.89130.61540.93550.81320.27220.4660
0.76210.79190.91690.00990.19880.4186
>>r=rank（T）
r=
6
由上计算可知,矩阵T为满秩矩阵.
>>T1=[111;223]
T1=
111
223
>>r=rank（T1）
r=
2
由上计算可知,矩阵T1为行满秩矩阵.
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