人教版高中数学必修三割圆术教学设计.docx
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人教版高中数学必修三割圆术教学设计
一般高中课程标准实验教科书必修3
第一章算法初步
阅读与思虑割圆术求圆周率教育设计
河北省沧州市第一中学〔061000〕鲍启静
一、本课教育内容的实质、职位、作用分析
割圆术求圆周率是算法初步这一章结束后设置的阅读与思虑内容，是对本章所学知识的具
体应用。
“割圆术”是由中国古代的数学家刘徽提出的，是那时计算圆周率的比较先进的算法，
到现在仍有必定的应用价值。
它表现了以直代曲、无穷趋近、“表里夹逼”的思想，这些思想是人
们在解决数学问题时最基本、最朴素的思想，在其余限制也有着遍布的应用。
“割圆术”这个算
法自己很风趣，操作性强，“算理”鲜亮，能被翻译成计算机程序上机运转，表现了中国古代数
学的算法特点。
同时，缭绕着圆周率的计算这个问题有很多风趣的故事，比如从古到现在很多半学
家不知疲倦的计算圆周率的故事及一些经典而风趣的算法等，从而引起了学生的民族骄横感和爱
国精神，培育了追求科学真谛、为科学而献身的精神，培育改革精神和对新事物的敏感性。
二、教育目标分析
1.知识目标：
使学生在鲜亮问题的基础上，能设计形式，经过编写计算机程序求出圆周率。
2.本事目标：
在教育过程中，让学生领会割圆术算法步骤，使学生深刻理解由特别到正常的归纳推理思想。
在让学生自主研究利用计算机计算圆周率的过程中，培育学生的逻辑思想本事以及解决实质问题
时主动应用数学知识的本事。
3.德育浸透目标：
经过研究与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴质无华的内在美，
学会提出问题、分析问题、解决问题、推行结论从而完美结论的数学应企图识，引起学生勇于探
索、敢于改革的精神，优化学生的思想质量。
三、学情分析：
理解“割圆术”的算法步骤关于学生来讲其实不难，学生已经具备了由详细问题抽象归纳、总
结归纳的本事。
但写出这一算法所对应的程序框图，特别是循环构造的程序框图对学生来说难度较大，所以，这一部分的教育由教师指导、小组沟通相联合突破难点。
四、教育策略分析：
《一般高中数学课程标准》指出：
高中数学课程应力争经过各种不一样形式的自主学习、研究
活动，让学生体验数学发现和成立的历程。
新课程标准的价值取向是要请教师成为决议者而不是
实行者，要请教师成立出班级氛围、成立出某种学习状况、设计相映教育活动并表达自己的教育
看法等等。
鉴于以上思想，本节课采纳问题式教育为主线，辅以启迪式、研究式、自主式、议论
式教育形式。
五、教育过程：
1.【追根问底、感觉光辉】
算法初步这一章的学习结束了，在这一章，我们学习了算法、程序框图和算法语句。
这些知识看起来很简单，实在能够解决大问题。
今日我们就踏着科学家的踪迹重温圆周率的研究历程，来体验一下计算机给我们带来的改变。
先请一个同学依据你课前查阅的资料，给大家介绍一下你所认识的圆周率。
方案1：
学生也许会从圆周率的界说及刘徽提出的“割圆术”和祖冲之计算的正确圆周率等方面作答。
其余同学还有增补吗？
方案2：
学生也许还会对圆周率计算的发展史感兴趣。
方才两位同学说得分外出色。
他们辩解表达了圆周率的界说和计算的发展史。
在计算的发展
史中，有三点值得我们分外注意：
①我国最早在先秦期间使用圆周率的值为3；②公元263年我
国数学家刘徽提出“割圆术”，并将圆周率计算到3.14；③南北朝期间祖冲之将圆周率计算到3.1415926~3.1415927之间，他的计算结果不不过那时最精巧的圆周率，同时在世界上处于领
先职位长达1000多年。
他是肩负并发展了刘徽提出的“割圆术”，什么是“割圆术”呢？
我们先看下边这个问题。
【设计企图】
经过让学生自己查阅资料，认识圆周率及其计算的发展史，从而感觉绚烂光辉的中华文化，
引起民族骄横感和爱国精神。
2.【抽丝剥茧、感悟思想】
比如此刻有一条弧，做它的随意一条割线与弧交于
A,B
两点，明显
AB
的长度大于线段
AB
的长度。
接下来，取
AB的中点，那么与线段
AB对比，这条折线的长度更凑近
AB的长度。
继
续取这两段弧的中点，
所得折线的长度就进一步凑近
AB的长度了。
那我们怎么才能使得折线的
长度无穷凑近
AB
的长度呢？
【问题
1】如何才能使折线的长度无穷凑近
AB
的长度？
方案：
学生很简单意识到要连续取各弧的中点，所得折线的长度就愈来愈凑近
AB的长度。
对。
实在，不必定非得取中点，取三平分点也能够，甚至取弧上随意一点都能够。
可是为了利便起见，我们没关系取中点。
这样我们就能够获得这条曲线长度的近似值。
这类形式就叫做“以
直代曲”。
它不仅能够帮助我们求得曲线长度的近似值，也能够帮助我们解决曲边图形的面积问题。
比如说，我们能够用圆内接正六边形的面积来预计该圆的面积，但这个值明显不够正确。
假如想要获得更正确一些的值，该怎么做呢？
方案：
依据前面割弧所得的体验，学生简单想到取各弧的中点
取各弧的中点获得一个圆内接正十二边形，它的面积更凑近圆的面积。
假如再连续分开，做成圆的内接正二十四边形，它的面积更进一步凑近圆的面积了。
要想让圆内接正多边形的面积无穷凑近圆的面积该怎么办？
方案：
不停分开下去
对。
当圆的半径等于1时，圆的面积就是圆周率。
而边数n能够无穷增大，n越大，获得
的面积S越凑近于，未来我们会学到它的极限值就是圆周率。
这就是刘徽所提出的“割圆
术”。
“割圆术”完满表现了“无穷迫近”以及“以直代曲”的思想。
这两种思想在其余限制还有遍布的应用。
下边，我们先领会领会割圆术的原理与手工计算。
【设计企图】
在师生沟通中，提出以直代曲及无穷迫近等思想，逐渐扒开表象看实质，让学生感悟“割圆术”所表现的思想，并领会形式的震惊力。
这样一来，学生会对接下来的学习充满了好奇与期望。
3.【传承知识、领会形式】
因为圆周率
等于圆面积与半径平方之比，为了更为简单的计算
，没关系设圆的半径为1.
此时，我们应当如何计算圆内接正六边形的面积呢？
【问题2】如何计算圆内接正六边形的面积。
方案：
因为学生初中进行过大批平面几何的训练，所以不难得悉：
圆的半径等于
1，故这个正六
边形的边长也等于
1.而这个正六边形能够看作是由六个边长为
1
的正三角形构成的。
其
2
中，在直角三角形
OPA中利用勾股定理能够求得正三角形的高
h6
1
x6
，那么正
2
三角形的面积就是二分之一底乘高，底是正六边形的边长，即
1*x6*h6
3
，所以圆
2
4
P
3
内接正六边形的面积
S66*
A
4
x6
1
O
Q
x6
2
h6
1
2
S6
3
6*
4
接下来，取圆的六段弧的中点，就获得圆内接正十二边形。
从图中，你发现S12与S6的关
P
B
A
系了吗？
方案：
因为有图形的直观做协助，学生很简单观察获得
S12等于S6加上6个等腰三角形的面积。
那么如何利用S6表示圆内接正十二边形的面积呢？
【问题3】如何利用S6表示圆内接正十二边形的面积？
方案：
学生依据前面计算圆内接正六边形的经验，很简单求出三角形PBQ的面积等于
1
*x6*
1h6
1
*x6*（1
h6）
2
，从而获得S12S66*
6*1
2
S
S
*x*（1h）
12
6
2
6
6
6边形的面积很轻松地获得了正
12边形的面积，那我要算圆的内接正
24
这样我们利用正
边形的面积又该怎么做呢？
方案：
有了前面从圆内接正六边形到圆内接正十二边形的演变过程，
学生会自但是然的将圆弧继
续平分就获得圆的内接正
24边形。
它比圆内接正12边形多出
12个三角形，每一个三角形
的面积等于1*x12*（1
h12），所以圆内接正
24边形的面积是
2
1
S24
S12
12*
h12）
*x12*（1
2
此中的x12与h12怎么呢？
方案：
学生会类比前面计算弦心距和边长的形式，在直角三角形
POC中利用勾股定理求出
2
x6
2
x12
2
x
1
。
直角三角形OPC
中利用勾股定理求出h1
。
h
12
6
2
12
2
2
x12
x6
2
2
1h6
x12
2
h12
1
2
S24
S12
12*1*x12*（1
h12）
2
谁能直接写出圆内接正
48边形的面积呢？
方案：
有了前面S12,S24的计算公式，学生完好能够发现其表达式中所表现出的规律并类比获得
2
2
S48S2424*1
*x24*〔1h24）。
此中x24
x12
2
x24
1h12，h241
2
2
2
看来大家已了内接正六形、
系，那我依据个律能够求得的内接正
正十二形、正二十四形⋯⋯的面之的增关
n形的面？
【
4】你能依照律写出内接正
n形的面？
SnSn
n
1
*xn*1
hn
案：
依据前面的律，学生必定能利写出
2
*
2
2
2
2
xn
2
2
S6
2.598
2
xn
S12
3.105829
及xn
4
1hn，
hn
1
2
2
2
2
4
2
S24
3.132628
我定数n，就能算出相内接正
n形的面S，
S48
3.13935
也就是周率的近似。
从一系列数据中你什么律了？
案：
学生通察数据不跟着数
n的增加，
S96
3.141032
个愈来愈凑近周率的正确了。
S192
3.141452
【意】
学生在教的引下，通算内接正六形、正十二形、正二十四形、正四十八
形的面，由特别到正常出正常律，领会“割”的算法，后边利用算机程
求周率做好富裕的。
4.【古法新用、主研究】
个算法中的数n足什么条件？
案：
学生的第一反是6的倍数，但随即自己就能正其果。
因他会个程无法
求出
S18。
一步思虑找到数足的律
6=6*20，12=6*2
1,24=6*2
2,48=6*2
3，
从而出个算法中的内接正
n形的数
n能够写成
n
6*2
i的形式。
并获得
i的初
始是
0，化律是每次增加
1.
从S6算
S12需要行一次推，从
S6算
S24需要行两次推，从
S6算
S48需要行
三次推，⋯⋯，也就是i表示的是推的次数。
通察才的算程，不，每一
步的运算都惊人的相像，都是利用上一个内接正多形的弦心距h算出下一个内接正多
形的面
S，此后通算正多形的
x而算出内接正多形的弦心距
h，从而
循。
下边，同学通小合作写出个算法中最中心的部分即循构的程序框，并推代表展现你的结果。
【5】同学通小合作写出循构的程序框。
〔小沟通3分〕
学生以前学两种循构：
直到型和当型。
所以，在小沟通中两种循构都有也许出。
案1：
小写的是直到型的循构。
因数n6*2i，而i表示的是推的次数，
所以选择
i当循环变量，它的初始值是
0。
在循环体中，
先后计算了弦心距
h，面积
S和边长
x，直到
i
log2
n
时，
6
退出循环，不然重复实行循环体。
你们是如何获得这个循环停止条件的呢？
方案：
学生依据
n
6*2i，而直到型循环构造是直到满足条件就退出循环，所以应当将判定条
件定为
6*2i
n，从中就能够解出ilog2
n
6
说的分外好。
其余小组还有不一样的画法吗？
方案2：
该小组写的是当形循环构造。
循环体和循环变量的选择与他们是相同的。
差别是先判定循环停止条件，当条件成即刻实行循环体，
不然退出循环。
所以我们的循环停止条件是
i
n。
log26
时间关系，我们只增补完美此中一个程序框图。
大家想增补哪一个呢？
方案：
当型的吧！
下边我们把这个程序框图增补完好。
方案：
依据以前学过的程序框图的知识，
学生很简单知道只需在前面加上终端框开始，
并且输入
边数n，同时给x，i和S赋上初值就能够了。
自然，学生有也许丢落下各别细节，比如终
端框，这些在学生们的一起纠错中很简单获得解决。
他的展现解说出色吗？
生齐答：
出色
那掌声在哪里？
〔学生鼓掌〕
看来同学们对前面学习的程序框图理解分外深刻。
下边，请同学们比较该程序框图一起协作写出与之对应的算法语句。
为了节俭时间，请两位同学到前面配合，一个人写，一个人输入。
〔展现课件上的标准程序框图〕〔学生活动〕
方案：
两位同学一个在黑板上比较程序框图写算法语句，
其余一个同步输入，两个人相互商讨不难写出其算法语句。
INPUT“n=”;n
x=1
i=0
S=6*SQR（3）/4
WHILEi<=LOG（n/6）/LOG
（2）
h=SQR（1-（x/2）^2）
s=s+6*2^i*x*（1-h）/2
x=SQR（（x/2）^2+（1-h）^2）
i=i+1
WEND
PRINTS
END
下边同学看一下黑板上的程序句能否正确。
案：
同学通察上入的程序，行点，很快就能获得完好并且正确的算法
句。
既然没有，就着运转个程序。
入数n等于几呢？
案：
入
n
12，n
96，
n
12288
不看出，跟着入的数n逐增加，算出来的愈来愈凑近周率的正确。
但算
效率与手工算对比，不行同日而。
【意】
在学生已领会并理解了“割”算法的基上，利用所学的算法初步的知将一数
学算程最化算机算法句是本的点。
了突破一点，最先只学生写出
循构的程序框，后边再将程序框充完好，一来分散了点，将知置于学生
的近来展区，跳一跳获得。
其余，通小合作沟通能够培育学生的合作意、精神，
而促成学生相互学、一起提高，有力的促了堂效率的提高。
5.【再接再、完美形式】
其，我才所研究的不过刘徽提出的割的一方面，即从内向外无穷迫近。
另一方
面，些的内接正多形每外都有一余径，用乘以余径加到正多形的面上，大于
的面。
在已知内接正多形面的基上，我来看一下如何一个减数列逐迫近
。
【6】在半径1的中，一个减数列逐迫近周率。
开始，在内接正六形的基上加上六个矩形获得的面是
S6
6*SPCDQ
S6
6*2*SPBQ
S6
2*S12
S6
。
因算机算加法的运算速度更快，
所以能够将它改写成
S12
S12
S6
。
同的，在内接正
12形的基上加上
12个矩形就是
S24
S24
S12
。
以此推，我能够获得一列减数：
S12
（S12
S6），⋯⋯，S2n
S2n
Sn
也就了从外向内迫近
。
一来，
Sn
S
Sn
Sn
Sn
从而利用表里逼的思想得
2
到周率，理上来能够把
算到随意精度。
下，同学自己完美上边的程序，
利用割
借助算机求周率。
【意】
向学生介“割”所体的“表里逼”的思想，完美形式，提高其思的性。
6．【感悟提高、展望未来】
至此，我周率的研究告一段落了。
最后，同学从知、思想、形式等方面一下
你的收获和领会。
【问题7】请从知识、思想、形式等方面谈一下你的收获和领会。
方案1：
学生会从本节课的中心内容即割圆术及它所表现的“以直代曲”“无穷趋近”“表里夹逼”
等思想方面进行总结。
他从知识和形式的角度谈了他的收获，以直代曲、无穷趋近等思想是人们办理很多半学问题
时一个最基本最朴素的思想与形式。
其余同学还有增补吗？
方案2：
学生应当对计算圆周率的新旧形式的效率的迥异对照有着深刻的印象，从而领会到古代
智慧的结晶再加以现代计算机技术的协助，便如虎生翼。
同时也许提出猜想：
既然能够用计算机来求圆周率，就必定能够用计算机来解决其余近似地问题。
她的想法特别好，从计算圆周率的新旧形式的效率的迥异对照上，我们不难领会到在面对新事物时，不可以循序渐进，拘泥于一种现成的形式。
假如祖冲之纯真使用割圆术，需要计算到圆内
接正12288边形，才能将圆周率计算到3.1415926~3.1415927之间，而这在利用算筹计算的年头是不行想象的。
他必定是改良了刘徽的计算形式，才获得了这样的成就，遗憾的是，他的手稿已
经失传，无法考据他的计算形式。
在这里，不得不提的是，祖冲之是我省涞水县人，他不但遇到
中国人民的仰慕，同时也遇到世界各国科学界人士的尊敬。
1960年，苏联科学家们还用他的名字命名了月球上的一座环形山。
他在那样一个科技不够兴盛的年头，用自己的勤劳和智慧为中华
文化写下了光辉绚烂的一笔。
此刻，科技飞快发展，祖国繁华坚固，在这大好的形式下，我们今世中学生更要努力学习文化知识，踊跃进步、勇于改革，将传统文化弘扬光大。
为祖国的繁华、
科技的发展做出自己应有的贡献。
【设计企图】
让学生从知识、思想、形式等方面对本节课的学习进行总结，对本节课所学内容达到坚固提
升的目标。
7.【激趣求知、延长讲堂】
课下，请同学们试着利用圆周率的界说即等于圆周长与直径之比，借助计算机达成圆周率
的计算，同时比较教材上的程序，课上我们写的程序和你自己课下写的程序，分析每个程序的利
与弊。
其余，将你从研究的过程中所获得的收获和领会写成一篇简洁的数学论文。
【设计企图】
部署课后作业，让学生类比课上的研究过程，利用圆周率的界说计算圆周率，使学生学以致
用，将课上的内容与形式延长至课下。
同时，让学生将研究圆周率过程中的收获与领会撰写成为
一篇数学小论文，提高学生的自我反省本事。
经过以上设计，预期达到以下成效：
使学生在利用“割圆术”手工计算圆周率的过程中，
领会由特别到正常的归纳推理思想；在借助计算机编程求圆周率的过程中，领会主动应用数学的
意识。
新的课程改革的看法重视以下四个环节：
以人为本；成立开放的大课程观；成立师生交往
互动的等同观；重申治合成立新的讲堂教育目标系统。
本节课缭绕以上四个环节慎密张开，力争
经过关于割圆术的研究，提高学生数学修养，加强学习兴趣，优化学习习惯，提高数学本事。
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