新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结.docx
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新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结
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第一章勾股定理
1•勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即a2b2c2。
2•勾股定理的证明：
用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
3•勾股定理逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角
三角形。
满足a2b2c2的三个正整数称为勾股数。
常见勾股数：
（3、4、5）（6、8、10）（5、12、13）（&15、17）
第二章实数
1•平方根和算术平方根的概念及其性质：
（1）概念：
如果x2a，那么x是a的平方根，记作：
.a；其中,a叫做a的算术平方根。
（2）性质：
①当a>0时，>0；当avo时，a.a2a。
2.立方根的概念及其性质：
（1）概念：
若x3a，那么x是a的立方根，记作：
3a；
（2）性质：
①需3a:
②Vaa:
③旷=需
3.实数的概念及其分类：
（1）概念：
实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：
按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4.与实数有关的概念：
在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完
全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
5•算术平方根的运算律：
fag.b,ag）（a》0,b》0）；
第三章图形的平移与旋转
1•平移：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
2.旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置;经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。
3•作平移图与旋转图。
第四章四边形性质的探索
1.多边形的分类：
2•平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别:
（1）平行四边形：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）菱形：
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。
菱形的面
于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S菱形=Li*L2/2）。
（3）矩形：
有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的对角线相等；四个角都是直角。
对
角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。
直角三角
等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。
（4）正方形：
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形具有平行四边形、—菱形、矩形的一切性质。
（5）等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。
（6）三角形中位线：
连接三角形相连两边重点的线段。
性质：
平行且等于第三边的一半
3.多边形的内角和公式：
（n-2）*180°;多边形的外角和都等于360°。
4•中心对称图形：
在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那
么这个图形叫做中心对称图形。
第五章位置的确定
1•直角坐标系及坐标的相关知识。
2.点的坐标间的关系：
如果点A、B横坐标相同，则AB//y轴；如果点A、B纵坐标相同，则AB//x轴。
3.将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y轴对称；
将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x轴对称；将图
形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
第六章一次函数
1.一次函数定义：
若两个变量x,y间的关系可以表示成ykxb（k,b为常数，k0）的形
式，则称y是x的一次函数。
当b0时称y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数。
2.作一次函数的图象：
列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。
3.正比例函数图象性质：
经过0,0；k>0时，经过一、三象限；kV0时，经过二、四象限。
4•一次函数图象性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大，图象呈上升趋势；当kv0时，y随x的增大而减小，图象呈下降趋势。
b
（2）直线ykxb与轴的交点为0,b，与x轴的交点为一,0。
k
（3）在一次函数ykxb中：
k>0,b>0时函数图象经过一、二、三象限；k>0,bv0时函数图象经过一、三、四象限；kv0,b>0时函数图象经过一、二、四象限；kv0,bv0时函数图象经过二、三、四象限。
（4）在两个一次函数中，当它们的k值相等时，其图象平行；当它们的k值不等时，其图象相交；当它们的k值乘积为1时，其图象垂直。
4.已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式。
5.运用一次函数的图象解决实际问题。
第七章二元一次方程组
1.二元一次方程及二元一次方程组的定义。
2.解方程组的基本思路是消元，消元的基本方法是：
①代入消元法；②加减消元法；③图象法。
3.方程组解应用题的关键是找等量关系。
4.解应用题时，按设、列、解、答四步进行。
5.每个二元一次方程都可以看成一次函数，求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象
的交点。
第八章数据的代表
1.算术平均数与加权平均数的区别与联系：
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，（它特殊
在各项的权相等），当实际问题中，各项的权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各
项的权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。
2.中位数和众数：
中位数指的是n个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。
众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。
应知应会的知识点
因式分解
1.因式分解：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：
因式分解与乘法是相反的两个转化•
2.因式分解的方法：
常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.
3.公因式的确定：
系数的最大公约数•相同因式的最低次幕.
注意公式：
a+b=b+a；a-b=-（b-a）;（a-b）2=（b-a）2；（a-b）3=-（b-a）3.
4.因式分解的公式：
（1）平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）;
⑵完全平方公式：
a2+2ab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.
5.因式分解的注意事项：
（1）选择因式分解方法的一般次序是：
一提取、二公式、三分组、四十字；
（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
（5）因式分解的最后结果要求加以整理；
（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6.因式分解的解题技巧：
（1）换位整理，加括号或去括号整理；
（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.
7.完全平方式：
能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q,有“x2+px+q是完全平方式
分式
A
1.分式：
一般地，用A、B表示两个整式，A-B就可以表示为B的形式，如果B
A
中含有字母，式子B叫做分式.
2.有理式：
整式与分式统称有理式；即
3.对于分式的两个重要判断：
（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;
（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：
若分式的分子为
零，而分母也为零，则分式无意义.
4.分式的基本性质与应用：
（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
（2）注意：
在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
分子分子分子分子
即分母分母分母分母
（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单
5•分式的约分：
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意:
分式约分前经常需要先因式分解•
6.最简分式：
一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意:
分式计算的最后结果要求化为最简分式•
acacacadad
7.分式的乘除法法则：
n
a
8.分式的乘方：
％
9.负整指数计算法则：
bdbdbdbcbc
n
a■-.（n为正整数）
bn
丄
n
（1）公式：
aO=1（a^0）,a-n=a（a^0）；
（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;
n
a
n
b
nim
ab
（3）公式：
b
a
mn
ba；
（4）公式：
（-1）
-2=1，
（-1）-3=-1.
10.分式的通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：
分式的通分前要先确定最简公分母
11.最简公分母的确定：
系数的最小公倍数•相同因式的最高次幕
12.同分母与异分母的分式加减法法则:
ababacadbcadbeccc；bdbdbdbd
13.含有字母系数的一元一次方程：
在方程ax+b=0（a^0）中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：
在字母方程中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.
14.公式变形：
把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：
公
式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：
字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.
15.分式方程：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：
以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.
16.分式方程的增根：
在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：
在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.
17.分式方程验增根的方法：
把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：
由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
18.分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需
要增加“验增根”的程序.
数的开方
1•平方根的定义：
若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：
（1）a叫x的平方数，
（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.
2•平方根的性质：
（1）正数的平方根是一对相反数；
（2）0的平方根还是0;
（3）负数没有平方根.
3•平方根的表示方法：
a的平方根表示为a和a.注意：
a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.
4.算术平方根：
正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为a.注意：
0的算术平方根还是0.
5.三个重要非负数：
a2>0,|a|>0，a>0.注意：
非负数之和为0,说明它们都是
0.
6.两个重要公式：
（1）
、aa;（a>0）
7.立方根的定义：
若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：
（1）a
叫x的立方数；
（2）a的立方根表示为3a;即把a开三次方.
8.立方根的性质：
（1）正数的立方根是一个正数；
（2）0的立方根还是0;
（3）负数的立方根是一个负数.
9.立方根的特性：
3a3a.
10.无理数：
无限不循环小数叫做无理数.注意：
和开方开不尽的数是无理数
11.实数：
有理数和无理数统称实数.
正有理数
有理数0有限小数与无限循环小数
实数负有理数
12.实数的分类：
（1）
正实数
实数0
负实数
13.数轴的性质：
数轴上的点与实数对应.
14•无理数的近似值：
实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：
（1）
近似计算时，中间过程要多保留一位；
（2）要求记忆：
21-41431・732
52.236
三角形
几何A级概念：
（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1.三角形的角平分线定义：
A
几何表达式举例：
三角形的一个角的平分线与这个角
（1）vAD平分ZBAC
的对边相交，这个角的顶点和交点之
/\
•••ZBAD=ZCAD
间的线段叫做三角形的角平分线.
//\
（2）vZBAD=ZCAD
（如图）
•AD是角平分线
2.三角形的中线定义：
几何表达式举例：
在三角形中，连结一个顶点和它的对
A
（1）vAD是三角形的中线
边的中点的线段叫做三角形的中线.
A\
•BD=CD
（如图）
△
BDC
（2）vBD=CD
•AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义：
几何表达式举例：
从三角形的一个顶点向它的对边画
A
（1）vAD是AABC的高
垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角
•ZADB=90°
形的高线.
（2）vZADB=90°
（如图）
/LA
BDC
•AD是AABC的高
探4.三角形的三边关系定理：
几何表达式举例：
:
三角形的两边之和大于第三边，三角
A
（1）vAB+BC>AC
形的两边之差小于第三边.（如图）
/\
BC
（2）vAB-BCvAC
5.等腰三角形的定义：
几何表达式举例：
有两条边相等的三角形叫做等腰三
A
（1）vaABC是等腰三角
角形.（如图）
△
形
•AB=AC
（2）vAB=AC
BC
•AABC是等腰三角形
6.等边三角形的定义：
几何表达式举例：
有三条边相等的三角形叫做等边三
A
A
（1）vAABC是等边三角形
角形.（如图）
△
•AB=BC=AC
（2）vAB=BC=AC
BC
•AABC是等边三角形
7.三角形的内角和定理及推论：
几何表达式举例：
（1）三角形的内角和180°;（如图）
（1）vZA+/B+ZC=180°
（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）
（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）
（4）
⑵vZC=90°
•••/A+ZB=90°
（3）vZACD=ZA+ZB
探（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
几何表达式举例：
（1）vOC平分ZAOB又vCD丄OACE丄OB
12.角平分线的性质定理及逆定理：
（1）在角平分线上的点到角的两
边距离相等；（如图）
（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上•（如图）
A
（2）
又
CD=CE
tCd丄OACE丄OBtCd=CE
OC是角平分线
13•线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线•（如图）
丄
几何表达式举例：
（1）tEF垂直平分AB•••EF丄ABOA=OB
十
匕丿
•匚厂丄MDU/A-UD
EF是AB的垂直平分线
14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；
（如图）
（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）
M
Ab
几何表达式举例：
（1）tMN是线段AB的垂直平分线
•••PA=PB
（2）tPA=PB
•••点P在线段AB的垂直平分线上
arC*B
15.等腰三角形的性质定理及推论：
（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）
（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）
（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）
几何表达式举例：
（1）tAB=AC
•/B=/C
（2）tAB=AC
又t/BAD=/CAD
•BD=CD
AD丄BC
AA
△A
A
△
（3）taABC是等边三角形
•/A=/B=/C=60°
BC
（1）BDC
（2）B（3）
16.等腰三角形的判定定理及推论：
（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）
（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30,那么它
所对的直角边是斜边的一半•（如图）
A
△△5
几何表达式举例：
（1）t/B=/C
•AB=AC
（2）t/A=/B=/C
•AABC是等边三角形
（3）t/A=60°又tAB=AC
•AABC是等边三角形
（4）t/C=90°/
B=30°
1
BC
（1）B
（2）（3）CB（4）
•AC=2AB
17.关于轴对称的定理
几何表达式举例：
1
（1）关于某条直线对称的两个图
（1）vaABC、AEGF关
形是全等形；（如图）
A
M
E
于MN轴对称
（2）如果两个图形关于某条直线
OA
•••△ABC也AEGF
对称，那么对称轴是对应点连线
/土
（2）VAABC、AEGF关
的垂直平分线.（如图）
B
于MN轴对称
N
•OA=OEMN丄AE
18.勾股定理及逆定理：
几何表达式举例：
（1）直角三角形的两直角边a、
（1）VAABC是直角三角
b的平方和等于斜边c的平方，
A
形
即a2+b2=c2;（如图）
\
•a2+b2=c2
（2）如果三角形的三边长有下面
\
（2）va2+b2=c2
关系：
a2+b2=c2,那么这个三角形
•△ABC是直角三角形
是直角三角形.（如图）
C
:
B
19.RtA斜边中线定理及逆定理：
几何表达式举例：
（1）直角三角形中，斜边上的中
vaABC是直角三角形
线是斜边的一半；（如图）
A
vD是AB的中点
（2）如果三角形一边上的中线是
\
1
这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形.（如图）
--CD一2AB
CB
（2）VCD=AD=BD
ABC是直角三角形
几何B级概念：
（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一基本概念：
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数•
二常识：
1•三角形中，第三边长的判断：
另两边之差v第三边v另两边之和•
2•三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外•注意:
三角形的角平分线、中线、高线都是线段•
3
CD丄AB，BE丄CA，则
•如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：
若
CD•AB=BE•CA.
4.三角形能否成立的条件是：
最长边v另两边之和.
5•直角三角形能否成立的条件是：
最长边的平方等于另两边的平方和
6•分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
7•如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：
A
（1）AC•CB=CD•AB;
（2）Z仁/B，/2=ZA.
8•三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.巴_
CB
9•全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.
10•等边三角形是特殊的等腰三角形
11•几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.
12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.
13•几何习题经常用四种方法进行分析：
（1）分析综合法；
（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.
14.几何基本作图分为：
（1）作线段等于已知线段；
（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线•
15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS'、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图•
16.作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：
每步作图都应该是几何基本
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