新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结.docx

1、新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结第一章勾股定理1勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 a2 b2 c2。2勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法) 。3勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。满足a2 b2 c2的三个正整数称为勾股数。常见勾股数：(3、4、5) (6、8、10) (5、12、13) (& 15、17)第二章实数1平方根和算术平方根的概念及其性质：(1)概念：如果x2 a，那么x是a的平方根，记作： .a ；其中,a叫做a的算术平方

2、根。(2) 性质：当a 0时， 0；当 a vo时， a .a2 a。2.立方根的概念及其性质：(1 )概念：若x3 a，那么x是a的立方根，记作：3 a ；(2 )性质：需3 a :Va a :旷=需3.实数的概念及其分类：(1)概念：实数是有理数和无理数的统称；(2)分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限 不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环 小数称为分数。4.与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一

3、个实数都可以用数轴上的一 个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是 对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。5算术平方根的运算律： fag. b , ag) ( a0, b0)；第三章图形的平移与旋转1平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不 改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段 平行且相等，对应角相等。2.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度， 这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置

4、; 经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋 转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。3 作平移图与旋转图。第四章四边形性质的探索1.多边形的分类：2 平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别:(1 )平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等； 对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相 等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。(

5、2 )菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角。四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱 形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。菱形的面 于两条对角线乘积的一半(面积计算，即 S菱形=Li*L2/2 )。(3)矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等；四个角都是直角。对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。直角三角 等于斜边长的一半； 在直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半。(4) 正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形具

6、有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。(5) 等腰梯形同一底上的两个内角相等， 对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯 形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。(6)三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。性质：平行且等于第三边的一半 3.多边形的内角和公式：(n-2) *180;多边形的外角和都等于 360。4中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。第五章位置的确定1直角坐标系及坐标的相关知识。2.点的坐标间的关系：如果点 A、B横坐标相同，则 AB / y轴；如果点A、B纵坐标相同，则 A

7、B / x 轴。3.将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 1倍，所得到的图形与原图形关于 y轴对称；将图形的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的 1倍，所得到的图形与原图形关于 x轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的 1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。第六章一次函数1.一次函数定义：若两个变量 x,y间的关系可以表示成 y kx b ( k,b为常数，k 0)的形式，则称y是x的一次函数。当b 0时称y是x的正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。2.作一次函数的图象：列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。3.正比例函数图象性质：经过 0,0 ； k 0时，经过一、三象限

8、； k V 0时，经过二、四象限。4一次函数图象性质：(1 )当k 0时，y随x的增大而增大，图象呈上升趋势；当 k v 0时，y随x的增大而减小， 图象呈下降趋势。 b(2) 直线y kx b与轴的交点为 0,b，与x轴的交点为 一,0。k(3) 在一次函数 y kx b中：k 0, b 0时函数图象经过一、二、三象限； k 0, b v 0 时函数图象经过一、三、四象限； k v 0, b 0时函数图象经过一、二、四象限； k v0, b v 0 时函数图象经过二、三、四象限。(4) 在两个一次函数中，当它们的k值相等时，其图象平行；当它们的k值不等时，其图象相交； 当它们的k值乘积为 1

9、时，其图象垂直。4 .已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式。5.运用一次函数的图象解决实际问题。 第七章二元一次方程组1.二元一次方程及二元一次方程组的定义。2.解方程组的基本思路是消元，消元的基本方法是：代入消元法；加减消元法；图象法。3.方程组解应用题的关键是找 等量关系。4.解应用题时，按设、列、解、答 四步进行。5.每个二元一次方程都可以看成一次函数， 求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。第八章数据的代表1.算术平均数与加权平均数的区别与联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况， (它特殊在各项的权相等)，当实际问题中，各项的权不相等时， 计算平

10、均数时就要采用加权平均数， 当各项的权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。2 .中位数和众数：中位数指的是 n个数据按大小顺序(从大到小或从小到大)排列，处在最中间 位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)。众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。应知应会的知识点因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解； 注意：因式分解与乘法是相反的两个转化2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘 法”.3. 公因式的确定：系数的最大公约数相同因式的最低次幕 .注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a); (a-b

11、)2=(b-a)2 ； (a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2= (a+ b) (a- b);完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.5.因式分解的注意事项：(1) 选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；(5)因式分解的最后结果要求加以整理；(6) 因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式 .6 .因

12、式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2)提负号；(3) 全变号；(4)换元；(5)配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分组；(8)提 取分数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项.7.完全平方式：能化为(m+n) 2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q , 有“ x2+px+q是完全平方式分式A1.分式：一般地，用 A、B表示两个整式，A - B就可以表示为B的形式，如果BA中含有字母，式子B叫做分式.2.有理式：整式与分式统称有理式；即3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;(2)若分式的分子为零

13、，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4.分式的基本性质与应用：(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变；(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的 值不变；分子 分子 分子 分子即 分母 分母 分母 分母(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意: 分式约分前经常需要先因式分解6.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意: 分式计算的最后结果要求化为最简分式a

14、 c ac a c a d ad7.分式的乘除法法则：na8.分式的乘方：9.负整指数计算法则：b d bd b d b c bcna- . (n为正整数)bn丄n(1) 公式：aO=1(a 0), a-n =a (a 0)；(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;nanbn i ma b(3)公式：bam nb a ；(4)公式：(-1)-2=1，(-1) -3=-1.10.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母11.最简公分母的确定：系数的最小公倍数相同因式的最高次幕12.同分母

15、与异分母的分式加减法法则:a b a b a c ad bc ad be c c c ； b d bd bd bd13 .含有字母系数的一元一次方程：在方程 ax+b=0(a 0)中,x是未知数,a和b是用字 母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母 b是常数项， 我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中，一般用a、b、c等表 示已知数，用x、y、z等表示未知数.14.公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母 的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不

16、为 0.15.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里 不含未知数的方程是整式方程.16.分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知 数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程 的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根 .17.分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每 个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是 原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根 .18.分式方程的应用：列分式方程解应用题与列

17、整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，(即a的平方根是x )；注意：(1) a 叫x的平方数，(2)已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2平方根的性质：(1)正数的平方根是一对相反数；(2)0的平方根还是0;(3)负数没有平方根.3平方根的表示方法：a的平方根表示为 a和 a .注意：a可以看作是一个数， 也可以认为是一个数开二次方的运算.4.算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为 a.注意：0的算术 平方根还是0.5.三个重要非负数：a20 ,|a| 0， a 0 .注意：非负数之

18、和为0,说明它们都是0.6.两个重要公式：(1)、a a; (a 0)7.立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，(即a的立方根是x).注意：(1) a叫x的立方数；(2) a的立方根表示为3 a ;即把a开三次方.8.立方根的性质：(1)正数的立方根是一个正数；(2)0的立方根还是0;(3)负数的立方根是一个负数.9.立方根的特性：3 a 3a .10.无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数11.实数：有理数和无理数统称实数.正有理数有理数0 有限小数与无限循环小 数实数 负有理数12 .实数的分类：(1 )正实数实数0负实数13.数轴的性质：数轴上的点与实数

19、 对应.14无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应 该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位； （2）要求记忆： 2 1-414 3 173252.236三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1.三角形的角平分线定义：A几何表达式举例：三角形的一个角的平分线与这个角(1) v AD 平分Z BAC的对边相交，这个角的顶点和交点之/ Z BAD= Z CAD间的线段叫做三角形的角平分线 ./ / (2) vZ BAD= Z CAD（如图） AD是角平分线2.三角形的中

20、线定义：几何表达式举例：在三角形中，连结一个顶点和它的对A（1） v AD是三角形的中线边的中点的线段叫做三角形的中线.A BD = CD（如图）B DC（2） v BD = CD AD是三角形的中线3.三角形的高线定义：几何表达式举例：从三角形的一个顶点向它的对边画A(1) v AD 是 A ABC 的高垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角 Z ADB=90 形的高线.(2) vZ ADB=90 （如图）/ LAB D C AD是A ABC的高探4.三角形的三边关系定理：几何表达式举例： :三角形的两边之和大于第三边，三角A(1) v AB+BC AC形的两边之差小于第三边.（如图）/B C(2

21、) v AB-BC v AC5.等腰三角形的定义：几何表达式举例：有两条边相等的三角形叫做等腰三A（1） va ABC是等腰三角角形.（如图）形 AB = AC(2) v AB = ACB CA ABC是等腰三角形6.等边三角形的定义：几何表达式举例：有三条边相等的三角形叫做等边三AA（1） vA ABC是等边三角形角形.（如图） AB=BC=AC(2) v AB=BC=ACB CA ABC是等边三角形7.三角形的内角和定理及推论：几何表达式举例：（1）三角形的内角和180;（如图）(1) vZ A+ / B+Z C=180(2)直角三角形的两个锐角互余；(如图)(3)三角形的一个外角等于和它

22、不相邻的两个内角 的和；(如图)(4) vZ C=90/ A+ Z B=90 (3) vZ ACD= Z A+ Z B探(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角.几何表达式举例：(1)v OC 平分 Z AOB 又vCD丄OA CE丄OB12.角平分线的性质定理及逆定 理：(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在 角平分线上（如图）A(2)又CD = CEt Cd 丄 OA CE丄 OB t Cd = CEOC是角平分线13线段垂直平分线的定义： 垂直于一条线段且平分这条线段 的直线，叫做这条线段的垂直平分 线（如图）丄几何表达式举例：（1）

23、 t EF垂直平分AB EF 丄 AB OA=OB十匕丿匚厂丄MD U/A-UDEF是AB的垂直平分线14.线段垂直平分线的性质定理及 逆定理：（1） 线段垂直平分线上的点和这 条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2） 和一条线段的两个端点的距 离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.（如图）MAb几何表达式举例：（1） t MN是线段AB的垂直 平分线 PA = PB（2） t PA = PB点P在线段AB的垂直平分 线上a rC * B15.等腰三角形的性质定理及推论：（1） 等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如 图）（2） 等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的 高”三

24、线合一；（如图）（3） 等边三角形的各角都相等，并且都是 60 .（如图）几何表达式举例：(1)t AB = AC/ B= / C(2)t AB = AC又 t/ BAD= / CADBD = CDAD 丄 BCA A AA(3) ta ABC是等边三角 形 / A= / B=/ C =60B C (1) B D C (2) B (3)16.等腰三角形的判定定理及推论：（1） 如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所 对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2） 三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3） 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；（如 图）（4） 在直角三角形中，如果

25、有一个角等于30 ,那么它所对的直角边是斜边的一半（如图）A 5几何表达式举例：(1)t/ B=/ C AB = AC(2)t/ A= / B=/ CA ABC是等边三角形(3)t/ A=60 又 t AB = ACA ABC是等边三角形(4)t / C=90 /B=301B C (1) B (2) (3) C B (4) AC = 2 AB17.关于轴对称的定理几何表达式举例： 1(1)关于某条直线对称的两个图(1) va ABC、A EGF 关形是全等形；(如图)AME于MN轴对称(2)如果两个图形关于某条直线O A ABC 也 A EGF对称，那么对称轴是对应点连线/ 土(2) VA A

26、BC、A EGF 关的垂直平分线.(如图)B于MN轴对称N OA=OE MN 丄AE18.勾股定理及逆定理：几何表达式举例：(1)直角三角形的两直角边 a、(1) VA ABC是直角三角b的平方和等于斜边c的平方，A形即 a2+b2=c2;(如图) a2+b2=c2(2)如果三角形的三边长有下面(2) v a2+b2=c2关系：a2+b2=c2,那么这个三角形 ABC是直角三角形是直角三角形.(如图)C: B19. Rt A斜边中线定理及逆定理：几何表达式举例：(1)直角三角形中，斜边上的中va ABC是直角三角形线是斜边的一半；(如图)Av D是AB的中点(2)如果三角形一边上的中线是1这边

27、的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)-CD 一 2 ABC B(2) V CD=AD=BDABC是直角三角形几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角 平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线 的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数 二常识：1 三角形中，第三边长的判断： 另两边之差v第三边v另两边之和2三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中 前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三

28、角形外 注意:三角形的角平分线、中线、高线都是线段3CD 丄 AB，BE 丄 CA，则如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD AB=BE CA.4.三角形能否成立的条件是：最长边v另两边之和 .5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和6分别含30、45、60的直角三角形是特殊的直角三角形.7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： A(1) AC CB=CD AB ; (2)Z 仁/B，/ 2=Z A .8三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角 .巴_C B9全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对 的边是对应边.10

29、等边三角形是特殊的等腰三角形11几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明 .12.符合“ AAA ” “SSA”条件的三角形不能判定全等.13几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代 入分析法；（4）图形观察法.14. 几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已 知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知 点作已知直线的平行线15.会用尺规完成“ SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS、“HL”、“等腰三角形”、“等边 三角形”、“等腰直角三角形”的作图16.作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什 么；注意：每步作图都应该是几何基本