浙教版七年级数学下册试题专训一分式的意义及性质的巧用.docx
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浙教版七年级数学下册试题专训一分式的意义及性质的巧用
解码专训一：
分式的意义及性质的巧用
名师点金：
1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零；（4）分式值为正数⇔分子、分母同号；（5）分式值为负数⇔分子、分母异号．
2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．
分式的识别
1．在
，
，
，2m，
，
中，不是分式的式子有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．请你从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．
分式有无意义的条件
3．无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4．当x＝________时，分式
无意义．
5．已知不论x为何实数，分式
总有意义，试求m的取值范围．
分式值为正、负数或0的条件
6．若
的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜－2B．x＜1
C．x＞－2且x≠1D．x＞1
7．（中考·常德）若分式
的值为0，则x＝________．
8．已知分式
的值为0，求a的值及b的取值范围．
分式的基本性质及其应用
9．下列各式正确的是（ ）
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
10．要使式子
＝
从左到右变形成立，x应满足的条件是（ ）
A．x＞－2B．x＝－2
C．x＜－2D．x≠－2
11．已知
＝
＝
≠0，求
的值．
12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求
＋
＋
的值．
解码专训二：
分式运算的八种技巧
名师点金：
分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常达到事半功倍、化繁为简的效果．
约分计算法
1．计算：
－
.
顺次相加法
2．计算：
＋
＋
＋
.
整体通分法
3．计算：
a－2＋
.
换元通分法
4．计算：
（3m－2n）＋
－（3m－2n）2＋
.
裂项相消法
5．计算：
＋
＋
＋…＋
.
整体代入法
6．已知
＋
＝
，
＋
＝
，
＋
＝
，求
的值．
倒数求值法
7．已知
＝－1，求
的值．
消元法
8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求
的值．
解码专训三：
分式求值的方法与技巧
名师点金：
分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值技巧有：
设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值、化简求值等．
直接代入法求值
1．（中考·鄂州）先化简，再求值：
÷
，其中a＝
－1.
活用公式求值
2．已知x2－5x＋1＝0，求x4＋
的值．
3．已知x＋y＝12，xy＝9，求
的值．
整体代入法求值
4．（中考·乌鲁木齐）先化简，再求值：
÷
，其中a满足a2－4a－1＝0.
巧变形法求值
5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋
的值．
设参数求值
6．已知
＝
＝
≠0，求
的值．
解码专训四：
巧用分式方程的解求字母的值
名师点金：
巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：
（1）利用方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；
（2）利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．
利用分式方程解的定义求字母的值
1．已知关于x的分式方程
＝
与分式方程
＝
的解相同，求m2－2m的值．
利用分式方程有解求字母的取值范围
2．若关于x的方程
＝
＋2有解，求m的取值范围．
利用分式方程有增根求字母的值
3．若关于x的方程
－
＝2有增根，则m＝________.
4．若关于x的方程
＋
＝
有增根，则增根是多少？
并求方程产生增根时m的值．
利用分式方程无解求字母的值
5．（中考·东营）若关于x的方程
＝a无解，则a的值为________．
6．已知关于x的方程
－m－4＝
无解，求m的值．
7．已知关于x的分式方程
－
＝1.
（1）若方程的增根为x＝2，求a的值；
（2）若方程有增根，求a的值；
（3）若方程无解，求a的值．
解码专训五：
六种常见的高频考点热门题
名师点金：
本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．
分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．
分式的识别与求解
1．已知代数式
.
（1）是分式，还是整式？
（2）若a＝－3，b＝2，求
的值．
（3）当a，b具有怎样的关系时，代数式无意义？
（4）当a，b具有怎样的关系时，代数式的值为0?
运用分式的基本性质化简求值
2．化简求值：
，其中x＝2，y＝3.
分式的有关运算
3．（中考·临沂）计算：
－
＝__________．
4．化简：
（m＋1）＝________．
5．计算下列各题．
（1）
＋
－
；
（2）
－
÷
.
分式方程的增根
6．若关于x的方程
＋
＝
有增根，求m的值．
解分式方程
7．（中考·菏泽）解分式方程：
＋
＝1.
分式方程的应用
8．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务，这是记者与驻军工程指挥官的一段对话（如图）：
（第8题）
通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
解码专训六：
思想方法荟萃
名师点金：
本章涉及的思想方法有：
数形结合思想、方程思想、整体思想、消元思想、类比思想等．在分式的学习过程中，若能灵活运用这些思想方法，往往会给你带来意想不到的效果．
数形结合思想
1．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－4，
，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
（第1题）
方程思想
2．已知
＝
＋
，求A，B的值．
整体思想
3．已知实数a满足a2＋4a－8＝0，求
－
·
的值．
4．已知a＋x2＝2013，b＋x2＝2014，c＋x2＝2015，且abc＝24，求
＋
＋
－
－
－
的值．
消元思想
5．已知2x－3y＋z＝0，3x－2y－6z＝0，且z≠0，求
的值．
类比思想
6．观察下面一类分式方程的解的规律：
∵x＋
＝3＋
，∴x1＝3，x2＝
；
∵x＋
＝4＋
，∴x1＝4，x2＝
；
….
（1）若x＋
＝a＋
（a≠0），猜想x1＝________，x2＝________；
（2）试用求出关于x的方程x＋
＝a＋
（a≠0）的解的方法，证明你的猜想；
（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程x＋
＝a＋
（a≠1）．
答案
解码专训一
1．C 点拨：
，2m，
不是分式．
2．6 点拨：
以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．
3．B 4.±1
5．解：
x2－6x＋m＝（x－3）2＋（m－9）．
因为（x－3）2≥0，
所以当m－9＞0，即m＞9时，x2－6x＋m始终为正数，分式总有意义．
6．C 点拨：
x2－2x＋1＝（x－1）2.因为已知分式的值为正数，所以x＋2＞0，x－1≠0.解得x＞－2且x≠1.
7．1 点拨：
由题意得x2－1＝0，x＋1≠0，解得x＝1.
8．解：
因为分式
的值为0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.
9．D 10.D
11．解：
设
＝
＝
＝k（k≠0），则x＝4k，y＝6k，z＝7k.所以
＝
＝
＝
.
12．解：
由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必为两正一负或两负一正．当x，y，z为两正一负时，不妨设x＞0，y＞0，z＜0，则原式＝
＋
＋
＝1＋1－1＝1；当x，y，z为两负一正时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，则原式＝
＋
＋
＝1－1－1＝－1.
解码专训二
1．解：
原式＝
－
＝
－
＝
.
点拨：
在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可使计算过程简化．
2．解：
原式＝
＋
＋
＋
＝
＋
＋
＝
＋
＝
＋
＝
＝
.
点拨：
此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
3．解：
原式＝
＋
＝
＋
＝
.
点拨：
整式与分式相加减时，可以先将整式的分母看成“1”，然后通分相加减．
4．解：
设3m－2n＝x，则原式＝x＋
－x2－
＝
＝
＝
.
5．解：
原式＝
－
＋
－
＋
－
＋…＋
－
＝
－
＝
.
点拨：
对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用
＝
－
进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．
6．解：
＋
＝
，
＋
＝
，
＋
＝
，
上面各式两边分别相加，得
×2＝
＋
＋
，
所以
＋
＋
＝
.
易知abc≠0，所以
＝
＝
＝
.
7．解：
由
＝－1，知x≠0，
所以
＝－1.所以x－3＋
＝－1，即x＋
＝2.
因为
＝x2－9＋
＝
－11＝－7，
所以
＝－
.
8．解：
以x，y为主元，将已知的两个等式化为
所以x＝3z，y＝2z（z≠0）．
所以原式＝
＝－13.
点拨：
此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．
解码专训三
1．解：
原式＝（
＋
）×
＝
×
＝
.
当a＝
－1时，原式＝
＝
.
2．解：
由x2－5x＋1＝0得x≠0，∴x＋
＝5.
∴x4＋
＝
－2＝
－2＝527.
点拨：
在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．
3．解：
＝
＝
因为x＋y＝12，xy＝9，
所以原式＝
＝
.
4.解：
原式＝
·
＝
.
由a2－4a－1＝0，得（a－2）2＝5，代入上式，结果为
.
5．解：
∵4x2－4x＋1＝0，
∴（2x－1）2＝0，∴2x＝1.
∴原式＝1＋
＝2.
6．解：
设
＝
＝
＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k.
所以
＝
＝
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