人教A版高中数学选修23导学案.docx

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人教A版高中数学选修23导学案

.两个原理

课前预习学案

一、预习目标

准确理解两个原理，弄清它们的区别；会用两个原理解决一些简单问题。

二、预习内容

分类计数原理：

完成一件事，有n类方式，在第一类方式，中有m种不同的方法，在第二类方式，中有m2种不同的方法，……，在第n类方式，中有m种不同的方法.那么完成这件事共有N=种不同的方法•

分步计数原理：

完成一件事，需要分成n个，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m

种不同的方法，……，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有

N=种不同的方法。

课内探究学案

一、学习目标

二、准确理解两个原理，弄清它们的区别；会用两个原理解决一些简单问题。

学习重难点：

教学重点：

两个原理的理解与应用

教学难点：

学生对事件的把握

二、学习过程

情境设计

1、从学校南大门到图艺中心有多少种不同的走法

2、从学校南大门经图艺中心到食堂有多少种不同的走法（请画分析图）

3、课件中提供的生活实例。

新知

分类计数原理：

完成一件事，有n类，在第一类方式，中有m种不同的方法，在第二类方式，中

有m种不同的方法，……，在第n类方式，中有m种不同的方法•那么完成这件事共有N=种不同的方法•

分步计数原理：

完成一件事，需要分成n个，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不

同的方法，……，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有

N=n种不同的方法。

巩固原理

例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。

（1）若学校分配给该班1名代表，有多少不同的选法

（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女代表各一名，有多少种不同的选法解：

练习1、乘积aia2a3blb2b3b4ClC2C3C4C5展开后共有多少项

（1）在下图

（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法

（2）

在下图

（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法

（1）

II

J

（2）

例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时通常要设置电子信箱密码•在网站设置的信箱中，

（1）密码为

4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个

（2）密码为

4位,每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密

码共有多少个

（3）密码为

4〜6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个

解:

例4、用4种不同颜色给下图示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色,

共有多少种不同的涂法

解:

三、反思总结

1.分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复

杂的排列、组合问题的基础•

2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类

办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不

可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事

四、当堂检测

课本P9:

练习1--5

课后练习与提咼

一、选择题

1•将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）•

A.「种B.1种C.弓种D.二种

2.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（）.

A.-种B.二种C.18种D.36种

3.已知集合

■"■，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐

标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）.

A.18B.10C.16D.14

4.用1,2,3,4四个数字在任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（）.

A.8个B.9个C.10个D.5个

二、填空题

1.由数字2,3,4,5可组成个三位数，个四位数，个五位数.

2.用1,2,3…，9九个数字，可组成个四位数，个六位数.

3.商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种不同的选法.要

买上衣、裤子各一件，共有种不同的选法.

4.大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6，则向上的面标着的两个

数字之积不小于20的情形有种.

三、解答题

1.从1,2,3,4,7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的

对数值

2.在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个

排列的概念

课前预习学案

一、预习目标

预习排列的定义和排列数公式，了解排列数公式的推导过程，能应用排列数公式计算、化简、求值。

二、预习内容

1.一般的，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.

—叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

3•排列数公式A：

;

4.全排列:

An。

课内探究学案

一、学习目标

1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；

2.能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。

3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。

学习重难点：

教学重点：

排列的定义、排列数公式及其应用

教学难点：

排列数公式的推导

二、学习过程

合作探究一：

排列的定义

问题

（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里

（2）从10名学生中选2名学生做正副班长；

（3）从10名学生中选2名学生干部；

上述问题中哪个是排列问题为什么

概念形成

1、元素：

。

2、排列：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的...排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.。

说明：

（1）排列的定义包括两个方面：

①②按一定的排列（与位置有关）

（2）两个排列相同的条件：

①元素，②元素的排列也相同，

合作探究二排列数的定义及公式

3、排列数：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出

m元素的排列数，用符号表示*

议一议：

“排列”和“排列数”有什么区别和联系

4、排列数公式推导

探究：

从n个不同元素中取出2个元素的排列数A：

是多少A：

呢A：

呢

A；n（n1）（n2）（nm1）（m,nN,mn）

说明：

公式特征：

（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个

因数是nm1，共有m个因数；

（2）m,nN,mn

即学即练：

1.计算

（1）A4；

（2）A；（3）AA3

2.已知A；109川5,那么m

3•kN,且k40,则（50k）（51k）（52k）川（79k）用排列数符号表示为（）

例1.计算从a,b,c这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

解析：

（1）利用好树状图，确保不重不漏；

（2）注意最后列举。

解：

变式训练：

由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数并写出所有的排列。

5、全排列：

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的。

此时在排列数公式中，m=n

全排列数：

A^1n（n1）（n2）川21n!

（叫做n的阶乘）.

想一想：

由前面联系中

（2）（3）的结果我们看到，Af和A?

A；有怎样的关系那么，这个结果

有没有一般性呢

排列数公式的另一种形式:

另外，我们规定

0!

=1.

Anm

n!

（nm）!

想一想：

排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择

例2•求证：

AmmAnm1昭.

解析：

计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。

解:

点评：

（1）熟记两个公式；

（2）掌握两个公式的用途；（3）注意公式的逆用。

思考：

你能用计数原理直接解释例2中的等式吗（提示：

可就所取的m个元素分类，分含某个元素a

和不含元素a两类）

变式训练：

已知A15An89，求n的值。

A

三、反思总结

1、是排列的特征；2、两个排列数公式的用途：

乘积形式多用于，阶乘形式多用于

或。

四、当堂检测

1•若x1，则x（）

3!

（A）A3（B）A?

3（C）A1（D）A^3

2•若Am2Am，则m的值为（）

（A）5（B）3（C）6（D）7

3.已知A256，那么n；

4.一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1

列火车）

课后练习与提咼

i•下列各式中与排列数A相等的是（）

（A）

（B）n（n—1）（n—2）（n—m）（C）

（nm1）!

2•若

n€N且n<20,则（27—n）（28—n）……（34—n）等于（

（A）

（C）A；4n

（DA34n

3•若

s=a1

AZ，则S的个位数字是（

（A）

（B）3（C）

5（D）8

2

4.已知An

2

6An-5，则n=

2A5

5・计算上

7A；

AT

An1

6•解不等式:

2vT42

An1

n1

排列应用题

课前预习学案

一、预习目标

预习排列应用题的类型，了解排列应用题的思考原则和具体方法，能解较简单的排列应用题

二、预习内容

例1、

（1）某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛

解：

例2、

（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法

解：

例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数

课内探究学案

一、学习目标

1.进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算；

2.能用所学的排列知识和具体方法正确解决简单的实际问题。

3、通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。

学习重难点：

学习重点：

排列应用题常用的方法：

直接法（包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法）间接法

学习难点：

排列数公式的理解与运用

二、学习过程

情境设计

从1~9这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数的个数是多少

新知教学

排列数公式的应用：

例1、

（1）某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛

解：

变式训练：

（1）放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件

（2）放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话

例2、

（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法

解：

例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数

点评：

解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是：

优先安置受限制的元素，然后再考虑一般对象的安置问题'，常用方法如下：

1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理．

2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理．

3）从“对立事件”出发，用减法．

4）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的

元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。

5）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。

所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上．

变式训练:

有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（）（A）A种（B）A4种（C）A4•A种（D）A4种

例4、三个女生和五个男生排成一排．

（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法

（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法

（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法

解：

点评：

1）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。

2）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。

所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上.

变式训练：

1、6个人站一排，甲不在排头，共有种不同排法.

2.6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有种不同排法.

归纳总结：

1、解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个

数，即n、m的值.

2、解决相邻问题通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入的办法

3、解有条件限制的排列问题思路：

①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素

占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位

4、判断是否是排列问题关键在于取出的兀素是否与顺序有关，若与顺序有关则是排列，否则不是

5、由于解排列应用题往往难以验证结果的正确性，所以一般应考虑用一种方法计算结果，用另一种方法检查核对，辨别正误.

【当堂检测】

1.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个

2•甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（）

（A12种（B）18种（C）24种（D）96种

3•某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不

同排法共有（）

（A）6种（B）9种（C）18种（D）24种

4•五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有种.

课后练习与提咼

1.由0,I,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为（）

（A）I:

I（B）2:

3（C）12:

13（D）21:

23

2•由0,I,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是（）

（A）42031（B）42103（C）42130（D）43021

3.若直线方程AX十By=0的系数A、B可以从0,1,2,3,6,7六个数中取不同的数值，则这些方程所表

示的直线条数是（）（A）A一2（B）A（C）A2+2（D）Af-2A1

4.从a,b,c,d,e这五个元素中任取四个排成一列，b不排在第二的不同排法有（）

ABA3A|CADA4A43

5.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有种不同的种植方法。

6.9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有种。

7.某产品的加工需要经过5道工序，

（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法

（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法

组合与组合数公式

课前预习学案

一、预习目标

预习：

（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式

（2）正确认识组合与排列的区别与联系

（3）会解决一些简单的组合问题

二、预习内容

1组合的定义：

2.组合与排列的区别与联系

（1）共同点

（2）不同点

3•组合数

Am===

4.归纳提升

（1）区分组合与排列

（2）组合数计算问题

课内探究学案

一、学习目标

（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式

（2）正确认识组合与排列的区别与联系（3）会解决一些简单的组合问题

学习重难点：

组合与排列的区分

二、学习过程

问题探究情境

问题一：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名

同学参加下午的活动，有多少种不同的选法

问题二：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法

合作探究：

探究1:

组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m（men）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

探究2:

排列与组合的概念有什么共同点与不同点

不同点：

排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关共同点：

都要“从n个不同元素中任取m个元素”

问题三：

判断下列问题是组合问题还是排列问题

⑴设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个

（2）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票

组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果

探究3:

写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合

abc，abd，acd，bcd

每一个组合又能对应几个排列

问题四：

你能得出组合数的计算公式吗

Cm===

Cn===

规定：

典例分析

例1判断下列问题是排列问题还是组合问题

（1）a、b、c、d四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛

（2）a、b、c、d四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛

变式训练1已知ABCDE五个元素，写出取出3个元素的所有组合

例2计算下列各式的值

（1）c：

6c；9

（2）

38n3n

C3nCn21

变式训练2

（1）

解方程3C：

75A24

（2）

11

已知CmCm

C5C6

和求cm

三、反思总结

区分组合与排列

四、当堂检测

ryor\

1、计算C8C8C9（）A120B240C60D480

2、已知C：

=10,则n=（）A10B5C3D2

3、如果Am6C：

，则m=（）A6B7C8D9

课后练习与提高

③由1,2,3组成两位数的不同方法数④由1,2,3组成无重复数字的两位数

A①③B②④C①②D①②④

2、G01Cwr的不同值有（）

A1个B2个C3个D4个

3、已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={1,2}，若集合M满足BMA,则这样的集合M共有（）

A12个

B13个

C14

个D15个

4、已知

m1

Cn

Cm

Cn

Cm1

n,则m与n的值为

2

3

4

5、若x满足2C：

23C：

1，则x=

6、已知20C554（n4）C：

315A；3,求n的值

组合应用题

课前预习学案

一、预习目标

预习：

（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式

（2）会解决一些简单的组合问题

（3）体会简单的排列组合综合问题

二、预习内容

1.组合的定义：

3.课本几个组合应用题，并将24页的探究写在下面

课内探究学案

、学习目标

（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式

（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题

学习重难点：

解决一些简单的组合典型问题

二、学习过程

问题探究情境

问题一：

高一

（1）班有30名男生，20名女生，现要抽取6人参加一次有意义的活动，问一下条件下有多少种不同的抽法

⑴只在男生中抽取⑵男女生各一半⑶女生至少一人

问题二：

10个不同的小球，装入3个不同的盒子中，每盒至少一个，共有多少种装法

合作探究：

完成问题一问题二的方法总结

①

②

典例分析

例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法

（1）甲不站两端；

（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.

变式练习1.、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法

（1）甲乙必须排在一起；

（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.

例2.平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原

10点外），无两条直线互相平行。

求：

这些直线所交成的点的个数

变式练习2、a,b是异面直线；a上有6个点，b上有7个点，求这13个点可确定平面的个

数

三、反思总结方法：

①

四、当堂检测

1从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选

法有（）

A.140B.120C.35D.34

2、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班一位班主任），要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A.210种B.420种C.630种D.840种

3、（07重庆卷）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配

方案有（）

（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种

4、（09天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球

的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A.10种B.20种C.36种D.52种

课后练习与提高

1、从1,2,3,4,5中任取两个数分别作为底数和真数，则所有不同的对数值的个数是

A,20B,16C,13D,12

2、已知x,y€N且Cnx=Cny，贝U

A,x=yB,x+y=nC,x=y或x+y=nD，不确定

3.从平面a内取5点，平面3内取4点，这些点最多能组成的三棱锥的个数是

31444313122

A,C5C4B,C9C,C9-C5D,C5C4+GCs+C5C4

4.在3000与8000之间有个无重复数字的奇数。

5.某仪器显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中3个孔，

但相邻的两个孔不能同时显示，则这个显示屏共能显示出的信号种数是

6、有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式

（1）分成1本、2本