小学数学解题策略40几何变换法.docx

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小学数学解题策略40几何变换法

小学数学解题策略（40）——几何变换法

第四十讲几何变换法

利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。

在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。

如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。

（一）添辅助线法

有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。

如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。

辅助线一般用虚线表示。

*例1求图40-1阴影部分的面积。

（单位：

平方米）（适于三年级程度）

解：

图40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。

这样图中右边的五个小长方形的面积相等。

同时，左边五个小长方形的面积也相等。

左边每个小长方形的面积是：

25÷2=12.5（平方米）

所以，阴影部分的面积是：

12.5×3=37.5（平方米）

答略。

*例2如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。

求EC的长。

（单位：

厘米）（适于五年级程度）

解：

如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。

所以，△AEF的面积与△ABE的面积相等。

小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。

因为它的高是5厘米，所以，

EC=10÷5=2（厘米）

答：

EC长2厘米。

*例3如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。

（单位：

厘米）（适于五年级程度）

解：

这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。

如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。

这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。

在△ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。

所以AB=AE=7（厘米），则△ABE的面积是：

7×7÷2=24.5（平方厘米）

在△DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。

所以，CD=CE=3厘米，则△DCE的面积是：

3×3÷2=4.5（平方厘米）

所以，四边形ABCD的面积是：

24.5-4.5=20（平方厘米）

答略。

（二）分割法

分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。

例1计算图40-7的面积。

（单位：

厘米）（适于五年级程度）

解：

如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。

［2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8

=6+32

=38（平方厘米）

答：

图形的面积是38平方厘米。

例2图40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。

求图中阴影部分的面积。

（适于五年级程度）

解：

如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。

先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。

三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。

60×（40÷2）÷2×2

=60×20

=1200（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是1200平方厘米。

*例3求图40-11中各组合体的体积。

（单位：

厘米）（适于六年级程度）

解：

如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。

（三）割补法

在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。

例1求图40-13阴影部分的面积。

（单位：

厘米）（适于六年级程度）

成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。

答：

阴影部分的面积是45平方厘米。

*例2求图40-15中阴影部分的面积。

（单位：

米）（适于六年级程度）

16×16×2=512（平方米）

答：

阴影部分的面积是512平方米。

*例3图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。

求图中阴影部分的面积。

（适于六年级程度）

解：

经割补，把图40-17组合成图40-18。

很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。

答：

图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。

（四）平移法

在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。

例1计算图40-19中阴影部分的周长。

（单位：

厘米）（适于六年级程度）

解：

把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。

图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。

5×5=25（平方厘米）

答略。

*例2求图40-21中阴影部分的周长。

（单位：

厘米）（适于三年级程度）

解：

按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。

（5+4）×2+2×2

=9×2+4

=22（厘米）

答略。

*例3求图40-25S形水泥弯路面的面积。

（单位：

米）（适于三年级程度）

解：

把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。

S形水泥路的面积是：

30×2=60（平方米）

答略。

（五）旋转法

将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。

*例1计算图40-27阴影部分的面积。

（单位：

分米）（适于六年级程度）

图40-27便转化为图40-28。

图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。

答略。

例2图40-29中，小圆的半径是10厘米，中圆的半径是20厘米，大圆的半径是30厘米。

求图中阴影部分的面积。

（适于六年级程度）

解：

把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。

很明显，图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。

答略。

*例3计算图40-31的阴影面积。

（单位：

厘米）（适于六年级程度）

解：

把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。

此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。

这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。

答略。

（六）扩倍法

扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积或体积。

*例1求图40-33的面积。

（单位：

厘米）（适于三年级程度）

解：

此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。

如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是：

（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）

答略。

例2计算图40-35木块的体积。

（单位：

分米）（适于五年级程度）

解：

在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。

图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。

3×10×（3+2）÷2

=150÷2

=75（立方分米）

答略。

（七）缩倍法

缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。

例1图40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。

（适于五年级程度）

解：

将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是1厘米。

从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即①、②、③三个部分的面积），得阴影部分面积。

3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2

=15-4.5-1-5

=4.5（平方厘米）

把4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。

4.5×2=9（平方厘米）

答略。

例2图40-38正方形的面积是18平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

（适于六年级程度）

解：

先将正方形面积缩小2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是3厘米。

先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大2倍，就得到题中所求。

答略。

（八）剪拼法

有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。

如果把这类图形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。

*例1计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。

（单位：

厘米）（适于六年级程度）

解：

沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上半部分的正面拼接，图40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。

很容易看出，图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。

图40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。

图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。

答略。

*例2图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求

（1）～（10）各图阴影部分的面积。

（适于六年级程度）

解：

作图40-46，并把图40-46中的

（1）画在一张透明纸上剪成

（2）那样的4个小正方形。

如果画出两个

（1），就可以剪出8个

（2）那样的小正方形。

用

（2）的4个小正方形，可以组合、拼接出图40-45中

（1）～（5）中的任何一个图形。

这时可清楚地看出，图40-45中

（1）～（5）每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中

（1）的阴影部分的面积相等，它们的面积都是：

2×2-3.14×1×1=0.86（平方厘米）

同理，用8个图40-46中

（2）的小正方形可以组合、拼接出图40-45中（6）～（10）的任何一个图形。

图40-45中（6）～（10）每个图形的阴影面积都是图40-46中

（1）的阴影面积的2倍：

（2×2-3.14×12）×2=1.72（平方厘米）