魔方速成法则.docx

资源描述

魔方速成法则.docx

《魔方速成法则.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《魔方速成法则.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

魔方速成法则.docx

魔方速成法则

魔方总变化数的道理

魔方总的变化数为

或者约等于4.3·1019。

三阶魔方总变化数的道理是这样：

六个中心块定好朝向后，我们就不可以翻转魔方了，而他们也正好构成了一个坐标系，在这个坐标系里，8个角色块全排列8!

，而每个角色块又有3种朝向，所以是8!

*38，12个棱色块全排列每个有2种朝向是12!

*212，这样相乘就是分子，而分母上3*2*2的意义是，保持其他色块不动，不可以单独改变一个角色块朝向，改变一个棱色块朝向，和单独交换一对棱色块或一对角色块的位置。

第一个道理：

为什么不能单独翻转一个棱色块。

想象我们对6个中心色块定好了我们喜爱的方向，我们就定好了一个坐标系，这个坐标系的原点就是魔方的体中心。

坐标有明确的正负方向。

我们可以看见魔方的每一个棱色块都是有一条棱的（这不废话么，呵呵），对应于水平、前后、竖直x,y,z三个轴，分别有4条棱和他们每一个平行，我们把这4条棱都标上一个箭头，指向正的方向。

现在如果你有一个魔方可以这样做一下。

我们现在想象空间中有了这样一个坐标系，和12个箭头。

考虑任意面的旋转，（我这里不考虑3个中面的旋转，（因为，1，这样动了坐标系，2，中面的旋转可以等效两个侧面的旋转。

），这时我们不考虑魔方，和魔方的花色，把他看成透明的，我们只考虑箭头，每次任意面旋转90度，我们都会让2个箭头改变方向（由正变负），我们只看结果，不考虑转的过程，不区分箭头哪来的。

翻转一个面90度是魔方的原子操作，他只能同时改变2个箭头的方向。

所以我们最后不可能得到其他块不变只有1个箭头被翻转，也就是不可能只有一个棱色块被翻转。

第二个道理：

为什么不能单独翻转一个角色块。

这个问题说起来，首先需要澄清角色块的方向是如何定义的。

因为角色块会处在8个不同的位置，他的方向却只有3种，我怎么定义一个移动的坐标，又能准确标示出这3种方向变化呢？

我这里建议一种：

首先让你的视线穿过一个角色块的顶点和整个魔方的体中心，你会看到一个Y是不是？

以你的视线为轴，这个角色块可以旋转，他有3个位置。

如下：

0°

120°

240°

试试转一个侧面，看看色块在新的位置朝向是怎样的？

如果你转一个魔方的右侧面90度，你会发现最靠近你眼睛的那个角色块的朝向转过了120度。

盯住这个色块，再转一下，他转到下面来了，为了仍然呈现一个Y，我们这时可以将魔方底面翻上来，这时我们发现这个角色块又转回了0如此等等。

重点是，你观察任何一面的90度旋转，4个角色块，他们的朝向旋转过的角度总和一定是360度的整数倍，准确的说就是120+240+240+120。

因为，转一个面是最小的原子操作，所以无论经过怎样多少步的操作，我们所有角色块角度变化和都是360*n，所以我们不可能只将一个色块旋转120度或者240，而让其他色块不变化，也因此我们证明了为什么不能单独翻转一个角色块。

第三个道理：

为什么不能只对调一对色块。

首先我们考虑1234四个数的排列问题。

1234变成4123，是所有数向右推移一位的变换。

大家联想一下魔方，每转一个面90度，4个角，4个棱都是这种变换是吧。

1234变4123我以后简称（1234），其实也好记，就是1to2，2to3，3to4，4to1，要是（1432）就是1到4，4到3，3到2，2到1，就是向左推移。

（1234）是由几个"交换两个数"的变换组成的呢。

这里直接给出答案（1234）=（12）（13）（14）,（12）的意思就是1到2，2到1。

具体说，我们看1234变化的过程是这样：

∙（12）2134

∙（13）3124

∙（14）4123

正好就是变换（1234）。

这样我们知道（1234）是经过奇数个交换得到的。

任何一个变换都可以由若干个两两交换得到。

因为对于一个目标排列如2413，我怎么做呢，这里面内在的道理就涉及群论的初步。

这可能叫做循环群，我不确定，因为我没看过书。

1234全排列有4!

=24个，而对1234的变换也有24种。

他们构成一个群。

什么是群？

一个群就是有一堆元素。

我们还需要一个运算"*"。

他们满足：

1.封闭性：

a和b是群里的元素，那么a*b也是。

2.存在元素e（其实就是类比乘法里的1）。

a*e=e*a=a

3.每个元素a都有唯一逆元a-1,a*a-1=a-1*a=e

4.结合律（a*b）*c=a*（b*c）

好像很boring，我每次看都觉得，但是今天自己写一遍就不觉得。

这里面，我是说这件bo不boring的事里面是有道理的。

需要指出的是通常群并不满足交换律。

满足交换律的叫做abel群（等于什么都没说）。

为啥我说对1234的24个变换构成一个群呢。

我说的24个变换就是对应了1234的24种排列，每个变换就是把1234变到其中的一种排列所使用的变换。

对于这些变换的运算"*"就是做变换的先后顺序，a*b就是先做a再做b。

∙首先1234是一个排列，他对应了一种变换，就是不变，我用

（1）来表示，他就是满足定义第二条的元素e。

∙封闭性，这是显然的，因为只有24种排列，和对应的变换，跑不出去。

∙逆元都是有的，就是把每步逆序然后取反，肯定都在这24个变换当中。

∙结合律看似挺麻烦，其实是显然的，因为（a*b）*c，a*（b*c）的意思都是先a再b再c。

这样他们构成了一个群，

sowhat？

其实我现在也不好说构成了一个群就怎么样。

我只是说我可以用群的一些性质。

知道这个结构的一些特点了。

也可以用分析群的一些视角，一些想法来分析这个系统。

首先我们看这24个变换。

∙

（1）,偶

∙（12）,（13）,（14）,（23）,（24）,（34）,奇

∙（123）,（132）,（124）,（142）,（134）,（143）,（234）,（243）偶

这是15个，还剩9个，如果不明白什么意思，看前面，我说一个（243）意思是2到4，4到3，3到2，他把1234的1不动，234三个数字轮换的向左推移一位变成1342。

还有显然的

∙（1234）,（1432）,奇

∙（14）（23）,（13）（24）,（12）（34）偶

还剩4个他们是

∙（13）（12）（24）,（12）（14）（13）,（14）（23）（12）,（13）（24）（12）奇

我们叫有奇数个两两交换组成的变换为奇变换，反之为偶变换，其实就是把群元素标出奇偶性。

我们看到两个奇变换运算得到偶变换，而两个偶变换运算永远得不到奇数变换。

这样偶变换事实上构成了一个子群。

也就是说他们做运算是封闭的。

他们是

∙

（1）,偶

∙（123）,（132）,（124）,（142）,（134）,（143）,（234）,（243）偶

∙（14）（23）,（13）（24）,（12）（34）偶

这12个元素构成了一个子群。

我好像想错了一些事情，呵呵。

不过前面写出的都是正确的。

我可能以后会用到回到为什么不能只对调一对色块。

为什么？

因为一个原子操作，将一个面旋转90度，将4个角做了（1234）或（1432）是一个3个交换的奇变换，4个棱同样是3个交换的奇变换，这样他对所有的色块做的变换总的效果是一个偶变换。

所以对于所有色块的排列，我们能够达成的都是偶变换，而只对调一对色块是一个奇变换。

不可能达成。

因此，我们证明了为什么不能只对调一对色块。