第一章13131第一课时 函数的单调性.docx

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第一章13131第一课时函数的单调性

1．3.1　单调性与最大（小）值

第一课时　函数的单调性

预习课本P27～29，思考并完成以下问题

（1）增函数、减函数的概念是什么？

（2）如何表示函数的单调区间？

（3）函数的单调性和单调区间有什么关系？

1．定义域为I的函数f（x）的增减性

[点睛]　定义中的x1，x2有以下3个特征

（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

（2）有大小，通常规定x1

（3）属于同一个单调区间．

2．单调性与单调区间

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

[点睛]　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，却不能表述为：

函数y＝在（－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递减．

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝x2在R上是增函数．（　　）

（2）所有的函数在其定义域上都具有单调性．（　　）

（3）在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×

2.函数y＝f（x）的图象如图所示，其增区间是（　　）

A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]

D．[－3,4]

答案：

C

3．下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）的是（　　）

A．f（x）＝x2　　　　　　　　B．f（x）＝

C．f（x）＝|x|D．f（x）＝2x＋1

答案：

B

4．函数f（x）＝－x2－2x的单调递增区间是________．

答案：

（－∞，－1]

函数单调性的判定与证明

[例1]　求证：

函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，在（－∞，0）上是增函数．

[证明]　对于任意的x1，x2∈（－∞，0），且x1

∵x1

∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴函数f（x）＝在（－∞，0）上是增函数．

对于任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1

f（x1）－f（x2）＝.

∵00，x2＋x1>0，xx>0.

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

∴函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数．

利用定义证明函数单调性的4个步骤

[活学活用]

1．证明函数f（x）＝x＋在（0,1）上是减函数．

证明：

设x1，x2是区间（0,1）上的任意两个实数，且x1

（x1－x2）＝.

∵0

∴x1－x2<0,0

∴>0，即f（x1）>f（x2），

求函数的单调区间

∴f（x）＝x＋在（0,1）上是减函数.

[例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．

[解]　y＝

即y＝

函数的大致图象如图所示，单调增区间为（－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为（－1,0），（1，＋∞）．

求函数单调区间的2种方法

法一：

定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

法二：

图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．　　　　

[活学活用]

2．如图所示为函数y＝f（x），x∈[－4,7]的图象，则函数f（x）的单调递增区间是________．

解析：

由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．

答案：

[－1.5,3]和[5,6]

3．求函数f（x）＝的单调减区间．

解：

函数f（x）＝的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），

设x1，x2∈（－∞，1），且x1

f（x1）－f（x2）＝－＝.

因为x10，x1－1<0，x2－1<0，

所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，同理函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减．

综上，函数f（x）的单调递减区间是（－∞，1），（1，＋∞）.

函数单调性的应用

题点一：

利用单调性比较大小

1．若函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上是减函数，则下列关系式一定成立的是（　　）

A．f（a）>f（2a）　　　　B．f（a2）

C．f（a2＋a）

解析：

选D　因为f（x）是区间（－∞，＋∞）上的减函数，且a2＋1>a2，所以f（a2＋1）

题点二：

利用单调性解不等式

2．已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）>f（5x＋6），求实数x的取值范围．

解：

∵函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）>f（5x＋6），∴2x－3>5x＋6，解得x<－3.∴x的取值范围为（－∞，－3）．

题点三：

已知单调性求参数范围

3．已知函数f（x）＝x－＋在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

解：

设11.

∵函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，

∴f（x1）－f（x2）＝x1－＋－

＝（x1－x2）<0.

∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.

∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.

∴a的取值范围是[－1，＋∞）．

函数单调性的应用

（1）函数单调性定义的“双向性”：

利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．

（2）若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．　　

层级一　学业水平达标

1．如图是函数y＝f（x）的图象，则此函数的单调递减区间的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选B　由图象，可知函数y＝f（x）的单调递减区间有2个．故选B.

2．下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（　　）

A．y＝|x|B．y＝3－x

C．y＝D．y＝－x2＋4

解析：

选A　因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在（0，＋∞）上递减，二次函数y＝－x2＋4在（0，＋∞）上递减．故选A.

3．函数y＝的单调递减区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（－∞，0）和（0，＋∞）D．（－∞，0）∪（0，＋∞）

解析：

选C　函数y＝的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．由函数的图象可知y＝在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数．

4．若函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是单调减函数，则有（　　）

A．a≥B．a≤

C．a>D．a<

解析：

选D　函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.

5．函数f（x）＝|x|，g（x）＝x（2－x）的递增区间依次是（　　）

A．（－∞，0]，（－∞，1]B．（－∞，0]，（1，＋∞）

C．[0，＋∞），（－∞，1]D．[0，＋∞），[1，＋∞）

解析：

选C　分别作出f（x）与g（x）的图象得：

f（x）在[0，＋∞）上递增，g（x）在（－∞，1]上递增，选C.

6．若f（x）在R上是减函数，则f（－1）________f（a2＋1）（填“>”或“<”或“≥”或“≤”）．

解析：

∵f（x）在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1f（x2）．又∵－1f（a2＋1）．　

答案：

>

7．已知函数f（x）为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f（x）

解析：

由题设得

解得－1≤x<.

答案：

8．如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．

解析：

∵函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，

∴≤，即a≤2.

答案：

（－∞，2]

9．判断并证明函数f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上的单调性．

解：

函数f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上是增函数．证明如下：

设x1，x2是（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1

由x1，x2∈（0，＋∞），得x1x2>0，

又由x1

于是f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上是增函数．

10．作出函数f（x）＝的图象，并指出函数f（x）的单调区间．

解：

f（x）＝的图象如图所示．

由图可知，函数f（x）＝的单调减区间为（－∞，1]和（1,2），单调增区间为[2，＋∞）．

层级二　应试能力达标

1．若函数f（x）在区间（a，b）上是增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f（x）在区间（a，b）∪（b，c）上（　　）

A．必是增函数　　　　　　　B．必是减函数

C．是增函数或减函数D．无法确定单调性

解析：

选D　函数在区间（a，b）∪（b，c）上无法确定单调性．如y＝－在（0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上并不具有单调性．

2．下列四个函数在（－∞，0）上为增函数的是（　　）

①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.

A．①②B．②③

C．③④D．①④

解析：

选C　①y＝|x|＋1＝－x＋1（x<0）在（－∞，0）上为减函数；②y＝＝－1（x<0）在（－∞，0）上既不是增函数也不是减函数；③y＝－＝x（x<0）在（－∞，0）上是增函数；④y＝x＋＝x－1（x<0）在（－∞，0）上也是增函数．

3．已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,3）B．（0,3]

C．（0,2）D．（0,2]

解析：

选D　依题意得实数a满足解得0

4．若函数f（x）＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A．（－∞，8]B．[40，＋∞）

C．（－∞，8]∪[40，＋∞）D．[8,40]

解析：

选C　由题意知函数f（x）＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函数f（x）＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是（－∞，8]∪[40，＋∞）．故选C.

5．若函数y＝－在（0，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是________．

解析：

设0

f（x1）－f（x2）＝－＋＝>0.

∵00，

∴b<0.

答案：

（－∞，0）

6．设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，则不等式f（x）＋f（－2）>1的解集为________．

解析：

由条件可得f（x）＋f（－2）＝f（－2x），又f（3）＝1，∴不等式f（x）＋f（－2）>1，即为f（－2x）>f（3）．

∵f（x）是定义在R上的增函数，∴－2x>3，

解得x<－.故不等式f（x）＋f（－2）>1的解集为.　

答案：

7．已知y＝f（x）在定义域（－1,1）上是减函数，且f（1－a）

解：

由题意可知解得0

又f（x）在（－1,1）上是减函数，

且f（1－a）2a－1，即a<，②

由①②可知，a的取值范围是.

8．设函数f（x）＝（a>b>0），求f（x）的单调区间，并说明f（x）在其单调区间上的单调性．

解：

在定义域内任取x1，x2，且使x1

则f（x2）－f（x1）＝－

＝

＝.

∵a>b>0，x10.

只有当x1

当x1

∴y＝f（x）在（－∞，－b）上是单调减函数，在（－b，＋∞）上也是单调减函数．

∴y＝f（x）的单调减区间是（－∞，－b）和（－b，＋∞），无单调增区间．