人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九含答案 50.docx

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人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九含答案50

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案）

已知：

如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE．

（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；

（2）若点C横坐标为t，△BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；

（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式．

【答案】

（1）（﹣2，4）；

（2）S＝﹣t2+6t；（3）y＝x+6

【解析】

【分析】

（1）作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．只要证明△CFO≌△OGE即可解决问题；

（2）只要证明△EOB≌△COA，可得BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，推出∠EBC＝90°，即EB⊥AB，由C（t，﹣t+6），可得BC＝

t，AC＝BE＝

（6﹣t），根据S＝

•BC•EB，计算即可；

（3）由

（1）可知E（t﹣6，t），设x＝6﹣t，y＝t，可得y＝x+6．

【详解】

解：

（1）作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．

∴∠CFO＝∠EGO＝90°，

令x＝4，y＝﹣4+6＝2，

∴C（4，2），

∴CF＝2，OF＝4，

∵四边形OCDE是正方形，

∴OC＝OE，OC⊥OE，

∵OC⊥OE，

∴∠COF+∠EOG＝90°，∠COF+∠OCF＝90°，

∴∠EOG＝∠OCF，

∴△CFO≌△OGE，

∴OG＝OF＝4，OG＝CF＝2，

∴G（﹣2，4）．

（2）∵直线y＝﹣x+6交y轴于B，

∴令x＝0得到y＝6，

∴B（0，6），

令y＝0，得到x＝6，

∴A（6，0），

∴OA＝OB＝6，∠OAB＝∠OBA＝45°，

∵∠AOB＝∠EOC＝90°，

∴∠EOB＝∠COA，

∵OE＝OC，

∴△EOB≌△COA，

∴BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，

∴∠EBC＝90°，即EB⊥AB，

∵C（t，﹣t+6），

∴BC＝

t，AC＝BE＝

（6﹣t），

∴S＝

•BC•EB＝

×

t•

（6﹣t）＝﹣t2+6t．

（3）当点C在线段AB上运动时，由

（1）可知E（t﹣6，t），

设x＝6﹣t，y＝t，

∴t＝x+6，

∴y＝x+6．

故答案为

（1）（﹣2，4）；

（2）S＝﹣t2+6t；（3）y＝x+6.

【点睛】

本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

92．如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，

（1）如图1，过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：

△BDE为等腰三角形；

（2）如图2，延长BE到D，∠ADB=∠ABC，AF⊥BD于F，AD=2,BF=3,求DF的长

（3）如图3，若AB=AC，AF⊥BD，∠ACD=

∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）DF=1;（3）BF=CD+DF，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB，可证得结论；

（2）作AH=AD,可得AH=BH=AD=2，从而HF=1，在△AHD中，AH=AD,AF⊥HD,

得HF=FD=1;

（3）延长CD到M，使得CM=BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，则△ABD≌△ACM，根据全等三角形的性质可得出AD=AM，∠ADB=∠AMC，利用全等三角形的判定定理AAS可证出△ADF≌△ADN，根据全等三角形的性质可得出DF=DN=MN，再结合BD=CM即可找出BF=CD+DF．

【详解】

（1）证明：

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，

∴BD=ED，

∴△DBE为等腰三角形；

（2）作AH=AD,

∴∠AHD=∠D,

∴∠1=

∠AHD,

∵∠AHD=∠1+∠3，

∴AH=BH=AD=2，

∴HF=BF-BH=3-2=1，

∵在△AHD中，AH=AD,AF⊥HD,

∴HF=FD=

HD,

∴DF=HF=1;

（3）解：

在图中，延长CD到M，使得CM=BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，

∵BE平分∠ABC，∠ACD=

∠ABC，

∴∠ACM=∠ABD．

在△ABD和△ACM中，

，

∴△ABD≌△ACM（SAS），

∴AD=AM，∠ADB=∠AMC，

∴∠AMD=∠ADM，

∴∠ADF=ADN．

∵AN⊥DM，

∴DN=MN．

在△ADF和△ADN中，

，

∴△ADF≌△ADN（AAS），

∴DF=DN=MN．

∵BD=CM，

∴BF=BC-DF=CM-MN=CN=CD+DN=CD+DF．

即BF=CD+DF．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

93．已知：

△ABC是等腰直角三角形.∠A=90°，CE平分∠ACB交AB于点E.

（1）如图1，若点D在斜边BC上，DM垂直平分BE，垂足为M.求证：

BD=AE.

（2）如图2，过点B作BF⊥CE交CE的延长线于点F.若CE=6，求△BEC的面积.

【答案】

（1）见解析；

（2）9

【解析】

【分析】

（1）由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，由DM垂直平分BE，可得BD=DE，进而判断△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分线的性质可得ED=AE，根据等量代换可得BD=AE；

（2）延长BF，CA，交与点G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形内角和定理可得：

∠GBC=∠G，进而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三线合一，可得BF=FG=

BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可证△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根据三角形的面积公式即可求△BEC的面积．

【详解】

解：

（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵DM垂直平分BE，

∴BD=ED，

∴∠BED=∠B=45°，

∴∠EDC=∠B+∠BED=90°，

∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，

∴ED=EA，

∴BD=AE；

（2）延长BF和CA交于点G，如图，

∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，

∵BF⊥CE，∴∠BFC=∠GFC=90°，

∴∠CBG=∠CGB，∴CG=CB，

∴BF=GF=

BG，

∵∠GFC=∠GAB=90°，∴∠ACF+∠G=90°，

∴∠ABG+∠G=90°，∴∠ACF=∠ABG，

在△ACE和△ABG中，

，

∴△ACE≌△ABG（ASA），

∴CE=BG，

∴CE=2BF，

∵CE=6，

∴BF=

CE=3，

S△BEC=

CE•BF=

×6×3=9．

【点睛】

该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出命题中隐含的等量关系，是证明全等三角形的关键．

94．如图，点A，B，E，D在同一直线上，AC∥DF，AE=BD，AC=DF．求证：

∠C=∠F．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质，以及等式性质，得出∠A=∠D，AB=DE，进而判定△ABC≌△DEF，进而得出∠C=∠F．

【详解】

证明：

∵AE=BD，

∴AE-BE=BD-BE，

即AB=DE，

又∵AC∥DF，

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

∵

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴∠C=∠F.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．

95．

（1）如图AB∥CD，∠ABE=120°，∠ECD=25°，求∠E的度数。

（2）小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】

（1）85°

（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据直线平行的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可得到∠E的值。

（2）根据作一个角等于已知角的方法进行操作即可，可得最后两个直线的交点即为C点所在的位置.

【详解】

（1）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∠ABE=120°，

∴∠FEB=60°，EF∥CD，

∴∠FEC=25°，

∴∠BEC=25°+60°=85°；

（2）连接AB，以AB为边，作∠BAC=∠1，作∠ABC=∠2，则两个弧相交的点即为点C的位置.

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，解题的关键是熟练掌握五种基本作图.

96．已知:

如图，

的平分线与

的垂直平分线交于点

，垂足分别为

.

（1）求证:

;

（2）若

，求

的长.

【答案】

（1）见解析；

（2）CF＝3

【解析】

【分析】

（1）作DK⊥BC于K．连接DB，CD．由△EAD≌△FAD（AAS），推出DE=DF，AE=AF，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得BE=CF．

（2）根据第一问的结论，找出线段间的等量关系，求出AE，AF的值即可解决问题．

【详解】

（1）证明：

作DK⊥BC于K．

∵DK垂直平分线段BC，

∴BD=DC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∵∠DAE=∠DAF，AD=AD，

∴△EAD≌△FAD（AAS），

∴DE=DF，AE=AF，

∵∠DEB=∠DFC=90°，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），

∴BE=CF，

（2）∵AB+AC=AE+BE+AF-CF=2AE=15+9=24，

∴AE=AF=12，

∴CF=AF-AC=12-9=3．

【点睛】

考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

97．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：

△DEF是等腰三角形

（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数

（3）若∠DEF=∠A，FD=4，求△DEF的周长

【答案】

（1）见解析；

（2）65°；（3）12

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质等边对等角得∠1=∠2，由全等三角形判定SAS得△BDE≌△CEF，由全等三角形性质得DE=EF，根据等腰三角形的判定即可得证.

（2）由

（1）知△BDE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理∠BED+∠CEF=115°，在由三角形内角和定理即可求得答案.

（3）由

（1）知△BDE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，又三角形内角和定理可得∠B=∠DEF，根据等边三角形的判定得△ABC为等边三角形，△DEF为等边三角形，从而求得答案.

【详解】

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

在△BDE和△CEF中，

∵

，

∴△BDE≌△CEF（SAS），

∴DE=EF，

∴△DEF为等腰三角形.

（2）解：

由

（1）知△BDE≌△CEF，

∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，

又∵∠A=50°，AB=AC，

∴∠B=∠C=65°，

∴∠BED+∠BDE=115°，

即∠BED+∠CEF=115°，

∵∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，

∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF，

=180°-115°，

=65°.

（3）解：

由

（1）知△BDE≌△CEF，

∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，

∵∠BED+∠BDE+∠B=180°，∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，

∴∠B=∠DEF，

∵∠A=∠DEF，AB=AC，

∴∠A=∠B=∠C，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠DEF=60°，

又∵DE=EF，

∴△DEF为等边三角形，

∵FD=4，

∴C△DEF=3×4=12.

【点睛】

全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,解题关键是熟记其判定和性质，并灵活运用.

98．在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，延长CE到G，使CG=AB；如果∠BCE=45º，求证：

AB垂直平分GF.

【答案】答案见详解.

【解析】

【分析】

首先根据已知得出BE=CE，进而推出GE=AE；然后根据角边角定理证明△BEF≌△CEA；最后根据全等三角形的性质得出结论即可.

【详解】

证明：

∵CE⊥AB，∠BCE=45°，

∴BE=CE，

又∵CG=AB，

∴GE=AE，

∵∠EFB=∠DFC，∠BEF=∠CDF=90°，

∴∠FBE=∠ACE，

又∵CE⊥AB，

∴∠BEF=∠CEA=90°，

在△BEF和△CEA中，

，

∴△BEF≌△CEA，

∴EF=EA，

∴GE=EF，

又∵AB⊥GF，

∴AB垂直平分GF.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定（ASA），全等三角形的性质.

99．已知：

如图，在

中，

于点

，

为

上一点，连结

交

于

，且

，

，求证：

.

【答案】详见解析.

【解析】

【分析】

根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC，进而解答即可．

【详解】

∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°．

在Rt△BDF和Rt△ADC中，

，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠FBD=∠DAC．

又∵∠BFD=∠AFE，∴∠AEF=∠BDF=90°，∴BE⊥AC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC．

100．如图：

两个等边三角形△ABD与△BCE，连结AE与CD，

求证：

（1）AE=CD;

（2）AE与DC之间的夹角为60°;

（3）AE与CD的交点设为H,BH平分∠AHC．

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，易证△BCD≌△BEA，即可证得AE=CD；

（2）延长AE交CD于H，交BD于O,在△ODH和△AOB中，根据“8”字形即可证明；

（3）过B作BM⊥CD于点M,过B作BN⊥AH于点N,证明△AMN≌△DBM，得出BM=BN,即可通过角平分线的判定证明.

【详解】

（1）∵等边三角形ABD和等边三角形BCE

∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,BE=BC，∠ABD-∠EBD=∠CBE-∠EBD,即∠ABE=∠DBC，

∴△BCD≌△BEA,

∴AE=DC

（2）延长AE交CD于H，交BD于O,在△ODH和△AOB中，

∵△BCD≌△BEA,

∴∠HDO=∠OAB,

又∵∠DOH=∠AOB,根据三角形内角和是180°，

∴∠DHO=∠ABO=60°

（3）过B作BM⊥CD交CD的延长线于点M,过B作BN⊥AH于点N,

∴∠BNA=∠BMD=90°，

∵△BCD≌△BEA,

∴AB=DB,∠BAN=∠BDM

∴△AMN≌△DBM

∴BM=BN,

∴BH平分∠AHC.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质和轴对称图形的性质，角平分线的判定，解题关键是熟练掌握性质并能灵活运用性质.