《中考真题》中考数学母题题源系列专题04 切线的判定与性质第二篇原卷版.docx

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《中考真题》中考数学母题题源系列专题04切线的判定与性质第二篇原卷版

专题04切线的判定与性质

【母题原题一】【2019•江西】如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．

（1）连接DO，若BC∥OD，求证：

CD是半圆的切线；

（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

【答案】

（1）见解析；

（2）∠AED+∠ACD=90°，证明见解析．

【解析】

（1）连接OC，

∵AF为半圆切线，∴∠A=90°．

∵BC∥DO，∴∠CBO=∠AOD，∠BCO=∠COD．

∵OC=BO，∴∠CBO=∠BCO，∴∠COD=∠AOD．

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SAS）．

∴∠OCD=∠A=90°，

∴CD是半圆切线．

（2）∠AED+∠ACD=90°．

∵CD∥AB，∴∠ACD=∠BAC．

∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC=180°，

∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠AED=∠B．

∵AB为半圆的直径，∴∠BCA=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，∴∠AED+∠ACD=90°．

【名师点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

【母题原题二】【2019·四川遂宁】如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF=2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC=

，BC=6．

（1）求证：

∠COD=∠BAC；

（2）求⊙O的半径OC；

（3）求证：

CF是⊙O的切线．

【答案】

（1）见解析；

（2）⊙O的半径OC为

；（3）见解析．

【解析】

（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF=90°，

∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE=BE，∴∠BAC=2∠EAC，

∵∠COE=2∠CAE，∴∠COD=∠BAC；

（2）∵∠COD=∠BAC，