人教版八年级数学上册第12章全等三角形单元测试含答案解析初二数学试题.docx
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人教版八年级数学上册第12章全等三角形单元测试含答案解析初二数学试题
《第12章全等三角形》
一、选择题(共7小题,每小题3分,满分21分)
1.如图,△ABC≌△DEC,∠A=70°,∠ACB=60°,则∠E的度数为( )
A.70°B.50°C.60°D.30°
2.如图,已知△ABC≌△DAE,BC=2,DE=5,则CE的长为( )
A.2B.2.5C.3D.3.5
3.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带( )
A.①B.②C.③D.①和②
4.如图,Rt△ABC,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,则下列结论中不正确的是( )
A.BD+ED=BCB.DE平分∠ADBC.AD平分∠EDCD.ED+AC>AD
5.如图,已知△ABC≌△EDF,点F,A,D在同一条直线上,AD是∠BAC的平分线,∠EDA=20°,∠F=60°,则∠DAC的度数是( )
A.50°B.60°C.100°D.120°
6.如图,射线OC是∠AOB的角平分线,P是射线OA上一点,DP⊥OA,DP=5,若点Q是射线OB上一个动点,则线段DQ长度的范围是( )
A.DQ>5B.DQ<5C.DQ≥5D.DQ≤5
7.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
8.如图:
在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,当添加条件 BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF 时,就可得到△ABC≌△FED.(只需填写一个即可)
9.如图,把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),若测得AB=5米,则槽宽为 5 米.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=15,且BD:
DC=3:
2,则D到边AB的距离是 6 .
11.如图,已知△ABE≌△ACF,∠E=∠F=90°,∠CMD=70°,则∠2= 20 度.
12.如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有 3 对全等三角形.
13.如图,在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=6,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△QPA全等,则AP= 6或12 .
三、解答题(共5小题,满分0分)
14.如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
15.如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:
PM=PN.
16.如图,O为码头,A、B两个灯塔与码头O的距离相等,OA,OB为海岸线,一轮船P离开码头,计划沿∠AOB的平分线航行.
(1)用尺规作出轮船的预定航线OC;
(2)在航行途中,轮船P始终保持与灯塔A、B的距离相等,试问轮船航行时是否偏离了预定航线?
请说明理由.
17.已知:
如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.
求证:
(1)△BAD≌△CAE;
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.
18.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗?
试说明理由.
《第12章全等三角形》
参考答案与试题解析
一、选择题(共7小题,每小题3分,满分21分)
1.如图,△ABC≌△DEC,∠A=70°,∠ACB=60°,则∠E的度数为( )
A.70°B.50°C.60°D.30°
【考点】全等三角形的性质.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数,根据全等三角形的性质得到答案.
【解答】解:
∵∠A=70°,∠ACB=60°,
∴∠B=50°,
∵△ABC≌△DEC,
∴∠E=∠B=50°,
故选:
B.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.
2.如图,已知△ABC≌△DAE,BC=2,DE=5,则CE的长为( )
A.2B.2.5C.3D.3.5
【考点】全等三角形的性质.
【分析】根据全等三角形的性质求出AC=5,AE=2,进而得出CE的长.
【解答】解:
∵△ABC≌△DAE,
∴AC=DE=5,BC=AE=2,
∴CE=5﹣2=3.
故选C.
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用,关键是求出AC=5,AE=2,主要培养学生的分析问题和解决问题的能力.
3.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带( )
A.①B.②C.③D.①和②
【考点】全等三角形的应用.
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可.
【解答】解:
带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形.
故选C.
【点评】本题考查了全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
4.如图,Rt△ABC,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,则下列结论中不正确的是( )
A.BD+ED=BCB.DE平分∠ADBC.AD平分∠EDCD.ED+AC>AD
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE,由此又可得出很多结论,对各选项逐个验证,证明.
【解答】解:
CD=DE,
∴BD+DE=BD+CD=BC;
又有AD=AD,
可证△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即AD平分∠EDC;
在△ACD中,CD+AC>AD
所以ED+AC>AD.
综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30°,题干没有此条件,B错误,
故选B.
【点评】本题主要考查平分线的性质,由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键.
5.如图,已知△ABC≌△EDF,点F,A,D在同一条直线上,AD是∠BAC的平分线,∠EDA=20°,∠F=60°,则∠DAC的度数是( )
A.50°B.60°C.100°D.120°
【考点】全等三角形的性质.
【分析】根据全等三角形的性质求出∠B和∠C,根据三角形内角和定理求出∠BAC,根据角平分线定义求出即可.
【解答】解:
∵△ABC≌△EDF,∠EDA=20°,∠F=60°,
∴∠B=∠EDF=20°,∠F=∠C=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAC=
∠BAC=50°,
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的性质,三角形内角和定理,角平分线定义的应用,能根据全等三角形的性质求出∠B和∠C是解此题的关键.
6.如图,射线OC是∠AOB的角平分线,P是射线OA上一点,DP⊥OA,DP=5,若点Q是射线OB上一个动点,则线段DQ长度的范围是( )
A.DQ>5B.DQ<5C.DQ≥5D.DQ≤5
【考点】角平分线的性质;垂线段最短.
【分析】过点D作DE⊥OB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=DE,再根据垂线段最短解答.
【解答】解:
如图,过点D作DE⊥OB于E,
∵OC是∠AOB的角平分线,DP⊥OA,
∴DP=DE,
由垂线段最短可得DQ≥DE,
∵DP=5,
∴DQ≥5.
故选C.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,熟记性质是解题的关键.
7.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】全等三角形的判定.
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可.
【解答】解:
要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,即3个单位长度,故点P的位置可以是P1,P3,P4三个,
故选C
【点评】此题考查全等三角形的判定,关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置.
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
8.如图:
在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,当添加条件 BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF 时,就可得到△ABC≌△FED.(只需填写一个即可)
【考点】全等三角形的判定.
【专题】证明题.
【分析】要得到△ABC≌△FED,现有条件为两边分别对应相等,找到全等已经具备的条件,根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案.
【解答】解:
AD=FC⇒AC=FD,又AB=EF,加BC=DE就可以用SSS判定△ABC≌△FED;
加∠A=∠F或AB∥EF就可以用SAS判定△ABC≌△FED.
故答案为:
BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
9.如图,把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),若测得AB=5米,则槽宽为 5 米.
【考点】全等三角形的应用.
【分析】连接AB,A′B′,根据O为AB′和BA′的中点,且∠A′OB′=∠AOB即可判定△OA′B′≌△OAB,即可求得A′B′的长度.
【解答】解:
连接AB,A′B′,
O为AB′和BA′的中点,
∴OA′=OB,OA=OB′,
在△OA′B′和△OAB中
,
∴△OA′B′≌△OAB,
即A′B′=AB,
故A′B′=5m,
故答案为:
5.
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用,考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质,本题中求证△OA′B′≌△OAB是解题的关键.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=15,且BD:
DC=3:
2,则D到边AB的距离是 6 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】首先由线段的比求得CD=6,然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离是.
【解答】解:
∵BC=15,BD:
DC=3:
2
∴CD=6
∵∠C=90°
AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离=CD=6.
故答案为:
6.
【点评】此题主要考查角平分线的性质:
角平分线上的任意一点到角的两边距离相等.做题时要由已知中线段的比求得线段的长,这是解答本题的关键.
11.如图,已知△ABE≌△ACF,∠E=∠F=90°,∠CMD=70°,则∠2= 20 度.
【考点】全等三角形的性质.
【分析】△ABE≌△ACF得到∠EAB=∠FAC从而∠1=∠2,这样求∠2就可以转化为求∠1,在△AEM中可以利用三角形的内角和定理就可以求出.
【解答】解:
∵∠AME=∠CMD=70°
∴在△AEM中∠1=180﹣90﹣70=20°
∵△ABE≌△ACF,
∴∠EAB=∠FAC,
即∠1+∠CAB=∠2+∠CAB,
∴∠2=∠1=20°.
故填20.
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质,全等三角形的对应角相等,是需要识记的内容;做题时要认真观察图形,找出各角之间的位置关系,这也是比较重要的.
12.如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有 3 对全等三角形.
【考点】全等三角形的判定;角平分线的性质.
【分析】由OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,得到PE=PF,∠1=∠2,证得△AOP≌△BOP,再根据△AOP≌△BOP,得出AP=BP,于是证得△AOP≌△BOP,和Rt△AOP≌Rt△BOP.
【解答】解:
OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,
∴PE=PF,∠1=∠2,
在△AOP与△BOP中,
,
∴△AOP≌△BOP,
∴AP=BP,
在△EOP与△FOP中,
,
∴△EOP≌△FOP,
在Rt△AEP与Rt△BFP中,
,
∴Rt△AEP≌Rt△BFP,
∴图中有3对全等三角形,
故答案为:
3.
【点评】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
13.如图,在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=6,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△QPA全等,则AP= 6或12 .
【考点】全等三角形的性质.
【专题】动点型.
【分析】本题要分情况讨论:
①Rt△APQ≌Rt△CBA,此时AP=BC=6,可据此求出P点的位置.②Rt△QAP≌Rt△BCA,此时AP=AC=12,P、C重合.
【解答】解:
①当AP=CB时,
∵∠C=∠QAP=90°,
在Rt△ABC与Rt△QPA中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),
即AP=BC=6;
②当P运动到与C点重合时,AP=AC,
在Rt△ABC与Rt△QPA中,
,
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),
即AP=AC=12,
∴当点P与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.
综上所述,AP=6或12.
故答案为:
6或12.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.
三、解答题(共5小题,满分0分)
14.如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的判定.
【专题】证明题.
【分析】
(1)由SAS容易证明△ABC≌△DEF;
(2)由△ABC≌△DEF,得出对应角相等∠B=∠DEF,即可得出结论.
【解答】证明:
(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,
∴∠ACB=∠DFE=90°,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定;熟练掌握全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
15.如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:
PM=PN.
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.
【解答】证明:
∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键.
16.如图,O为码头,A、B两个灯塔与码头O的距离相等,OA,OB为海岸线,一轮船P离开码头,计划沿∠AOB的平分线航行.
(1)用尺规作出轮船的预定航线OC;
(2)在航行途中,轮船P始终保持与灯塔A、B的距离相等,试问轮船航行时是否偏离了预定航线?
请说明理由.
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】
(1)直接利用角平分线的作法得出符合题意的图形;
(2)利用全等三角形的判定与性质得出答案.
【解答】解:
(1)如图所示:
OC即为所求.
(2)没有偏离预定航行,
理由如下:
在△AOP与△BOP中,
,
∴△AOP≌△BOP(SSS).
∴∠AOC=∠BOC,
即点C在∠AOB的平分线上.
【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及全等三角形的判定与性质,正确应用角平分线的性质是解题关键.
17.已知:
如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.
求证:
(1)△BAD≌△CAE;
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题;探究型.
【分析】要证
(1)△BAD≌△CAE,现有AB=AC,AD=AE,需它们的夹角∠BAD=∠CAE,而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得.
(2)BD、CE有何特殊位置关系,从图形上可看出是垂直关系,可向这方面努力.要证BD⊥CE,需证∠BDE=90°,需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供.
【解答】
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
证明如下:
由
(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ADB=∠E.
∵∠DAE=90°,
∴∠E+∠ADE=90°.
∴∠ADB+∠ADE=90°.
即∠BDE=90°.
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质;全等问题要注意找条件,有些条件需在图形是仔细观察,认真推敲方可.做题时,有时需要先猜后证.
18.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗?
试说明理由.
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】先过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,构造全等三角形:
Rt△PCE和Rt△PDF,这两个三角形已具备两个条件:
90°的角以及PE=PF,只需再证∠EPC=∠FPD,根据已知,两个角都等于90°减去∠CPF,那么三角形全等就可证.
【解答】解:
PC与PD相等.理由如下:
过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.
∵OM平分∠AOB,点P在OM上,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等)
又∵∠AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°,
∴四边形OEPF为矩形,
∴∠EPF=90°,
∴∠EPC+∠CPF=90°,
又∵∠CPD=90°,
∴∠CPF+∠FPD=90°,
∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF.
在△PCE与△PDF中,
∵
,
∴△PCE≌△PDF(ASA),
∴PC=PD.
【点评】本题考查了角平分线的性质,以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识.正确作出辅助线是解答本题的关键.