完整版线性代数考试题型及范围超.docx

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完整版线性代数考试题型及范围超

线性代数考试题型及范围：

一、填空

1、已知矩阵A或B,求A与B之间的运算，如AB,A逆B逆，kA

2、已知方阵A,求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式

3、求向量组的秩

4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式

5、其次线性方程组有非零解的充要条件

二、选择

1、同阶方阵A、B的运算性质

2、两个相似矩阵AB的性质

3、关于向量线性相关性的选择题

4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系

5、二次型正定性的判定

三、计算题

1、行列式的计算

2、求A的逆矩阵

四、解答题

1、求向量组的极大线性无关组

2、用基础解析求方程组的通解

五、给定实对称矩阵A，求可逆阵P,使P-1AP为对角阵

六、证明题：

（关于矩阵，具体内容未知）

记住这些话：

第一句话：

题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

第二句话：

若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

第三句话：

若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

第五句话：

若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

第六句话：

若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

第七句话：

若已知A的特征向量p，则先用定义Ap=Xp处理一下再说。

第八句话：

若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

《线性代数》复习提纲

第一部分：

基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：

基本知识

、行列式

1．行列式的定义

用nA2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!

项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|a|=o行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：

降阶法

定理：

n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：

选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开

降阶。

特殊情况

（1）上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

I行列式某行（列）元素全为0;

n行列式某行（列）的对应元素相同；川行列式某行（列）的元素对应成比例；w奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

1.矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（2）关于乘法的几个结论：

1矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA，称A、B是可交换矩阵）；

2矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

3若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

4|kA|=kAn|A|

3．矩阵的秩

（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：

利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵

（1）定义：

A、B为n阶方阵，若AB=BA=I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；

（2）性质：

（AB）A-1=（BA-1）*（AA-1），（A'）A-仁（AM）'；（AB的逆矩阵，你懂的）（注

意顺序）

（3）可逆的条件：

1|A|工0;②r（A）=n;③A->l;

（4）逆的求解

伴随矩阵法AA-1=（1/|A|）A*；（A*A的伴随矩阵~）

②初等变换法（A:

l）->（施行初等变换）（I:

AA-1）

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B，则X=（AA-1）B；

XB=A，贝UX=B（AA-1）;

AXB=C，贝UX=（AA-1）C（BA-1）

三、线性方程组

1．线性方程组解的判定

定理：

（1）r（A,b）丰r（A无解；

（2）r（A,b）=r（A）=n有唯一解；

（3）r（A,b）=r（A）

对齐次线性方程组AX=0

（1）r（A）=n只有零解；

（2）r（A）

再特别，若为方阵，

（1）|A|工只有零解

（2）|A|=0有非零解

2．齐次线性方程组

（1）解的情况：

r（A）=n,（或系数行列式DM0）只有零解；

r（A）

（2）解的结构：

X=c1a1+c2a2+…+Cn-ra-r。

（3）求解的方法和步骤：

1将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

2写出对应同解方程组；

3移项，利用自由未知数表示所有未知数；

4表示出基础解系；

5写出通解。

3．非齐次线性方程组

（1）解的情况：

利用判定定理。

（2）解的结构：

X=u+c1a1+c2a2+…+Cn-ranr。

（3）无穷多组解的求解方法和步骤：

与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解的解法：

有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

四、向量组

1．N维向量的定义注：

向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。

2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积a'3=a1b1+a2b2+…+anbn;

（3）向量长度

|a|=7a'a=V（a1A2+a2A2+…+命根号）

（4）向量单位化（1/|a|）；a

（5）向量组的正交化（施密特方法）

设a1a2,…，an线性无关，则

31=a1，

32=a2-（a2'31/3）1*'331，

33=a3-（a3'31/31）'*31-（a3'32/32）'*32，

3．线性组合

（1）定义若3=k1a1+k2a2+…+knan，则称B是向量组al,a2,…，an的一个线性组合，或称3可以用向量组al,a2,…，an的一个线性表示。

（2）判别方法将向量组合成矩阵，记

A=（a1a2,…，an）B=（al,a2,…，an,3）

若r（A）=r（B），则3可以用向量组al,a2,…，an的一个线性表示；

若r（A）丰r（B），贝U3不可以用向量组al,a2,…，an的一个线性表示。

（3）求线性表示表达式的方法：

将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。

4．向量组的线性相关性

（1）线性相关与线性无关的定义

设k1a1+k2a2+…+knan=0,

若k1,k2,…，kn不全为0,称线性相关；

若k1,k2,…，kn全为0,称线性无关。

（2）判别方法：

1r（ala2,…，an）

r（a,la2,…，an）=n,线性无关。

2若有n个n维向量，可用行列式判别：

n阶行列式aij=0,线性相关（工0无关）（行列式太不好打了）

5．极大无关组与向量组的秩

（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩

（2）求法设A=（ala2,…，an）将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量

1.定义对方阵A，若存在非零向量X和数入使AX=入X则称入是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值入的特征向量。

2.特征值和特征向量的求解：

求出特征方程|入I|=0的根即为特征值，将特征值入代入对应齐次线性方程组（入I）X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3.重要结论：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;

（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；

（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。

六、矩阵的相似

1.定义对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使PA-1AP=B，则称A与B相似。

2.求A与对角矩阵人相似的方法与步骤（求P和A）:

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n

个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为

A。

3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：

方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。

七、二次型

n

1.定义n元二次多项式f（x1,x2,,-xn）=刀aijxixj称为二次型，若aij=0（i，则称为二交

型的标准型。

i,j=1

2．二次型标准化：

Q，

配方法和正交变换法。

正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵

QA-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3．二次型或对称矩阵的正定性：

（1）定义（略）；

（2）正定的充要条件：

1A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;

2A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;

《线性代数》复习提纲

第一部分：

基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算;

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）;

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）;求矩阵的秩、逆（两种方法）;解矩阵方程;

含参数的线性方程组解的情况的讨论;

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）;

讨论一个向量能否用和向量组线性表示;

讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;

求方阵的特征值和特征向量;

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵;

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：

基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用nA2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!

项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|a|=o行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算