辽宁省大连市高三第一次模拟考试.docx
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辽宁省大连市高三第一次模拟考试
辽宁省大连市
2019年高三第一次模拟考试
数学试题（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22—24题为选做题，其它题为必考题。
共150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，将答案答大答题纸上。
在本试卷上答题无效。
参考公式：
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
锥体体积公式
其中S为底面面积，h为高柱体体积公式
其中S为底面面积，h为高
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，
集合
=（）
A．
B．
C．
D．
2．已知某几何体的三视如图1，则这个几何体是（）
A．三棱锥B．四棱锥
C．四棱柱D．四棱台
3．已知复数
和复数
，则复数
=（）
A．
B．
C．
D．
4．在等差数列
中，若
则
的值为（）
A．4B．6C．8D．16
5．平面
平面β的一个充分条件是（）
A．存在一条直线a，a//α，a//β
B．存在一条直线a，
C．存在两条平行直线a、b，
D．存在两条相交直线
6．设F为抛物线
的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，当
=0
且
=3时，此抛物线的方程为（）
A．
B．
C．
D．
7．在可行域内任取一点
，如果执行如下图2的程序框图，那么输出数对
的概率是（）
A．
B．
C．
D．
8．在平面直角坐标系中，动点Ｍ（ｘ，ｙ）满足条件
，动点Ｑ在曲线
上，则|MQ|的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
9．已知平面向量
的夹角为
，又
，则点P的集合所表示的图形面积为（）
A．8B．4C．2D．1
10．给出下列四个命题：
①
的否定是
；
②对于任意实数x，有
则
③函数
是偶函数；
④若对
函数f（x）满足
，则4是该函数的一个周期，其中真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
11．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的不重复的六位数中，不出现“135”与“24”的六位数的个数为（）
A．582B．504C．490D．486
12．若关于x的不等式
在闭区间
上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．[0，1]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．
的展开式中常数项是。
14．过双曲线
的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线
上，则双曲线的离心率为。
15．抛掷红、蓝两颗均匀的骰子，已知点数不同，则红色骰子的点数比蓝色骰子的点数恰好多两点的概率为。
16．已知函数
（t为常数，且
），直线
与函数
的图
象围成的封闭图形，以及直线
轴与函数
的图
象围成的封闭图形如图3中阴影所示。
当t变化时阴影部分
的面积的最小值为。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
某选手进行n次射击训练，每次击中目标的概率为P，且每次击中目标与否是相互独立的，X记为击中目标的次数，若随机变量X的数学期望EX=3，方差
（I）求n，P的值；
（II）若这n次射击有3次或3次以上未击中目标，则需继续训练，求该选手需要继续训练的概率。
18．（本小题满分12分）
在
中，点M是BC的中点，
的三边长是连续三个正整数，且
（I）判断
的形状；
（II）求
的余弦值。
19．（本小题满分12分）
如图4，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
，P为A1C1的中点，AB=BC=kPA。
（I）当k=1时，求证
（II）当k为何值时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为
并求此时二面角A—PC—B的余弦值。
20．（本小题满分12分）
设椭圆
的离心率
，右焦点到直线
的距离
O为坐标原点。
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。
21．（本小题满分12分）
如图5，已知曲线
。
从C上的点Qn（
）作x轴的垂线，交
于点
，再从
作y轴的垂线，交C于点
。
设
（I）求
的值；
（II）求数列
的通项公式；
（III）设
和面积为
，求证
请考生在题22、23、24中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
做题时用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑。
选修4—1：
几何证明选讲
22．（本小题满分10分）
如图6，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点。
（I）求证：
DE2=DB·DA。
（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长。
选修4—4：
坐标系与参数方程
23．（本小题满分10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴。
已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为
若直线l过点P，且倾斜角为
，圆C以M为圆心、4为半径。
（I）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（II）试判定直线l和圆C的位置关系。
选修4—5：
不等式选讲
24．（本小题满分10分）
已知对于任意非零实数a和b，不等式
恒成立，试求实数x的取值范围。
参考答案
一、选择题
BBADDABABCCD
二、填空题
13．14
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：
（I）由
…………4分
得
…………6分
（II）记“需要继续训练”为事件A，
则
…………8分
得
…………12分
18．解：
（I）设
则由
…………1分
中，由正弦定理得
同理得
…………3分
…………5分
即
当
时，
与
的三边长是连续三个正整数矛盾，
，
是等腰三角形。
…………7分
（II）地直角三角形AMC中，设两直角边分别为
由
得n=4，…………9分
由余弦定理或二倍角公式得
或
…………12分
19．解：
（方法一）以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz。
（I）设AB=2，则AB=BC=PA=2
根据题意得：
所以
…………4分
（II）设AB=2，则
根据题意：
又因为
所以
平面B1C，
所以由题意得
即
即
时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为
…………8分
平面APC的法向量
设平面BPC的一个法向量为
由
，得
，
所以此时二面角A—PC—B的余弦值是
…………12分
（方法二）
（I）连接B1P，因为在直三棱柱ABC—A1B1C1中，P为A1C1、的中点，
AB=BC，所以
面A1C，
所以
又因为当k=1时，
AB=BC=PA=PC，
平面B1PC，
…………4分
（II）取线段AC中点M，线段BC中点N，连接MN、MC1、NC1，
则MN//AB，
平面B1C，
平面B1C，
是直线PA与平面BB1C1C所成的角，
设AB=a，
即
时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为
…………8分
此时，过点M作MH，垂足为H，连接BH，
平面A1C，
由三垂线定理得BH⊥PC，所以∠BHM是二面角A—PC—B的平面角。
设AB=2，则BC=2，PA=4，AC=
在直角三角形AA1P中
，连接MP，在直角三角形中
由
又由BM=
，在直角三角形中BMH中，
解得
在直角三角形BMH中，
所以二面角A—PC—B的余弦值是
…………12分
20．解：
（I）由
由右焦点到直线
的距离为
得：
解得
所以椭圆C的方程为
…………4分
（II）设
，
直线AB的方程为
与椭圆
联立消去y得
即
整理得
所以O到直线AB的距离
…………8分
，
当且仅当OA=OB时取“=”号。
由
即弦AB的长度的最小值是
…………12分
注：
其他解法相应给分。
21．解：
（I）由题意知
…………2分
（II）（方法一）由
（1）猜想
下面用数学归纳法证明；
（1）当n=1时，
已证得成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，
即
由已知得：
当n=k+1时，由
所以当n=k+1时，猜想也成立，综合
（1）
（2）得
…………6分
（III）
…………8分
，
…………10分
…………12分
选修4—1：
几何证明选讲：
22．解：
（I）连结OF，∵OC=OF，
∵∠OCF=∠FOC，
∵DF是⊙O的切线，
垂直于弦AB，
∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，
………8分
（II）设AE=x，则DE=2x，DF=2x，
解得2x=3，
的长为3。
…………10分
选修4—4：
坐标系与参数方程：
23．解（I）直线
的参数方程为
（t为参数）
圆C的极坐标方程为
…………6分
（II）因为
对应的直角坐标为（0，4）
直线
化为普通方程为
圆心到
所以直线
与圆C相离。
…………10分
选修4—5：
不等式选讲：
24．解：
由题知，
恒成立，
故
不大于
的最小值…………4分
，
当且仅当
时取等号，
的最小值等于4。
…………8分
的范围即为不等式
的解。
解不等式得
…………10分
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