高中数学 第三章 基本初等函数Ⅰ34 函数的应用Ⅱ教案 新人教B版必修1.docx
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高中数学第三章基本初等函数Ⅰ34函数的应用Ⅱ教案新人教B版必修1
2019-2020年高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.4函数的应用（Ⅱ）教案新人教B版必修1
教学分析
教材利用3个实例介绍了指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中的广泛应用．由于本节与社会生活经验有联系，建议学生课前了解相关生活的知识．
三维目标
掌握指数函数、对数函数和幂函数在实际中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，树立应用的意识．
重点难点
教学重点：
建立函数模型．
教学难点：
建立函数模型．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.（事例导入）
一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？
解：
纸对折n次的厚度：
f（n）＝0.01·2n（cm），n块砖的厚度：
g（n）＝10n（cm），f（20）≈105m，g（20）＝2m.
也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．
思路2.（直接导入）
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的应用．
推进新课
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.
②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.
④分别用表格、图象表示上述函数.
⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.
⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.
⑧另外还有哪种函数模型.
活动：
先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
①总价等于单价与数量的积．
②面积等于边长的平方．
③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….
④列表画出函数图象．
⑤引导学生回忆学过的函数模型．
⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性．
⑦让学生自己比较并体会．
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．
讨论结果：
①y＝x.
②y＝x2.
③y＝（1＋5%）x，
④如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y＝x
1
2
3
4
5
6
y＝x2
1
4
9
16
25
36
y＝（1＋5%）x
1.05
1.10
1.16
1.22
1.28
1.34
它们的图象分别为下图甲、乙、丙．
甲
乙
丙
⑤它们分别属于：
y＝kx＋b（直线型），y＝ax2＋bx＋c（a≠0，抛物线型），y＝kax＋b（指数型）．
⑥从表格和图象得出它们都为增函数．
⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝（1＋5%）x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．
函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．
例11995年我国人口总数是12亿．如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
解：
设x年后人口总数为14亿．依题意，得12·（1＋0.0125）x＝14，
即（1＋0.0125）x＝
.
两边取对数，得xlg1.0125＝lg14－lg12，所以x＝
≈12.4.
所以13年后，即xx年我国人口总数将超过14亿．
点评：
增长率问题通常与指数函数有关.
变式训练
光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的
以下．（lg3≈0.4771）
解：
（1）光线经过1块玻璃后强度为（1－10%）k＝0.9k；
光线经过2块玻璃后强度为（1－10%）·0.9k＝0.92k；
光线经过3块玻璃后强度为（1－10%）·0.92k＝0.93k；
光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.
∴y＝0.9xk（x∈N＋）．
（2）由题意，知0.9xk＜
，
∴0.9x＜
.两边取对数，xlg0.9＜lg
.
∵lg0.9＜0，∴x＞
.
∵
＝
≈10.4，∴xmin＝11.
∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的
以下.
例2有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01元）?
解：
已知本金为a元：
1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a（1＋r）；
2期后的本利和为y2＝a（1＋r）＋a（1＋r）r＝a（1＋r）2；
3期后的本利和为y3＝a（1＋r）3；
……
x期后的本利和为y＝a（1＋r）x.
将a＝1000（元），r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1000×（1＋2.25%）5＝1000×1.02255.
由计算器算得y＝1117.68（元）．
所以复利函数式为y＝a（1＋r）x,5期后的本利和为1117.68元.
变式训练
某地现有森林面积为1000hm2，每年增长5%，经过x（x∈N＋）年，森林面积为yhm2，写出x、y间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．
解：
y与x之间的函数关系式为y＝1000（1＋5%）x（x∈N＋），
经过5年，森林的面积为1000（1＋5%）5＝1276.28（hm2）.
例3一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减：
（1）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期．（精确到0.1）．
解：
（1）最初的质量为500g，
经过1年，ω＝500（1－10%）＝500×0.91，
经过2年，ω＝500×0.92，
…
由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.
（2）解方程 500×0.9t＝250.
0．9t＝0.5，
lg0.9t＝lg0.5，
tlg0.9＝lg0.5，
t＝
≈6.6.
所以这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
变式训练
抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ）
A．6次 B．7次 C．8次 D．9次
解析：
设至少要抽x次，则（1－60%）x＜
.
解得x＞7，即最少要抽8次．
答案：
C
1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高∕cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重∕kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？
试写出这个函数模型的解析式．
（2）若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
活动：
学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
根据表中的数据画出散点图．观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y＝a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系．
解：
（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（下图甲）．根据点的分布特征，可以考虑用y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型．
如果取其中的两组数据（70,7.90），（160,47.25），
代入y＝a·bx，得
用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：
y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（下图乙），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
（2）将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖．
甲 乙
2．在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．
活动：
学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．
解：
设Nt表示t世代种群的大小，Nt＋1表示t＋1世代种群的大小，
则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….
由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：
Nt＋1＝R0·Nt，其中R0为世代净繁殖率．
如果种群的R0速率年复一年地增长，则
N1＝R0N0，
N2＝R0N1＝R02N0，
N3＝R0N2＝R
N0，
…
Nt＝R
N0.
R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升；R0＝1，种群稳定；0＜R0＜1，种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．
某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象（如下图所示）．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
哪些说法是正确的？
解：
①说法正确．
∵关系为指数函数，∴可设y＝ax（a＞0且a≠1）．∴由图知2＝a1.
∴a＝2，即底数为2.
②∵25＝32＞30，∴说法正确．
③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．
④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．
⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．
活动：
学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：
从基本知识和基本技能两方面来总结．
小结：
（1）建立函数模型；
（2）利用函数图象性质分析问题、解决问题．
课本习题3—4A 2、3、4.
本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．
[备选例题]
例1某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为
x件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？
解：
无论分几次进货，公司进货的总数是8000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．
设购进8000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C（C为常数），则
E＝2×
x，H＝500×
，x＝
（n≥1，n∈Z），
所以F＝E＋H＋C＝2×
x＋500×
＋C
＝
＋500n＋C＝500（
＋n）＋C
＝500（
－
）2＋4000＋C≥4000＋C，
当且仅当
＝
，即n＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．
例2电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：
使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据（见下表）．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
磁钢面积/cm2
11.0
19.4
26.2
46.6
56.6
67.2
125.2
189.0
247.1
443.4
用胶量/g
0.164
0.396
0.404
0.664
0.812
0.972
1.688
2.86
4.076
7.332
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
解：
我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．
从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．
取点（56.6,0.812），（189.0,2.86），将它们的坐标代入y＝ax＋b，
得方程组
解得a＝0.01547，b＝－0.06350.
这条直线是y＝0.01547x－0.06350.
点评：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．
例3某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：
万元）随着利润x（单位：
万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：
y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
活动：
学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．
解：
借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象（如下图所示）．
观察函数的图象，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间（805,806）内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
＝
≤0.25成立．
令f（x）＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．
利用计算器或计算机作出函数f（x）的图象（如下图所示），由函数图象可知它是递减的，因此
f（x）＜f（10）≈－0.3167＜0，
即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时，
＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求．
2019-2020年高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.4函数的应用（Ⅱ）自我小测新人教B版必修1
1．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到（ ）
A.300只B．400只C．500只D．600只
2．今有一组数据如下表所示：
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是（ ）
A.s＝2t－3＋1B．s＝log2tC．s＝t2－D．s＝2t－2
3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
（1）如果不超过200元，则不给予优惠；
（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
（3）如果超过500元，其500元内的按第
（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买同样的商品，则应付款（ ）
A.413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元
4．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了akm，休息了一段时间，又沿原路返回bkm（b5．一名体育爱好者为了观看xx年世界杯，从xx年开始，每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄．假定年利率为p（利息税已扣除）且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年5月10日将所有的存款和利息全部取出，则可取回的总钱数为（ ）
A.a（1＋p）7B．a（1＋p）7＋a（1＋p）6＋…＋a（1＋p）
C．a（1＋p）8D．a（1＋p）8＋a（1＋p）7＋…＋a（1＋p）
6．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭（除燃料外）的质量m千克的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
8．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是__________．
9．某地政府提出全面建设小康社会的目标．国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：
n＝×100%.
各种家庭的恩格尔系数如下表所示：
家庭
类型
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
n
n>60%
50%<
n≤60%
40%＜
n≤50%
30%<
n≤40%
n≤30%
根据某地区家庭抽样调查统计：
预测xx年至2020年间每户家庭支出总额每年平均增加1000元，其中食品消费支出总额平均增加300元．
（1）若xx年该地区家庭刚达到温饱（n＝60%），且该年每户家庭消费支出总额为10000元，问xx年能否达到小康？
请说明理由；
（2）若xx年比xx年的消费支出总额增加了40%，而其中食品消费支出总额增加了20%，问该地区2020年能否达到小康？
请说明理由．
10．已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足：
P（x）＝2（1－kt）（x－b）2
，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
（1）根据图象求k，b的值；
（2）若市场需求量为Q，它近似满足Q（x）＝2，当P＝Q时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．
参考答案
1．解析：
当x＝1时，y＝100，得a＝100，
故当x＝7时，y＝100log28＝300.
答案：
A
2．解析：
画出数据点如图所示．
由上图可知该函数是增函数，但增长速度较慢，则排除选项A；此函数的图象不是直线，排除选项D；此函数的图象不符合对数函数的图象，排除选项B.
答案：
C
3．答案：
C
4．答案：
C
5．解析：
xx年存到银行的钱到期时的本利和为a（1＋p）.xx年的钱到期时的本利和是a（1＋p）2.依次类推，xx年第一次存款到期时的本利和应为a（1＋p）7，相加得选项B正确．
答案：
B
6．答案：
C
7．解析：
当v＝12000时，2000·ln＝12000，
∴ln＝6.∴＝e6－1.
答案：
e6－1
8．解析：
本题考查指数函数的应用．
第一次加满水时，瓶中酒精的浓度为·a%，
第二次加满水时，瓶中酒精的浓度为
a%＝·a%，
依次可得第k（k∈N＋）次加满水时，瓶中酒精的浓度为·a%（k∈N＋）．
答案：
·a%
9．解：
（1）∵xx年该地区每户家庭食品消费支出为10000×60%＝6000（元），
∴n2018＝×100%＝50%.
∴xx年该地区能达到小康．
（2）设xx年的消费支出总额为a元，其中食品消费支出总额为b元，则
a（1＋40%）＝a＋5×1000，b（1＋20%）＝b＋5×300，
解得a＝12500，b＝7500，
∴n2020＝×100%＝×100%≈49.23%.∴2020年该地区能达到小康．
10．解：
（1）由图可知t＝时，图象过点（5,1），（7,2），
所以有
解得
（2）当P＝Q时，得2（1－6t）（x－5）2＝2，
解得t＝＝＝
.
令m＝，
∵x≥9，∴m∈，
在t＝（17m2－m－2）中，
对称轴为直线m＝，且∈，且图象开口向下，
∴m＝时，t取得最小值，此时x＝9.
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