最新华师版八年级数学第19章矩形菱形与正方形教案.docx
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最新华师版八年级数学第19章矩形菱形与正方形教案
第19章矩形、菱形与正方形
19.1矩形
1.矩形的性质
【知识与技能】
了解矩形的有关概念,理解并掌握矩形的有关性质
【过程与方法】
经过探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理意识,掌握几何思维方法
【情感态度】
培养严谨的推理能力以及自主合作精神;体会逻辑推理的思维价值
【教学重点】
掌握矩形的性质,并学会应用
【教学难点】
理解矩形的特殊性
一、情境导入,初步认识
收集有关长方形的图片,让学生进行感性认识,引入新课——矩形.
【教学说明】让学生体会到数学来源于生活,找到数学的价值.
二、思考探究,获取新知
探究:
矩形的性质
1.思考:
拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,观察.不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?
为什么?
(演示拉动过程如图)
2.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?
【归纳结论】矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).
3.让学生观察教师的教具,研究其变化情况,可以发现:
矩形是平行四边形的特例,属于平行四边形,因此它具有平行四边形的所有性质.思考矩形还具有哪些特殊的性质?
为什么?
【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的方法来解决重点,突破难点.
【归纳结论】矩形性质1矩形的四个角都是直角.
矩形性质2矩形的对角线相等.
4.矩形是轴对称图形吗?
如果是,它有几条对称轴?
【教学说明】引导学生尽可能多的发现结论,养成善于观察的好习惯.
三、运用新知,深化理解
1.已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长.
分析:
因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这个特性和已知,可得△OAB是等边三角形,因此对角线的长度可求.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.又∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4cm.
∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8(cm).
2.已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
分析:
(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法.
解:
设AD=xcm,则对角线BP长(x+4)cm,在Rt△ABD中,由勾股定理:
x2+82=(x+4)2,解得x=6.则AD=6cm.
“直角三角形斜边上的高”是一个基本条件,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式:
AE×DB=AD×AB,解得AE=4.8cm.
3.已知:
如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:
CE=EF.
分析:
CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若AF=BE,则问题解决,而证明AF=BE,只要证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,且AD∥BC.
∴∠1=∠2.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.
∴∠B=∠AFD.又AD=AE,
∴△ABE≌△DFA(AAS).
∴AF=BE.
∴EF=EC.
此题还可以连接DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF=EC.
【教学说明】给予学生足够的时间,让学生先独立思考后,小组合作,由不同学生表述自己的不同思路,展示不同的方法.使学生能做一题会一类,熟知矩形中的基本图形.
4.若矩形一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分,则矩形的周长为22或20cm.
分析:
本题需分两种情况解答
即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm,或者矩形的角平分线分一边为3cm和4cm.
当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时,矩形的周长为2×(3+4)+2×4=22cm;
当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时,矩形的周长为2×(3+4)+2×3=20cm.
解:
分两种情况
当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时,矩形的周长为2×(3+4)+2×4=22cm;
当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时,矩形的周长为2×(3+4)+2×3=20cm.
【教学说明】本题考查的是基本的矩形性质,学生需要注意的是分两种情况作答即可.
四、师生互动,课堂小结
1.师生回顾矩形的性质.
2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑?
请与同伴交流.
1.布置作业:
教材P101练习.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题,将学生视线集中在数学图形上,思维集中在数学思考上,更好地突出了观察的对象,使学生容易把握问题的本质.真实、自然、和谐,体现了数学学习的内在需要,加强了学生对知识之间的理解和把握,形成了和本质相关的认知结构.
2.矩形的判定
【知识与技能】
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力.
【过程与方法】
通过探索矩形判定的过程,培养学生实验探索的意识;形成几何分析思路和方法.
【情感态度】
培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会来自于实践的需要.
【教学重点】
理解并掌握矩形的判定方法及其证明,掌握判定的应用.
【教学难点】
定理的证明方法及运用.
一、情境导入,初步认识
1.什么叫做平行四边形?
什么叫做矩形?
2.矩形有哪些性质?
3.矩形与平行四边形有什么共同之处?
有什么不同之处?
【教学说明】通过这些问题,教师可以检查学生学习的情况.
4.事例引入:
小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗?
看看谁的方法可行?
【教学说明】事例引入,激发学生的兴趣.
二、思考探究,获取新知
1.矩形的四个角都是直角,反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?
请证明你的结论,并与同伴交流.
【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.
2.动手操作:
拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点.
思考:
(1)随着∠a的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?
(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?
你能证明吗?
【教学说明】让学生动脑思考,动手操作.为下面的学习做好知识上的准备;
【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形
三、运用新知,深化理解
1._________________的平行四边形是矩形.
_________________的四边形是矩形.
2.下列说法正确的是()
A.一组对边平行且相等的四边形是矩形
B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
分析:
矩形的判定定理有:
(1)对角线相等的平行四边形是矩形
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;据此判断.
解:
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故A错误;
B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形,也有可能为梯形,故B错误;
C、对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”),故C错误;
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故D正确.
【教学说明】学生口答展示第1、2道题,训练学生的语言表达能力,
3.如图所示,□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E,F,G,H,试说明四边形EFGH是矩形.
解:
∵∠HAB+∠HBA=90°
∴∠H=90°
同理可求得
∠HEF=∠F=∠FGH=90°
∴四边形EFGH是矩形.
4.(一题多解题)如图所示,△ABC为等腰三角形,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上的一点,过P点分别作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分别为E,F,则有PE+PF=CD,你能说明为什么吗?
解法一:
能.如图所示,过P点作PH⊥DC,垂足为H,
可得四边形PHDE是矩形
∴PE=DH,PH∥BD
∴∠HPC=∠B
又∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠HPC=∠FCP.
又∵PC=CP,∠PHC=∠CFP=90°
∴△PHC≌△CFP
∴PF=HC
∴DH+HC=PE+PF
即:
DC=PE+PF.
解法二:
能.延长EP,过C点作CH⊥EP,垂足为H,如图所示,
∵可得四边形HEDC是矩形
∴EH=PE+PH=DC,CH∥AB
∴∠HCP=∠B.
∴△PHC≌△PFC
∴PH=PF
∴PE+PF=DC.
【教学说明】到黑板展示第3、4道题,有多种证明方法的题目学生口答展示,教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力,也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.
四、师生互动,课堂小结
1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理?
2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑?
请与同伴交流.
1.布置作业:
教材“习题19.1”中的第1、2、3、5题.
2.完成本课时对应练习.
本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知,操作说明而得到的矩形判定进行重新研究,让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验,从而加深学生对数学的认识,激发学生的数学兴趣,提高学生的数学水平.
19.2菱形
1.菱形的性质
【知识与技能】
理解菱形的概念,掌握菱形的性质
【过程与方法】
经过探索菱形的性质和基本概念的过程,在操作、观察、分析过程中培养学生思维意识,体会几何说理的基本方法.
【情感态度】
培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观
【教学重点】
理解并掌握菱形的性质
【教学难点】
形成合情推理的能力
一、情境导入,初步认识
分四人小组,先在组内交流自己收集的有关菱形的图片,实物等.然后进行全班性交流.
引入定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【教学说明】认识菱形,感受菱形的生活价值.
二、思考探究,获取新知
教师拿出平行四边形木框(可活动的),操作给学生看,让学生体会到:
平移平行四边形的一条边,使它与相邻的一条边相等,可以得到一个菱形,说明菱形也是平行四边形的特例,因此,菱形也具有平行四边形的所有性质.
【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.
如图:
将一张矩形的纸对折再对折,然后沿着图中的虚线剪下,再打开.
思考:
1.这是一个什么样的图形呢?
2.有几条对称轴?
3.对称轴之间有什么位置关系?
4.菱形中有哪些相等的线段?
【教学说明】充分地应用直观学具的制作,发现菱形所具有的性质,激发课堂学习的热情.
【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质,另外,菱形的四条边相等、对角线互相垂直.
三、运用新知,深化理解
1.如图,菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为(A)
A.15B.1523
C.7.5D.153
【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形,有一条对角线等于菱形的边长.
2.如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC且DE交BC的延长线于点E.
求证:
DE=
BE.
分析:
由四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,易得BD⊥AC,∠DBC=30°,又由DE∥AC,即可证得DE⊥BD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得DE=
BE.
证明:
方法一:
如下图,连接BD,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴BD⊥AC,∠DBC=30°,∵DE∥AC,
∴DE⊥BD,即∠BDE=90°,
∴DE=
BE.
方法二:
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴AD∥BC,AC=AD,∵AC∥DE,
∴四边形ACED是菱形,
∴DE=CE=AC=AD,又四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=BC=CD,
∴BC=EC=DE,即C为BE中点,
∴DE=BC=
BE.
【教学说明】此题考查了菱形的性质,直角三角形的性质等知识.此题难度不大,注意数形结合思想的应用.
3.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.
(1)求∠ABD的度数;
(2)求线段BE的长.
分析:
(1)根据菱形的四条边都相等,又∠A=60°,得到△ABD是等边三角形,∠ABD是60°;
(2)先求出OB的长和∠BOE的度数,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.
解:
(1)在菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴∠ABD=60°;
(2)由
(1)可知BD=AB=4,
又∵O为BD的中点,
∴OB=2,
又∵OE⊥AB,及∠ABD=60°,
∴∠BOE=30°,
∴BE=1.
【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解,需要熟练掌握.学生自主完成,对有一定难度可相互交流,最后由教师总结.
四、师生互动,课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结,教师作以补充.
1.布置作业:
教材P113“练习”
2.完成本课时对应练习.
在本节课中,重在经历探索菱形性质的过程,在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动审美意识,进一步体会和理解说理的基本步骤,了解菱形的现实应用和常用方法.
2.菱形的判定
【知识与技能】
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.
2.会用菱形的两个判定方法进行有关的论证和计算.
【过程与方法】
经历探索菱形判定思想的过程,领会菱形的概念以及应用方法,发展学生主动探究的思想和说理的能力.
【情感态度】
培养良好的思维意识以及合情推理的能力,感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
【教学重点】
菱形的两个判定方法.
【教学难点】
判定方法的证明方法及运用.
一、情境导入,初步认识
回顾:
(1)菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形;
(2)菱形的性质:
性质1菱形的四条边都相等;
性质2菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?
(判定:
2个条件)
【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾,让学生养成勤复习的习惯.温故而知新.
二、思考探究,获取新知
1.试一试.
如图作一个四条边都相等的四边形.
步骤:
(1)画两条相等的线段AB、AD;
(2)分别以点B和点D为圆心,AB长为半径画弧,两条相交于点C;
(3)连结BC、CD,即得一个四条边都相等的四边形ABCD.
观察你所画的图形,它是菱形吗?
你能证明你的结论吗?
【归纳结论】菱形判定方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;
(2)两条对角线互相垂直.
【教学说明】首先教师活动让学生观察,而后让学生自己动手亲自体验活动,从而猜想出结论来.
已知:
在□ABCD中,AC⊥BD
求证:
□ABCD是菱形
数学语言:
∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD;
∴□ABCD是菱形.
2.画一画
如图,作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
步骤:
(1)作两条互相垂直的直线m,n,记交点为点O;
(2)以点O为圆心、适当长为半径画弧,在直线m上截取相等的两条线段OA、OC;
(3)以点O为圆心,另一适当长为半径画弧,在直线上截取相等的两条线段OB、OD;
(4)连结A,B,C,D四点,即得到一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD,显然,它是一个对角线互相垂直的平行四边形.
和你的同伴交流一下,看看它是否也是一个菱形.
思考:
四边形ABCD是什么四边形?
你能证明吗?
【归纳结论】菱形的判定方法2:
四条边相等的四边形是菱形.
数学语言:
∵在四边形ABCD中,
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
【教学说明】让学生自己动手亲自体验活动,从而猜想出结论来并进行证明.从而加深印象.
三、运用新知,深化理解
1.如图,在菱形ABCD中,E、F、G、H分别是菱形四边的中点,连结EG与FH交于点O,则图中的菱形共有(B)
A.4个B.5个
C.6个D.7个
2.下列说法正确的是(B)
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是菱形
3.已知:
如图□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC.
∴∠1=∠2.
又∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.又EF⊥AC,
∴□AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F,求证:
四边形AEFG是菱形;
证明:
∵CE平分∠ACB,EA⊥CA,EF⊥BC,∴AE=FE,
∵∠1=∠2,
∴△AEC≌△FEC,
∴AC=FC,
∵CG=CG,
∴△ACG≌△FCG,
∴∠5=∠7=∠B,
∴GF∥AE,
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴AG∥EF,
∵AG=GF(或AE=EF),
∴四边形AGFE是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
【教学说明】让学生先独立完成,而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生养成从题目中找解题信息,从图形中找解决问题的突破口.
四、师生互动,课堂小结
1.师生回顾判定一个四边形是菱形的方法:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2.通过本节课的学习,你还有哪些疑惑?
请与同伴交流.
1.布置作业:
教材“习题19.2”中第2、3、4题.
2.完成本课时对应练习.
本节课让学生动手操作,不仅可以调动学生的积极性,而且通过动手做一做,然后再说一说的过程,巩固了菱形的判定.只有这样,才能使学生在今后的学习中有更严密的思维,使他们的抽象概括能力有更好的提升.
19.3正方形
【知识与技能】
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
【过程与方法】
经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知,在探索中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.
【情感态度】
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.
【教学重点】
正方形的判定方法.
【教学难点】
正方形的判定方法.
一、情境导入,初步认识
1.在我们的生活中,除了平行四边形、矩形、菱形外,还有什么特殊的平行四边形呢?
2.出示正方形图片,学生观察它们有什么共同特征?
【教学说明】学生回答后,再举例.使学生感受生活中到处存在数学,激发其学习热情.
【归纳结论】有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
二、思考探究,获取新知
1.正方形是我们熟悉的图形,它是轴对称图形吗?
是中心对称图形吗?
2.正方形有哪些性质?
正方形可以看成哪些图形?
【归纳结论】正方形的四个角都是直角,四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形可以看成是:
有一个角是直角的菱形;有一组邻边相等的矩形.
3.议一议:
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?
你能用一个图直观地说明吗?
【教学说明】小组交流,引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程,更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.
三、运用新知,深化理解
1.如图,△ABC是一个等腰直角三角形,DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点;那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为()
A.12B.13
C.26D.30
分析:
根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数,由于图中全等三角形的对数较多,可以根据斜边长的不同确定对数,可以做到不重不漏.
解:
设AB=3,图中所有三角形均为等腰直角三角形,其中,斜边长为1的有5个,它们组成10对全等三角形;
斜边长为
的有6个,它们组成15对全等三角形;斜边长为2的有2个,它们组成1对全等三角形;共计26对.
故选C.
2.已知正方形ABCD在直角坐标系内,点A(0,1),点B(0,0),则点C,D坐标分别为________和________.(只写一组)
分析:
首先根据正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),在坐标系内找出这两点,根据正方形各边相等,从而可以确定C,D的坐标.
解:
∵正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),
∴AD∥x轴,CD∥y轴,这样画出正方形,即可得出C与D的坐标,分别为:
C(1,0),D(1,1).或C(-1,0),D(-1,1).(写其中一组即可)
3.如图,点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上,AG⊥EF,垂足为G,且AG=AB,求∠EAF度数.
分析:
根据角平分线的判定,可得出△ABF≌△AGF,故有∠BAF=∠GAF,再证明△AGE≌△ADE,有∠GAE=∠DAE;
所以可求∠EAF=45°
解:
在Rt△ABF与Rt△AGF中,
∵AB=AG,AF=AF,∠B=∠AGF=90°,
∴△ABF≌△AGF(HL),
∴∠BAF=∠GAF,
同理易得:
△AGE≌△ADE,
有∠GAE=∠DAE;
即∠EAF=∠EAG+∠FAG=
∠DAG+
∠BAG=
∠DAB=45°,
故∠EAF=45°.
4.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°.
(1)求证:
DF+BE=EF;
(2)求∠EFC的度数;
分析:
(1)延长EB至G,使BG=DF,连接AG.利用正方形的性质,证明△A′BG≌△ADF,△FAE≌△GAE,得出DF+BE=EF;
(2)根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数;
解:
(1)延长EB至G,使BG=DF,连结AG
∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°,
∵BG=DF,
∴△ABG≌△ADF,
∴AG=AF,∠GAB=∠DAF.
∵∠BAE=30°,∠DAF=15°,
∴∠FAE=∠GAE=45°,
∵AE=AE,
∴△FAE≌△GAE,
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE;
(2)∵△AGE≌△AFE,
∴∠AFE=∠AGE=75°,
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°,
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°,
∴∠EFC=30
5.已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F.且BF=CE.
(1)求证:
△ABC是等腰三角形;
(2)当∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,证明你的结论.
分析:
先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE,从而得到∠