第3章 非平稳随机变量讲稿.docx

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第3章非平稳随机变量讲稿

第3章非平稳随机过程

从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。

如果把第1章内容称为经典计量经济学，那么将要介绍的内容则应该称为非经典计量经济学。

从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题，这就是虚假回归。

3.1随机过程的单整性

1）单整过程

定义：

若一个随机过程{xt}必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程，则称{xt}是d阶单整过程。

用xtI（d）表示。

对于平稳过程表示为I（0）。

2）单整与单位根

对于I（d）过程xt

（L）（1-L）dxt=（L）ut

特征方程（L）（1-L）d=0，

特征根L=1（d个）

d阶单整等价于含有d个单位根

因含有d个单位根，所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验（unitroottest）。

3）单位根与协整

若xtI（d），ytI（c），则

zt=（axt+byt）I（max[d,c]）.

zt=（axt+byt）

=（axt+byt）-（axt-1+byt-1）

=（axt+byt）

当c>d时，zt只有差分c次才能平稳。

一般来说，若xtI（c），ytI（c），则

zt=（axt+byt）I（c）.

但也有zt的单整阶数小于c的情形。

当zt的单整阶数小于c时，则称xt与yt存在协整关系。

3.2单整过程的统计特征

以随机游走过程和平稳的AR

（1）过程作比较,

1）随机游走过程

（1）具有永久记忆性

对于随机游走过程

xt=xt-1+ut,x0=0,utIN（0,u2）有（3.7）

xt=xt-2+ut-1+ut=…=

（具有永久记忆性）

（2）方差变为无穷大

Var（xt）=

=tu2（随T的增加，方差变为无穷大）

（3）相关系数不趋于0

下面求xT和xT-k的相关系数k。

Cov（xT,xT-k）=E（xTxT-k）=E（

）

=E（

）=（T-k）u2

k=

=

=

=

2）对于AR

（1）过程

（1）只有有限记忆力

yt=1yt-1+vt,1<1,y0=0,

vtIN（0,v2）（3.8）

yt=vt+1vt-1+12vt-2=…=

（2）Var（yt）=E（

）2=

v2

（方差为有限值）

（3）AR

（1）过程的自相关系数公式，k=1k，

表3.1随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较

随机游走过程

平稳的一阶自回归过程

方差

tu2（无限的）

u2/（1-12）（有限的）

自相关系数

k=

1,k,T

k=1k

穿越零均值点的期望时间

无限的

有限的

记忆性

永久的

暂时的

3.3虚假回归

1非平稳变量相关系数的分布

用蒙特卡罗模拟方法分析相关系数的分布。

1）平稳过程的相关系数分布

utIN（0,1）,utI（0）

vtIN（0,1）,vtI（0）

每次生成T=100的相互独立的{ut}和{vt}，并计算Ruv。

重复1万次，从而得到Ruv的分布。

两个相互独立的I（0）变量{ut}和{vt}的相关系数Ruv的分布为正态（见图3.1a）。

图3.1a

2）一阶单整过程相关系数分布

xt=xt-1+ut,x0=0,xtI

（1）

yt=yt-1+vt,y0=0,ytI

（1）

利用{ut}和{vt}，每次生成T=100的{xt}和{yt}并计算Rxy。

重复1万次，从而得到Rxy的分布。

两个相互独立的I

（1）变量{xt}和{yt}的相关系数Rxy的分布为倒U形（见图3.1b）。

图3.1b

3）二阶单整过程相关系数分布

pt-pt-1=xt,p0=0,ptI

（2）

qt=qt-1+yt,q0=0,qtI

（2）

利用{xt}和{yt}，每次生成T=100的{pt}和{qt}并计算Rpq。

重复1万次，从而得到Rpq的分布。

两个相互独立的I

（2）变量{pt}和{qt}的相关系数Rpq的分布为U形（见图3.1c）。

图3.1c

问题的严重性在于当变量非平稳时，认为R服从的是正态分布，但实际上R服从的却是图3.1b和图3.1c那样的倒U和U字型分布，因此增加了拒绝概率，本不相关的两个变量结论却是相关！

图3.1三条曲线叠加示意图

2.t统计量的分布

有如下数据生成系统

xt=xt-1+ut,x0=0,utIID（0,1）

yt=yt-1+vt,y0=0,vtIID（0,1）

E（uivj）=0,i,j

可知xt和yt为I

（1）变量且相互独立。

作如下回归

yt=0+1xt+wt,

t（

）的分布见图3.2。

拒绝1=0的概率大大增加。

从而造成虚假回归（Granger1974年提出）。

图3.2t（98）分布和虚假回归条件下的t分布

3.简单回归中1=0的拒绝概率与变量单整阶数的关系

两变量的单整阶数

P（t（

）>2）

I（0）与I（0）

0.45

I

（1）与I

（1）

0.77

I

（2）与I

（2）

0.95

4.样本容量与虚假回归的关系（回归变量均为I

（1）变量）

随样本容量变化，拒绝1=0的概率，即P（t（

）>2）见图3.3。

样本容量

图3.3

5.虚假回归的直观解释

因为上述数据生成系统是真实的，所以对于回归模型

yt=0+1xt+wt,

应有1=0，即yt与xt不相关，则模型变为

yt=0+wt。

已知ytI

（1）,wtI（0），所以yt=0+wt两侧的单整阶数出现矛盾。

导致1无法表现为零。