高二数学立体几何试题与答案.docx
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高二数学立体几何试题与答案
【模拟试题】
一.选择题（每小题5分，共60分）
1.给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
2.下列四个命题：
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；
②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
③棱锥的所有面可能都是直角三角形；
④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有________个
A.1B.2C.3D.4
3.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：
2：
3，它的表面积为88，则它
的对角线长为（）
A.12B.24C.214D.414
4.湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，
深为8cm的空穴，则该球的半径是（）
A.8cmB.12cmC.13cmD.82cm
5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是
（）
12141214
A.2B.4C.D.
2
6.已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：
①//lm；②l//m；③l//m；④lm//。
其中正确的两个命题是（）
A.①②B.③④C.②④D.①③
7.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，
若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）
2
A.63cmB.6cmC.218
3
D.312
1
2
8.设正方体的全面积为24cm，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是
（）
A.6
3
cmB.
32
3
3
cm
C.
8
3
3
cm
D.
4
3
3
cm
9.对于直线m、n和平面、能得出的一个条件是（）
A.mn，m//，n//B.mn，m，n
C.m//n，n，mD.m//n，m，n
10.如果直线l、m与平面、、满足：
l，l//，m，m，那
么必有（）
A.和lmB.//，和m//
C.m//，且lmD.且
11.已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面
体的体积与正方体的体积之比为（）
A.1：
3B.1：
2C.2：
3D.1：
3
12.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系
的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）
二.填空题（每小题4分，共16分）
2
13.正方体的全面积是a
，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是
__________。
3
14.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：
2：
8，体积为14cm，则棱
台的高为____________。
15.正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相
平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
2
16.已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，
给出四个论断：
①m⊥n，②，③n，④m。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个
命题______________。
三.解答题（共74分）
17.（12分）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1
的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。
18.（12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是
22
58
cm和cm，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19.（12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
3
2，这个梯形20.（12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的
绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（52），求这个旋转体
的体积。
21.（12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一
个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相
切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。
（如图）试求
（1）AD应取多长？
（2）容器的容积。
3
20.（14分）如图，正四棱柱ABCDABCD
21.1111中，底面边长为22，侧棱长
为4，E、F分别为AB、BC的中点，EFBDG。
（1）求证：
平面BEFBDDB
1平面1；
（2）求点D1到平面BEF
1的距离d；
（3）求三棱锥BEFD
11的体积V。
【试题答案】
一.
22.B2.B3.C4.C5.A6.D
7.B8.D9.C10.A11.D12.B
二.
2
a
13.214.2cm15.3ab
16.mn，m，n（或m，n，mn）
4
三.
17.证明：
过A、C、D
1的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、
DD1的中点可得GE//AD1，GF//CD1，GE平面EFG，GF平面EFG
∴AD1//平面AEG，CD1//平面EFG
又ADCDD
111
∴平面EFG//平面ACD
1
18.解：
如图，设两平行截面半径分别为rrrr
1和2，且21
22
依题意，rr
5，812
22
r5r8
，
12
OAOAR
和都是球的半径12
222
OORrR
11
5
222
OORrR
22
8
22
R5R81
解得
2
R9R3
22
S4R36（cm）
球
4
23
VR36（cm）
球
3
19.解：
由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm
设底面边长为a，则
3
2
a23a4
∴正三棱柱的表面积
5
1
2
SS侧2S底34224232483（mm）
2
22.解：
如图，梯形ABCD，AB//CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转
一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
设
3
CDx，ABx
2
ADABCD
x
2
，
2
BCx
2
S全面积S圆柱底S圆柱侧S圆锥侧
2
AD2ADCDADBC
2
x
4
2
x
xx
22
2
2
x
52
4
x
2
根据题设
52
4
2
x（52），则x2
所以旋转体体积
22
VADCDAD（ABCD）
3
22（）12132
3
7
3
23.解：
如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则OD72x
6
由题意得
⌒
AB2R
60
180
72
⌒
60
CD2r（72x）
180
OD72x3R
R12，r6，x36
AD36cm
2（）2362（126）2635
（2）又圆台的高h=xRr
1
22
Vh（RRrr）
3
1
3
22
635（121266）
50435
3
（cm）
24.证明：
（1）如图，连结AC
∵正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面呈正方形
∴AC⊥BD
7
又AC⊥DD
1
∴AC⊥平面BDD1B1
∵E、F分别为AB、BC的中点
∴EF//AC
∴EF⊥平面BDD1B
∴平面BEFBDDB
1平面11
解
（2）在对角面BDD1B1中，作DHBG
11，垂足为H
∵平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDDBBG
111
∴DHBEFH
1平面1，且垂足为
∴D1H为点D1到平面B1EF的距离
在Rt△D1HB1中，DHDBDBH
11sin11
DB2AB2224
1111
sinDBHsinBGB
111
BB
1
GB
1
4
17
DH
1
4
4
17
1617
17
1
VVBEFDVDBEFDHSBEF
1
11111
（2）3
1
3
16
17
1
2
217
16
3
8
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