第14章整式的乘法与因式分解教案.docx
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第14章整式的乘法与因式分解教案
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1.1同底数幂的乘法
教学目的:
1027
1、能归纳同底数幂的乘法法则,并正确理解其意义;
2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算,对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识,并能与加减运算加以区分;了解公式的逆向运用;
教学重点:
同底数幂的乘法法则
难点:
底数的不同情形,尤其是底数为多项式时的变号过程
一、创设情境,激发求知欲
课本第页的引例
二、复习提问
1.乘方的意义:
求n个相同因数a的积的运算叫乘方
2.指出下列各式的底数与指数:
(1)34;
(2)a3;(3)(a+b)2;(4)(-2)3;(5)-23.
其中,(-2)3与-23的含义是否相同?
结果是否相等?
(-2)4与-24呢?
三、讲授新课
1.(课本页问题)利用乘方概念计算:
1014×103.
2、计算观察,探索规律:
完成课本第141页的“探索”,学生“概括”am×an=…=am+n;
3、 观察上式,找出其中包含的特征:
左边的底数相同,进行乘法运算;
右边的底数与左边相同,指数相加
4、 归纳法则:
同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。
三、实践应用,巩固创新
例1、计算:
(1)x2·x5
(2)a·a6(3)2×24×23(4)xm·x3m+1
练习:
1.课本第页:
(学生板演过程,写出中间步骤以体现应用法则)
2.随堂巩固:
下面计算否正确?
若不正确请加以纠正。
①a6·a6=2a6 ②a2+a4=a6③a2·a4=a8
例2、计算:
要点指导:
底数中负号的处理;能化为同底数幂的数字底数的处理;多项式底数及符号的处理。
例3、
(1)填空:
⑴若xm+n×xm-n=x9;则m=;
⑵2m=16,2n=8,则2m+n=。
四、归纳小结,布置作业:
一课一练、练习册。
小结:
1、同底数幂相乘的法则;
2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形;
3、相同的底数可以是单项式,也可以是多项式;
4、要注意与加减运算的区别。
教学反思:
底数中负号的处理;能化为同底数幂的数字底数的处理;多项式底数及符号的处理。
同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。
14.1.2幂的乘方
教学目标:
1028
1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
教学重点:
幂的乘方的运算性质及其应用.
教学难点:
幂的运算性质的灵活运用.
一:
知识回顾
1.讲评作业中出现的错误
2.同底数幂的乘法的应用的练习
二:
新课引入
探究:
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
(1)(32)3=32×32×32=3﹝﹞
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a﹝﹞
(3)(am)3=am·am·am=a﹝﹞
(4)(am)n=
=
=amn.
观察结果,发现幂在进行乘方运算时,可以转化为指数的乘法运算.
引导学生归纳同底数幂的乘法法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
即:
(am)n=amn(m、n都是正整数).
二、知识应用
例题:
(1)(103)5;
(2)(a4)4;(3)(am)2;(4)-(x4)3;说明:
-(x4)3表示(x4)3的相反数
练习:
课本第页(学生黑板演板)
补充例题:
(1)(y2)3·y
(2)2(a2)6-(a3)4(3)(ab2)3
(4)-(-2a2b)4
说明:
(1)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先乘方,再做乘法,所以,(y2)3·y=y2×3·y=y6+1=y7;
(2)2(a2)6-(a3)4按运算顺序应先算乘方,最后再化简.所以,2(a2)6-(a3)4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12.
三幂的乘方法则的逆用
.
(1)x13·x7=x()=()5=()4=()10;
(2)a2m=()2=()m(m为正整数).
练习:
1.已知3×9n=37,求n的值.
2.已知a3n=5,b2n=3,求a6nb4n的值.
3.设n为正整数,且x2n=2,求9(x3n)2的值.
四、归纳小结、布置作业:
一课一练、练习册。
小结:
幂的乘方法则.
教学反思:
观察结果,发现幂在进行乘方运算时,可以转化为指数的乘法运算.
引导学生归纳同底数幂的乘法法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
14.1.3积的乘方
教学目标:
1029
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
教学重点:
积的乘方的运算性质及其应用.
教学难点:
积的乘方运算性质的灵活运用.
教学过程:
一.创设情境,复习导入
1.前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质,请同学们通过完成一组练习,来回顾一下这两个性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
2.探索新知,讲授新课
(1)(3×5)7——积的乘方
=
——幂的意义
=
×
——乘法交换律、结合律
=37×57;——乘方的意义
(2)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a()b()
(3)(a2b3)3=(a2b3)·(a2b3)·(a2b3)=(a2·a2·a2)·(b3·b3·b3)=a()b()
(4)(ab)n
=
——幂的意义
=
·
——乘法交换律、结合律
=anbn.——乘方的意义
由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质:
积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
即:
(ab)n=an·bn
二、知识应用,巩固提高
例题3计算
(1)(2a)3;
(2)(-5b)3;(3)(xy2)2;
(4)(-2/3x3)4.(5)(-2xy)4(6)(2×103)2
说明:
(5)意在将(ab)n=anbn推广,得到了(abc)n=anbncn
判断对错:
下面的计算对不对?
如果不对,应怎样改正?
①
②
③
练习:
课本第页
三.综合尝试,巩固知识
补充例题:
计算:
(1)
(2)
四.逆用公式:
,即
预备题:
(1)
(2)
例题:
(1)0.12516·(-8)17;
(2)
(2)已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值.
(注解):
23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675.
4、归纳小结、
5、布置作业:
一课一练、练习册。
6、教学反思:
积的乘方的运算性质:
积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.将(ab)n=anbn推广,得到了(abc)n=anbncn
14.1.4整式的乘法(单项式乘以单项式)
教学目标:
经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
1030
教学重点:
单项式与单项式相乘的运算法则的探索.
教学难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教学过程:
一.复习巩固:
同底数幂,幂的乘方,积的乘方三个法则的区分。
二.提出问题,引入新课
(课本引例):
光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
(1)怎样计算(3×105)×(5×102)?
计算过程中用到哪些运算律及运算性质?
(2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5•bc2怎样计算这个式子?
说明:
(3×105)×(5×102),它们相乘是单项式与单项式相乘.
ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幂的运算性质来计算:
ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc5+2=abc7.
三.单项式乘以单项式的运算法则及应用
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
例4(课本例题)计算:
(学生黑板演板)
(1)(-5a2b)(-3a);
(2)(2x)3(-5xy2).
练习1(课本)计算:
(1)3x25x3;
(2)4y(-2xy2);
(3)(3x2y)3•(-4x);(4)(-2a)3(-3a)2.
练习2(课本)下面计算的对不对?
如果不对,应当怎样改正?
(1)3a3•2a2=6a6;
(2)2x2•3x2=6x4;
(3)3x2•4x2=12x2;(4)5y3•y5=15y15.
四.巩固提高
(补充例题):
1.(-2x2y)·(1/3xy2)
2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)
3.(2×105)2·(4×103)
4.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3)
5.(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b)
6.(-ab3)·(-a2b)3
7.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z)
8.-6m2n·(x-y)3·1/3mn2·(y-x)2
五.小结作业:
一课一练、练习册。
方法归纳:
(1)积的系数等于各系数的积,应先确定符号。
(2)相同字母相乘,是同底数幂的乘法。
(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉。
(4)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
(5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
作业:
教学反思:
ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幂的运算性质来计算:
ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc5+2=abc7.
14.1.4整式的乘法(单项式乘以多项式)
教学目标:
经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
1031
教学重点:
单项式与多项式相乘的运算法则的探索.
教学难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教学过程:
一.复习旧知
二.单项式乘单项式的运算法则
三.练习:
9x2y3·(-2xy2)(-3ab)3·(1/3abz)
四.合并同类项的知识
二、问题引入,探究单项式与多项式相乘的法则
(课本内容):
三家连锁店以相同的价格m(单位:
元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:
瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗?
学生独立思考,然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量,再求总收入,为:
m(a+b+c).
另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入,再求它们的和,即:
ma+mb+mc.
由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
学生归纳:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
引导学生体会:
单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,
三.讲解例题
1.例题5(课本)计算:
(1)(-4x2)(3x+1);
(2)
2.补充例题1:
化简求值:
(-3x)2-2x(x+3)+x·x+2x·(-4x+3)+2007
其中:
x=2008
练习:
课本页
3.补充练习:
计算
1.2ab(5ab2+3a2b);2.(
ab2-2ab)·
ab;
3.-6x(x-3y);4.-2a2(
ab+b2).
5.(-2a2)·(1/2ab+b2)
6.(2/3x2y-6xy)·1/2xy2
7.(-3x2)·(4x2-4/9x+1)
83ab·(6a2b4-3ab+3/2ab3)
9.1/3xny·(3/4x2-1/2xy-2/3y-1/2x2y)
10.(-ab)2·(-3ab)2·(2/3a2b+a3·a2·a-1/3a)
四.小结归纳
布置作业:
:
一课一练、练习册。
教学反思:
学生独立思考,然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量,再求总收入,为:
m(a+b+c).另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入,再求它们的和,即:
ma+mb+mc.
14.1.4整式的乘法(多项式乘以多项式)
教学目标:
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算.1103
教学重点:
多项式与多项式相乘的运算法则的探索
教学难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教学过程:
一.复习旧知
讲评作业
二.创设情景,引入新课
(课本)如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a米、宽m米的长方形绿地,增长了b米,加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?
一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)米2.
另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘以宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m+n)米2.
由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
教师根据学生讨论情况适当提醒和启发,然后对讨论结果(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn进行分析,可以把m+n看做一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n),
再利用单项式与多项式相乘的法则,得
a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.
学生归纳:
多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
三、应用提高、拓展创新
例6(课本):
计算
(1)(3x+1)(x+2);
(2)(x-8y)(x-y);
(3)(x+y)(x2-xy+y2)
进行运算时应注意:
不漏不重,符号问题,合并同类项
练习:
(课本)148页12
补充例题:
1.(a+b)(a-b)-(a+2b)(a-b)
2.(3x4-3x2+1)(x4+x2-2)
3.(x-1)(x+1)(x2+1)
4.当a=-1/2时,求代数式(2a-b)(2a+b)+(2a-b)(b-4a)+2b(b-3a)的值
4.归纳总结。
5.布置作业:
一课一练、练习册。
教学反思:
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n),
再利用单项式与多项式相乘的法则,得a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.
多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
14.1.5同底数幂的除法
教学目标:
1104
1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解同底数幂的除法的运算性质,并能解一些实际问题。
教学重点:
公式的实际应用。
教学难点:
a0=1中a≠0的规定。
教学过程:
一、探索同底数幂的除法法则
1、根据除法的意义填空,并探索其规律
(1)55÷53=5()
(2)107÷105=10()
(3)a6÷a3=a()
推导公式:
am÷an=am-n(a≠0,m、n为正整数,且m>n)
归纳:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
2、比较公式
am·an=am+n(am)n=amn
(ab)m=ambmam÷an=am-n
比较其异同,强调其适用条件
二、实际应用
例1:
计算
(1)x8÷x2
(2)a4÷a(3)(ab)5÷(ab)2
例2:
一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?
解:
26M=26×210K=216K
216÷28=28(张)=256(张)
三、探究a0的意义
根据除法的意义填空,你能得什么结论?
(1)32÷32=
(2)103÷103=
(3)am÷am=(a≠0)
由除法意义得:
am÷an=1(a≠0)
如果依照am÷am=am-m=a0
于是规定:
a0=1(a≠0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
四、练习:
五、作业:
一课一练、练习册。
教学反思:
am÷an=am-n(a≠0,m、n为正整数,且m>n)
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
14.1.6整式的除法
(1)
教学目标:
经历探索单项式除以单项式法则的过程,会进行单项式除以单项式的运算。
1105
教学重点:
运用法则计算单项式除法
教学难点:
法则的探索
教学过程:
一、提出问题,引入新课]
问题:
木星的质量约是1.90×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
如何计算:
(1.90×1024)÷(5.98×1021),并说明依据。
二、讨论问题,得出法则
讨论如何计算:
(1)8a3÷2a
(2)6x3y÷3xy(3)12a3b3x3÷3ab2
[注:
8a3÷2a就是(8a3)÷(2a)]
由学生完成上面练习,并得出单项式除单项式法则。
单项式除以单项式法则:
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
三、法则的应用
例1:
计算
(1)28x4y2÷7x3y
(2)-5a5b3c÷15a4b
练习:
P1621、2
例2:
计算下列各题
(1)(a+b)4÷(a+b)2
(2)[(x-y)3]3÷[(y-x)2]4
(3)(-6x2y)3÷(-3xy)3
例3:
当x=-2,y=1/4时,求代数式:
(-4x2)÷(-4x)2+12x3y2÷(-4x2y)-24x4y3÷(-4x3y2)的值
例4:
已知5m=325m=11,求53m-2n的值。
四、归纳小结,布置作业
本节所学法则可与前面所学的三个法则比较,理解并记忆。
5、学校作业:
:
一课一练、练习册。
6、补充作业:
1、月球距离地球大约3.84×105km,一架飞机的速度约为
8×102km/h,如果坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要多长时间?
2、观察下面一列式子,根据你所看到的规律进行填空:
a,-2a2,4a2,-8a2,……,第10项为,第n项为。
3、已知am=4,an=3,ak=2
则am-3k+2n=
4、16m÷4n÷2等于()
(A)2m-n-1(B)22m-n-2(C)23m-2n-1(D)24m-2n-1
教学反思:
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
14.1.7整式的除法
(2)
教学目标:
经历探索多项式除以单项式法则的过程,会进行多项式除以单项式的运算。
1106
教学重点:
运用法则计算多项式除以单项式。
教学难点:
(1)法则的探索;
(2)法则的逆应用;
教学过程:
一、复习旧知:
计算:
(1)am÷m+bm÷m
(2)a2÷a+ab÷a
(3)4x2y÷2xy+2xy2÷2xy
二、探索多项式除以单项式法则
计算:
(am+bm)÷m,并说明计算的依据
∵(a+b)m=am+bm
∴(am+bm)÷m=a+b
又am÷m+bm÷m=a+b
故(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m
用语言描述上式,得到多项式除以单项式法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
根据法则:
(a2+ab)÷a=+
三、实践应用
例1:
计算
(1)(4x2y+2xy2)÷2xy
(2)(12a3-6a2+3a)÷3a
(3)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
(4)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
练习:
课本页
例2:
计算
(1)(2/5a3x4-0.9ax3)÷3/5ax3
(2)(2/5x3y2-7xy2+2/3y3)÷2/3y2
例3:
化简求值
(1)(x5+3x3)÷x3-(x+1)2其中x=-1/2
(2)[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y
其中x=2,y=1
四、归纳小结,布置作业:
一课一练、练习册。
思考题:
(1)÷(-4x2)=-3x2+4x-2
(2)长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一个边长为2a,则它的周长是。
(3)已知3n+11m能被10整除,求证:
3n+4+11m+2能被10整除。
教学反思:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
14.2.1平方差公式
教学目标:
经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.1107
教学重点:
平方差公式的推导和应用.
教学难点:
灵活运用平方差公式解决实际问题.
过程:
一.创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容
活动1知识复习
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
活动2计算下列各题,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1);
(2)(a+2)(a-2);
(3)(3-x)(3+x);(4)(2m+n)(2m-n).
再计算:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
得出平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
活动3请用剪刀从边长为a的正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1),然后拼成如图2的长方形,你能根据图中的面积说明平方差公式吗?
图1图2
图1中剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为
(a2-b2).
在图2中,长方形的长和宽分别为(a+b)、(a-b),所以面积为
(a+b)(a-b).
这两部分面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
二、知识应用,巩固提高
例1计算:
(1)(3x+2)(3x-2);
(2)(-x+2y)(-x-2y)
(3)(b+2a)(2a-b);(4)(3+2a)(-3+2a)
练习:
加深对平方差公式的理解(课本153页练习1有同种题型)
下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()
(1)(x+1)(1+x);
(2)(
a+b)(b-
a);
(3)(-a+b)(a-b);(4)(x2-y)(x+y2);
(5)(-a-b)(a-b);(6)(c2-d2)(d2+c2).
例题2:
计算
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(3)(a+b+c)(a-b+c)(补充)
(4)20042-2