第 6 章 图.docx
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第6章图
第6章图
课后习题讲解
1.填空题
⑴设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。
【解答】0，n（n-1）/2，0，n（n-1）
【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。
⑵任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。
【解答】其自身
⑶图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。
【解答】邻接矩阵，邻接表
【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。
⑷已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。
【解答】Ｏ（n+e）
【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ（n+2e）=Ｏ（n+e）。
⑸已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。
【解答】求第j列的所有元素之和
⑹有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。
【解答】出度
⑺图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。
【解答】前序，栈，层序，队列
⑻对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal算法求最小生成树的时间复杂度为（）。
【解答】Ｏ（n2），Ｏ（elog2e）
【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。
⑼如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。
【解答】回路
⑽在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi,vj,vk的相对次序为（）。
【解答】vi,vj,vk
【分析】对由顶点vi,vj,vk组成的图进行拓扑排序。
2.选择题
⑴在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（）倍。
A1/2B1C2D4
【解答】C
【分析】设无向图中含有n个顶点e条边，则
。
⑵n个顶点的强连通图至少有（ ）条边，其形状是（）。
AnBn+1Cn-1Dn×（n-1）
E无回路 F有回路 G环状 H树状
【解答】A，G
⑶含n个顶点的连通图中的任意一条简单路径，其长度不可能超过（）。
A1Bn/2Cn-1Dn
【解答】C
【分析】若超过n-1，则路径中必存在重复的顶点。
⑷对于一个具有n个顶点的无向图，若采用邻接矩阵存储，则该矩阵的大小是（）。
AnB（n-1）2Cn-1Dn2
【解答】D
⑸图的生成树（ ），n个顶点的生成树有（）条边。
A唯一 B不唯一 C唯一性不能确定
DnEn+1Fn-1
【解答】C，F
⑹设无向图G=（V,E）和G'=（V',E'），如果G'是G的生成树，则下面的说法中错误的是（）。
AG'为G的子图BG'为G的连通分量
CG'为G的极小连通子图且V=V'DG'是G的一个无环子图
【解答】B
【分析】连通分量是无向图的极大连通子图，其中极大的含义是将依附于连通分量中顶点的所有边都加上，所以，连通分量中可能存在回路。
⑺G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有（）个顶点。
A6B7C8D9
【解答】D
【分析】n个顶点的无向图中，边数e≤n（n-1）/2，将e=28代入，有n≥8，现已知无向图非连通，则n=9。
⑻最小生成树指的是（）。
A由连通网所得到的边数最少的生成树
B由连通网所得到的顶点数相对较少的生成树
C连通网中所有生成树中权值之和为最小的生成树
D连通网的极小连通子图
【解答】C
⑼判定一个有向图是否存在回路除了可以利用拓扑排序方法外，还可以用（）。
A求关键路径的方法 B求最短路径的方法
C广度优先遍历算法 D深度优先遍历算法
【解答】D
【分析】当有向图中无回路时，从某顶点出发进行深度优先遍历时，出栈的顺序（退出DFSTraverse算法）即为逆向的拓扑序列。
⑽下面关于工程计划的AOE网的叙述中，不正确的是（）?
br/>A关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间
B任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
C所有的关键活动都提前完成，那么整个工程将会提前完成
D某些关键活动若提前完成，那么整个工程将会提前完
【解答】B
【分析】AOE网中的关键路径可能不止一条，如果某一个关键活动提前完成，还不能提前整个工程，而必须同时提高在几条关键路径上的关键活动。
3.判断题
⑴一个有向图的邻接表和逆邻接表中的结点个数一定相等。
【解答】对。
邻接表和逆邻接表的区别仅在于出边和入边，边表中的结点个数都等于有向图中边的个数。
⑵用邻接矩阵存储图，所占用的存储空间大小只与图中顶点个数有关，而与图的边数无关。
【解答】对。
邻接矩阵的空间复杂度为Ｏ（n2），与边的个数无关。
⑶图G的生成树是该图的一个极小连通子图
【解答】错。
必须包含全部顶点。
⑷无向图的邻接矩阵一定是对称的，有向图的邻接矩阵一定是不对称的
【解答】错。
有向图的邻接矩阵不一定对称，例如有向完全图的邻接矩阵就是对称的。
⑸对任意一个图，从某顶点出发进行一次深度优先或广度优先遍历，可访问图的所有顶点。
【解答】错。
只有连通图从某顶点出发进行一次遍历，可访问图的所有顶点。
⑹在一个有向图的拓扑序列中，若顶点a在顶点b之前，则图中必有一条弧。
【解答】错。
只能说明从顶点a到顶点b有一条路径。
⑺若一个有向图的邻接矩阵中对角线以下元素均为零，则该图的拓扑序列必定存在。
【解答】对。
参见第11题的证明。
⑻在AOE网中一定只有一条关键路径?
br/>【解答】错。
AOE网中可能有不止一条关键路径，他们的路径长度相同。
4．n个顶点的无向图，采用邻接表存储，回答下列问题?
br/>⑴图中有多少条边？
⑵任意两个顶点i和j是否有边相连？
⑶任意一个顶点的度是多少?
br/>【解答】
⑴边表中的结点个数之和除以2。
⑵第i个边表中是否含有结点j。
⑶该顶点所对应的边表中所含结点个数。
5．n个顶点的无向图，采用邻接矩阵存储，回答下列问题：
⑴图中有多少条边？
⑵任意两个顶点i和j是否有边相连？
⑶任意一个顶点的度是多少？
【解答】
⑴邻接矩阵中非零元素个数的总和除以2。
⑵当邻接矩阵A中A[i][j]=1（或A[j][i]=1）时，表示两顶点之间有边相连。
⑶计算邻接矩阵上该顶点对应的行上非零元素的个数。
6．证明：
生成树中最长路径的起点和终点的度均为１。
【解答】用反证法证明。
设v1,v2,…,vk是生成树的一条最长路径，其中，v1为起点，vk为终点。
若vk的度为2，取vk的另一个邻接点v，由于生成树中无回路，所以，v在最长路径上，显然v1,v2,…,vk,v的路径最长，与假设矛盾。
所以生成树中最长路径的终点的度为1。
同理可证起点v1的度不能大于1，只能为1。
7．已知一个连通图如图6-6所示，试给出图的邻接矩阵和邻接表存储示意图，若从顶点v1出发对该图进行遍历，分别给出一个按深度优先遍历和广度优先遍历的顶点序列。
【解答】邻接矩阵表示如下：
深度优先遍历序列为：
v1v2v3v5v4v6
广度优先遍历序列为：
v1v2v4v6v3v5
邻接表表示如下：
8．图6-7所示是一个无向带权图，请分别按Prim算法和Kruskal算法求最小生成树。
【解答】按Prim算法求最小生成树的过程如下：
按Kruskal算法求最小生成树的过程如下：
9．对于图6-8所示的带权有向图，求从源点v1到其他各顶点的最短路径。
【解答】从源点v1到其他各顶点的最短路径如下表所示。
源点终点最短路径最短路径长度
v1v7v1v77
v1v5v1v511
v1v4v1v7v413
v1v6v1v7v4v616
v1v2v1v7v222
v1v3v1v7v4v6v325
10．如图6-9所示的有向网图，利用Dijkstra算法求从顶点v1到其他各顶点的最短路径。
【解答】从源点v1到其他各顶点的最短路径如下表所示。
源点终点最短路径最短路径长度
v1v3v1v315
v1v5v1v515
v1v2v1v3v225
v1v6v1v3v2v640
v1v4v1v3v2v445
11．证明：
只要适当地排列顶点的次序，就能使有向无环图的邻接矩阵中主对角线以下的元素全部为0。
【解答】任意n个结点的有向无环图都可以得到一个拓扑序列。
设拓扑序列为v0v1v2…vn-1，我们来证明此时的邻接矩阵A为上三角矩阵。
证明采用反证法。
假设此时的邻接矩阵不是上三角矩阵，那么，存在下标i和j（i>j），使得A[i][j]不等于零，即图中存在从vi到vj的一条有向边。
由拓扑序列的定义可知，在任意拓扑序列中，vi的位置一定在vj之前，而在上述拓扑序列v0v1v2…vn-1中，由于i>j，即vi的位置在vj之后，导致矛盾。
因此命题正确。
12.算法设计
⑴设计算法，将一个无向图的邻接矩阵转换为邻接表。
【解答】先设置一个空的邻接表，然后在邻接矩阵上查找值不为零的元素，找到后在邻接表的对应单链表中插入相应的边表结点。
邻接矩阵存储结构定义如下：
constintMaxSize=10;
template
structAdjMatrix
{
Tvertex[MaxSize];//存放图中顶点的数组
intarc[MaxSize][MaxSize];//存放图中边的数组
intvertexNum,arcNum;//图的顶点数和边数
};
邻接表存储结构定义如下：
constintMaxSize=10;
structArcNode//定义边表结点
{
intadjvex;//邻接点域
ArcNode*next;
};
template
structVertexNode//定义顶点表结点
{
Tvertex;
ArcNode*firstedge;
};
structAdjList
{
VertexNodeadjlist[MaxSize];
intvertexNum,arcNum;//图的顶点数和边数
};
具体算法如下：
⑵设计算法，将一个无向图的邻接表转换成邻接矩阵。
【解答】在邻接表上顺序地取每个边表中的结点，将邻接矩阵中对应单元的值置为1。
邻接矩阵和邻接表的存储结构定义与上题相同。
具体算法如下：
⑶设计算法，计算图中出度为零的顶点个数。
【解答】在有向图的邻接矩阵中，一行对应一个顶点，每行的非零元素的个数等于对应顶点的出度。
因此，当某行非零元素的个数为零时，则对应顶点的出度为零。
据此，从第一行开始，查找每行的非零元素个数是否为零，若是则计数器加1。
具体算法如下：
⑷以邻接表作存储结构，设计按深度优先遍历图的非递归算法。
【解答】参见6.2.1。
⑸已知一个有向图的邻接表，编写算法建立其逆邻接表。
【解答】在有向图中，若邻接表中顶点vi有邻接点vj，在逆邻接表中vj一定有邻接点vi，由此得到本题算法思路：
首先将逆邻接表的表头结点firstedge域置空，然后逐行将表头结点的邻接点进行转化。
⑹分别基于深度优先搜索和广度优先搜索编写算法，判断以邻接表存储的有向图中是否存在由顶点vi到顶点vj的路径（i≠j）。
【解答】⑴基于深度优先遍历：
⑵基于广度优先遍历：
学习自测及答案
1．某无向图的邻接矩阵A=
，可以看出，该图共有（）个顶点。
A3B6C9D以上答案均不正确
【解答】A
2．无向图的邻接矩阵是一个（），有向图的邻接矩阵是一个（）
A上三角矩阵B下三角矩阵C对称矩阵D无规律
【解答】C，D
3．下列命题正确的是（）。
A一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示也唯一
B一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示不唯一
C一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示是唯一
D一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示也不唯一
【解答】B
4．十字链表适合存储（），邻接多重表适合存储（）。
【解答】有向图，无向图
5.在一个具有n个顶点的有向完全图中包含有（）条边：
An（n-1）/2Bn（n-1）Cn（n+1）/2Dn2
【解答】B
6．n个顶点的连通图用邻接矩阵表示时，该矩阵至少有（）个非零元素。
【解答】2（n-1）
7．表示一个有100个顶点，1000条边的有向图的邻接矩阵有（）个非零矩阵元素。
【解答】1000
8．一个具有n个顶点k条边的无向图是一个森林（n>k），则该森林中必有（）棵树。
Ak Bn Cn-k D1
【解答】C
9．用深度优先遍历方法遍历一个有向无环图，并在深度优先遍历算法中按退栈次序打印出相应的顶点，则输出的顶点序列是（）。
A逆拓扑有序B拓扑有序C无序 D深度优先遍历序列
【解答】A
10.关键路径是AOE网中（）。
A从源点到终点的最长路径B从源点到终点的最长路径
C最长的回路 D最短的回路
【解答】A
11.已知无向图G的邻接表如图6-10所示，分别写出从顶点1出发的深度遍历和广度遍历序列，并画出相应的生成树。
【解答】深度优先遍历序列为：
1，2，3，4，5，6
对应的生成树为：
广度优先遍历序列为：
1，2，4，3，5，6
对应的生成树为：
12.已知已个AOV网如图6-11所示，写出所有拓扑序列。
【解答】拓扑序列为：
v0v1v5v2v3v6v4、v0v1v5v2v6v3v4、v0v1v5v6v2v3v4。
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