（2）f（5）=195，f（25）=205，故讲课开始25分钟时学生的注意力比讲课开始5分钟时更集中
（3）当024.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。
四、商品利润最大问题
举例4.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为x，已知总收入满足函数:
R（x）=
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）;
（2）每月产量为何值时，公司所获利润最大?
最大利润为多少元?
（总收入=总成本+利润）
分析:
本题为分段函数型。
根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式来求新的表达式可求得第
（1）小题，然后利用配方法和单调性求解最值。
解析:
（1）月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而f（x）=
（3）当0≤X≤400时,f（x）=-
（x-300）2+25000.当X>400时,f（x）=60000-100x是减函数,f（x）<60000-100×400<25000.故每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.
评注:
本题主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解，分段函数的最值求法注意取各段的最大（或者最小）者的最大者（最小者）为函数的最值。
五、通讯收费问题
举例5.有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．
（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？
如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
解析：
1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，
当0≤t≤100时，话费金额y=20；
当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，
且函数经过点（100，20）和（200，40），
所以，
解得：
k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,
所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；
2）仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,
当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,
所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；
因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，
所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；
因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，
所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；
因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，
所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙
六、生活中的用水用电问题
举例6.为了鼓励节能降耗,某市规定如下用电收费标准:
每户每月的用电量不超过120度时,电价为a元/度;超过120度时,不超过部分仍为a元/度,超过部分为b元/度.已知某用户五月份用电115度,交电费69元,六月份用电140度,交电费94元.
（1）求a,b的值;
（2）设该用户每月用电量为x（度）,应付电费为y（元）.
①分别求出0≤x≤120和x>120时,y与x之间的函数关系式;
②若该用户计划七月份所付电费不超过83元,问该用户七月份最多可用电多少度?
解析：
115a=69,
120a+20b=94.
解这个方程组,得a=0.6，b=1.1.
（2）①当0≤x≤120时,y=0.6x.
当x>120时,y=120×6+1.1（x2120）,0.即y=1.1x260.
②∵>120×0.6=72,∴y与x之间的函数83关系式为y=1.1x260.
由题意,得1.1x260≤83,x≤130.
∴该用户七月份最多可用电130度.
七、生活中的医疗保险问题
举例7.为了增强农民抵御大病风险的能力,政府积极推行农村医疗保险制度.我市某县根据本地的实际情况,制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定:
享受医保的农民可在定点医院住院治疗,由患者先垫付医疗费用,住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销.
住院医疗费用的报销比例标准如下表:
费用范围
100元以下（含100元）
100元以上的部分
报销比例标准
不予报销
60%
（1）设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x元（x>100）,按规定报销的医疗费用为y元,试写出y与x的函数关系式;
（2）若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000元,则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元.
解:
（1）y=（x2100）×60%=0.6x260（x>100）
（2）当x=1000元时,y=0.6×1000260=600260=540（元）
10002540=460（元）
答:
他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540元和460元。
分段函数是高中数学的重要内容，涉及分段函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活．同时，应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质，因此在数学教学中倍受青睐．
第二部分：
概率在生活中的应用
一、绪论
由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，重视素质教育高考的兼容性，概率统计在社会现实中具有很高的应用价值。
概率在生活中无处不有，无处不在的，要用学生熟悉、感兴趣的生活实际问题设计出丰富多彩的学习活动，使学生积极、主动地学习和运用数学。
在有关概率的题目中，有的取材于，并要注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流。
让学生感觉数学概率就发生在身边。
本课题主要从概率的起源、概率的相关概念、概率在现实中的应用以及结论几部分构成。
其中，第二部分说的是概率源于博弈成科学，第三部分主要说的是概念问题，并强调了一些注意事项及和频率的区别和联系；第四部分举例讲述了概率在现实中的应用；第五部分做了相应的总结分析。
二、概率的起源
概率问题的历史可以追溯到很远,很早以前,人们就用抽签、抓阄的方法解决问题,这可能是概率最早的应用.而真正研究随机现象的概率论出现在15世纪之后,当时的保险业非常不成熟,只是一种完全靠估计形势而出现的赌博性事业,保险公司要承担很大的不确定性风险,保险业的发展渴望能有指导保险的计算工具的出现.这一渴望戏剧性地因15世纪末赌博现象的大量出现而得到解决.
据传,当时有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题:
梅勒和他的一个朋友每人出30个金币,两人谁先赢满三局谁就得到全部赌注.在游戏进行了一会儿后,梅勒赢了两局,他的朋友赢了一局.这时候梅勒由于一个紧急事情必须离开,游戏不得不停止.他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢?
梅勒的朋友认为,既然他接下来赢的机会是梅勒的一半,那么他该拿到梅勒所得的一半,即他拿20个金币,梅勒拿40个金币.然而梅勒争执道:
再掷一次色子,即使他输了,游戏是平局,他最少也能得到全部赌注的一半—30个金币;但如果他赢了,就可以拿走全部的赌注.在下一次掷色子之前,他实际上已经拥有了30个金币,他还有50%的机会赢得另外30个金币,所以,他应分得45个金币.
赌本究竟如何分配才合理呢?
后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡,这居然也难住了帕斯卡,因为当时并没有相关的知识来解决此类问题,而且两人说的似乎都有道理.帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费尔马,于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信,在通信中,他们最终正确地解决了这个问题.他们设想:
如果继续赌下去,梅勒（设为甲）和他的朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢?
他们俩至多再赌两局即可分出胜负,这两局胜的情况有4种可能的结果:
甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.前三种情况都是甲最后取胜,只有最后一种情况才是乙取胜,所以赌注应按3:
1的比例分配,即甲得45个金币,乙得15个金币.虽然梅勒的计算方式不一样,但他的分配方式是对的.
后来,荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形之下,试图总结出更一般的规律,于1657年写成了《论赌博中的计算》一文,这就是最早的概率论著作.正是他们把这一类问题提高到了理论的高度,并总结出了其中的一般规律.同时,他们的研究还吸引了许多学者,由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶,逐渐建立起一些重要概念及运算法则,从而使这类研究从对机会性的游戏的分析发展上升为一个新的数学分支.由赌徒的问题引起,概率逐渐演变成一门严谨的科学.
三、概率的相关概念
在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。
在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：
一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。
如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。
事物间的这种联系是属于必然性的。
另一类是不确定性的现象。
这类现象在一定条件下的结果是不确定的。
例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。
又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。
这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。
事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。
比如：
太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。
但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。
在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。
不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
在了解这些概念的同时，我们还要关注概率的注意事项及了解频率与概念的区别于联系：
（4）有关概率的注意事项：
a．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.
b．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.
（5）频率与概率的区别与联系：
从定义可以得到二者的联系,可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数（事件发生的概率）附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.
（4）概率在现实中的应用
1、彩票中奖的概率
走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。
在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。
继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。
据统计，全国100个人中就有3个彩民。
通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”（经济性购买）彩民。
“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。
那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?
“下一个百万富翁就是你!
”这句响亮的且极具诱惑了的话是彩票的广告词.花上几元钱,买一张彩票,然后就中了几百万乃至上千万的巨额奖金,这大概是很多人梦寐以求的事.可是这样的机会有多大呢?
我们以前段时间比较流行的“6+1”中国体育福利彩票为例来计算一下.买一注彩票,你只需在0到9的10个数字中任意选取7个,可以重复.在每一期开奖时有一个专门的摇奖机按顺序随机摇出7个标有数字的小球,如果你买的号码与开奖的号码一致,那你就中了特等奖,其奖金最高是500万元.可是,当我们计算这种摇奖方式能产生出多少种不同的情况时,我们会吓一跳:
10×10×10×10×10×10×10×10=10000000种!
这就是说,假如你只买了一注彩票,7个号码按顺序与开奖号码完全一致的机会是一千万分之一.一千万分之一是一个什么样的概念呢?
如果每星期你坚持花20元买10注彩票,那你在每19230年中有赢得一次大奖的机会;即使每星期坚持花2000元买1000注,也大致需要每192年才有一次中大奖的机会.这几乎是单靠人力所不能完成的,获大奖仅是我们期盼的偶然中的偶然事件.即数学上归为小概率事件之列.（不可能发生的事件）
举个例子:
假如你买1注彩票,号码为0000000,大家也许会笑你是个是个傻瓜,0000000—中大奖?
可能吗?
其实号码0000000和其他任何可能中大奖的概率是一样的,都是一千万分之一.当你意识到0000000号码不能中奖时,也应该明白其他号码中奖的可能性其实也一样不可能.
再如“双色球”中奖概率又是多少?
①“双色球”一等奖的中奖概率是多少?
“双色球”一等奖就是中了6个红色球号码和1个蓝色球号码，即中了“6+1”。
由此，它的中奖概率就等于红色球33选6的中奖概率N与蓝色球16选1的中奖概率n的乘积S，即S＝l／17721088。
二等奖的中奖概率是多少?
“双色球”二等奖的中奖概率为1／1181406。
三等奖的中奖概率是多少?
“双色球”三等奖的中奖概率为1／109389。
、总的平均中奖率为：
1188988/17721088=0.067094526024587203675079092209237=6.7%
由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。
这些看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。
那为什么总有人能中大奖呢?
这是因为参与的人数是极其巨大的,人们总是抱着撞大运的心理去参加.孰不知,彩民们就在这样的幻想中为彩票公司贡献了巨额的财富.一般情况下,彩票发行者只拿出全部彩金的45%作为奖金返还,这意味着无论奖金的比例如何分配,无论彩票的销售总量是多少,彩民平均付出1元钱只能赢得0.45元的回报.从这个平均值的角度出发,这个游戏是绝对不划算的.
2、选择题瞎猜问题
现在用计算机阅卷的考试越来越多.于是在考卷上,便于计算机阅卷的选择题的比例也越来越大.你想过做选择题全凭瞎猜能得多少分吗?
比如,有5道3选1的选择题,5道题全部答错的概率为:
=
=约13%
因此,只要用1减去5道题全部答错的概率:
100%-13%=约87%
由此可见,即使不看题目,瞎猜乱选,也有近90%的概率至少可以答对1道题.当然,绝不是鼓励大家在考试中胡乱做选择题.如果知道正确答案,还是要选对应的选项.
再比如,如果考试中有10道选择题,每道题都有4个选项,但其中只有1个正确答案.在这种情况下,至少能猜对1道题的概率有多大?
10道题全部答错的概率为:
=0.056=5.6%
用1减去10道题全部答错的概率5.6%,得到的就是至少能猜对1道题的概率,即94.4%.由此看出,即使瞎猜乱选,做10道题中至少能猜对一道还是不难的.
那么做10道题中猜对5道的概率又该如何计算呢?
通过下面的公式可以算出概率为P的事情发生r次的概率:
×
×
而是从n个元素中选出r个元素的公式,计算方法为:
=
÷
×
公式里全是符号,可能会有点晕.其实,只要把具体数字带入公式,就容易理解了.
我们的问题是“有10道4选1的选择题,猜对其中5道的概率有多大?
”,换言之,就是“在10道题中,概率为
的情况出现5次的概率为多大?
”
一共有10道选择题,所以n=10;由于是4选1的选择题,所以
=
;问的是猜对5道题的概率,所以
=5.把
=10、
=
和
=5代入上述公式中,便得到:
×
×
=
252×
×
=0.058……
因此,做10道4选1的选择题时,猜对其中5道的概率仅有5.8%.
这也就是说,猜对的题目越多,实现的概率越小.因此,要想在考试中取得好成绩,光靠运气瞎猜乱选是行不通的,必须具有真才实学.
3、面试通过的概率
刚从学校毕业即将步入社会的年轻人都希望找一份合适的工作.可是,目前的经济情况一直不景气,找个工作都很难,很多公司的面试通过率也很低,年轻人该怎么办呢?
其实,年轻的朋友不必灰心丧气.从概率学的角度讲,只要坚持不懈地努力,成功的概率就会不断提高.
一件成功概率为50%的事情.只要我们反复做5次,就可以把成功概率提高至97%.
如果5家公司的面试率都是50%,那么我们去这5家公司面试时至少可以通过一家公司面试的概率也为97%.
将每家公司面试不合格的概率相乘,就可以得出去5家公司面试都不合格的概率,即
=
（约3%）
用1减去都不合格的概率,得出的便是至少可以通过一家公司面试的概率:
1-0.03=0.97（97%）
同样,如果面试的通过率都为30%,面试5家,至少可以通过1家面试的概率为83%.
如果面试的通过率仅为10%,连续面试10家,至少可以通过1家面试的概率为65%.如果连续面试20家,至少通过1家面试的概率则高达88%.
此外,如果几家公司的面试通过率各不相同,分别是10%、20%、30%、40%和50%,那么参加这几家公司的面试后,至少能通过1家面试的概率该如何计算呢?
即使各个公司的面试通过率各不相同,同样可以利用前面的方法进行计算.首先将各个公司面试的不合格的概率相乘,就可以得到去任何一家公司面试都不合格的概率,再用1减去这一概率,便得到至少能通过一家公司面试的概率.
因此
1-（0.9×0.8×0.7×0.6×0.5）=约0.85
也就是说,至少通过1家公司面试的概率为85%.
4、生日概率问题
我们来看一个经典的生日概率问题.以1年365天计（不考虑闰年因素）,你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同,那么需要多少人?
大家不难得到结果,366人,只要人数超过365人,必然会有人生日相同.但如果一个班有50个人,他们中间有人生日相同的概率是多少?
你可能想,大概20%～30%,错,有97%的可能!
它的计算方式是这样的:
a、50个人可能的生日组合是365×365×365×……×365（共50个）个;
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