初中数学知识点总结.docx

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初中数学知识点总结

初中数学知识点总结

一、基本知识

、数与代数

A、数与式：

1、有理数

有理数：

①整数→正整数/0/负整数

②分数→正分数/负分数

数轴：

①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：

①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：

加法：

①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：

①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：

求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：

先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数

无理数：

无限不循环小数叫无理数

平方根：

①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

立方根：

①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。

②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。

③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

实数：

①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。

③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

3、代数式

代数式：

单独一个数或者一个字母也是代数式。

合并同类项：

①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4、整式与分式

整式：

①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。

②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

整式运算：

加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幂的运算：

AM+AN=A（M+N）（AM）N=AMN（A/B）N=AN/BN除法一样。

为了更好的掌握幂的运算法则，我们还需注意以下四点：

（1）、注意法则的拓展性

对于含有三个或三个以上同底数幂相乘（除）、幂（积）的乘方等运算，法则仍然适用。

（2）、注意法则的底数和指数的广泛性

运算法则中的底数和指数，可取一个或几个具体的数；也可取单独一个字母或一个单项式，甚至可以是一个多项式。

（3）、注意法则的可逆性

逆向应用运算法则，由结论推出条件，或将某些指数进行分解。

例3：

在下面各小题的括号内填入适当的数或代数式：

（4）、注意法则应用的灵活性

在运用法则时，要仔细观察题目的特点，采取恰当、巧妙的解法，使解题过程简便。

整式的乘法：

①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式两条：

平方差公式/完全平方公式

整式的除法：

①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：

提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。

分式：

①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：

乘法：

把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

除法：

除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：

①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：

①分母中含有未知数的方程叫分式方程。

②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

B、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：

①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：

去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：

两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：

代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：

只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程

1）一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

（1）配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

（2）分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

（3）公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac）]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac）]}/2a

3）解一元二次方程的步骤：

（1）配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

（2）分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

（3）公式法

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4）韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

5）一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diaota”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）

2、不等式与不等式组

不等式：

①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：

A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：

A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：

A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：

A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；

3、函数

变量：

因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

<1>一次函数：

1若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。

2②当B=0时，称Y是X的正比例函数。

一次函数的性质:

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：

y=kx+b（k≠0）（k为任意不为零的实数b取任何实数）

　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　　3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1（角1为一次函数图象与x轴正方向夹角）

　　形。

取。

象。

交。

减

　　4.正比例函数也是一次函数.

　　5.当k相同，图像平行；当k不同，图像相交

一次函数的图象：

①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；

当K〉0，B〈0时，则经134象限；

当K〉0，B〉0时，则经123象限。

④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。

常用公式:

1.求函数图像的k值：

（y1-y2）/（x1-x2）

　　2.求与x轴平行线段的中点：

|x1-x2|/2

　　3.求与y轴平行线段的中点：

|y1-y2|/2

　　4.求任意线段的长：

√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：

根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）

　　5.求两一次函数式图像交点坐标：

解两函数式

　　两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则（x0,y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标

　　6.求任意2点所连线段的中点坐标：

[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

　　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：

（X-x1）/（x1-x2）=（Y-y1）/（y1-y2）（其中分母为0，则分子为0）

　　kb

　　++在一、二、三象限

　　+-在一、三、四象限

　　-+在一、二、四象限

　　--在二、三、四象限

　　8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

　　9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

　　10.左移X则B+X，右移X则B-X

　　11.上移Y则X项+Y，下移Y则X项-Y

　　（有个规律.b项的值等于k乘于上移的单位在减去原来的b项。

）

一次函数解析式的几种类型

　　①ax+by+c=0[一般式]

　　②y=kx+b[斜截式]

　　（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

　　③y-y1=k（x-x1）[点斜式]

　　（k为直线斜率,（x1,y1）为该直线所过的一个点）

　　④（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）[两点式]

　　（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

　　⑤x/a-y/b=0[截距式]

　　（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

　　解析式表达局限性：

　　①所需条件较多（3个）；

　　②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

　　④参数较多，计算过于烦琐；

　　⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

　　倾斜角：

x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg（a）

<2>反比例函数：

表达式为y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

　　反比例函数的其他形式：

y=k/x=k·1/x=kx-1

　　反比例函数的特点：

y=k/x→xy=k

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　1.反比例函数的图像为双曲线。

　　2.反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

　　3.反比例函数任何一个分支与坐标轴无交点。

　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

　　当k>０时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数

　　当k<０时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数

　　倘若不在同一象限，则刚好相反。

　　由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。

　　知识点：

　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

　　2.对于双曲线y＝k/x，若在分母上加减任意一个实数m（即y＝k／x（x±m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。

（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

<3>二次函数：

定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），则称y为x的二次函数。

　　重要概念：

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。

）

　　二次函数表达式的右边通常为二次。

x是自变量，y是x的二次函数

二次函数的三种表达式

　　①一般式：

y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）

　　②顶点式[抛物线的顶点P（h，k）]：

y=a（x－ｈ）2;＋ｋ

　　③交点式[仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线]：

y=a（x-x1）（x-x2）

以上3种形式可进行如下转化：

　　①一般式和顶点式的关系

　　对于二次函数y=ax2;+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a）,（4ac-b2）/4a），即

　　h=-b/2a=（x1+x2）/2　　k=（4ac-b2;）/4a

　　②一般式和交点式的关系

　　x1,x2=[-b±√（b2;-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）

二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2;的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，（4ac-b2;）/4a）

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　_______

　　Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c（a≠0）

　　7.定义域：

R

　　值域：

（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b²）/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：

偶函数

　　周期性：

无

　　解析式：

　　①y=ax²+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：

（-b/2a，（4ac-b2）/4a）；

　　⑷Δ=b²-4ac,

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，图象与x轴无交点；

　　②y=a（x-h）²+t[配方式]

　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=（4ac-b²）/4a）；

二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　即ax²+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax²，y=a（x-h）²，y=a（x-h）²+k，y=ax²+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

　　y=ax2;

　　y=a（x-h）2;

　　y=a（x-h）2;+k

　　y=ax2;+bx+c

　　顶点坐标

　　（0，0）

　　（h，0）

　　（h，k）

　　（-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a）

　　对称轴

　　x=0

　　x=h

　　x=h

　　x=-b/2a

当h>0时，y=a（x-h）2;的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）²+k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b²]/4a）．

　　3．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x₁，0）和B（x₂，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

　　（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

　　5．抛物线y=ax²+bx+c的最值：

如果a>0（a<0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b²）/4a．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax²+bx+c（a≠0）．