等腰三角形典型例题练习.docx
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等腰三角形典型例题练习
等腰三角形典型例题练习
一．选择题（共2小题）
1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．
5cm
B．
3cm
C．
2cm
D．
不能确定
2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：
①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
二．填空题（共1小题）
3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 _________ ．
三．解答题
4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．
5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
6．＞已知：
如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？
并说明理由．
7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？
（2）△DBE是什么三角形？
为什么？
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：
AB=4BD．
9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：
DF=EF．
10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，
求证：
BD=2CE．
11．已知：
如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
12．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）线段AD与BE有什么关系？
试证明你的结论．
（2）求∠BFD的度数．
13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，
求证：
AE=CF．
14．已知：
如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？
请说明理由．
参考答案
一．选择题（共2小题）
1.
解：
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．
2．
解：
∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，故①正确；
∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，
∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；
又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．
二．填空题（共1小题）
3．
解：
∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，
，
∴△DEF是正三角形，∴BD：
DF=1：
①，BD：
AB=1：
3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，
=
，∴DF：
AB=1：
，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：
3．
故答案为：
1：
3．
三．解答题（共15小题）
4．
证明：
过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，
∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中
，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．
5．
解：
∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．
6．解
△ABC是等腰三角形．
证明：
连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，
∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．
7．
解：
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴
，
（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴
，
∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．
8．
解：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．
又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．
9．
证明：
过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，
∴∠1=∠2，∠4=∠3，
∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，
在△DFG和△EFC中
，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．
10．
证明：
如图，分别延长CE，BA交于一点F．
∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，
又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE（ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．
又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．
∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．
11．：
解：
∠F=∠MCD，
理由是：
∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，
在△ACE和△ABE中
∵
，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，
∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，
∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，
∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．
12．
（1）证明：
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．
（2）解：
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
13．
证明：
∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，
又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．
14．
解：
AE与BF相等且垂直，
理由：
在△AEO与△BFO中，
∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．
延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，
由
（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．
四边形典型题及答案
1.．如图，△ABD，△BCE，△ACF均为等边三角形，请回答下列问题，其中
（2），（3），（4）小题不用说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
请说明理由．
（2）当△ABC满足 条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足 条件时，四边形ADEF是矩形？
（4）当△ABC满足 条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
分析：
（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．
（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°．
（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
解答：
解：
（1）∵△ABD，△BCE为等边三角形
∴∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，BE=BC
∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60°∴∠ABC=∠DBE∴△ABC≌△DBE∴DE=AC同理：
EF=AB∵AB=AD，AC=AF∴EF=AD，DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形
（2）∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．∵△ABD，△ACF均为等边三角形，∴AB=AD，AC=AF．∴AB=AC时，四边形ADEF是矩形．
（3）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（4）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．故答案为：
（2）AB=AC（3）∠BAC=150°（4）∠BAC=60°
2.如图，在△ABC中，D为BC边的中点，∠BDF=∠C，∠BFD=∠DEC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）如果要使四边形AFDE成为菱形，试写出△ABC需添加的条件（写出一个）；
（3）如果要使四边形AFDE成为矩形，试写出△ABC需添加的条件（写出一个）．
（4）请选择
（2）、（3）中的一个结论进行证明．
解答：
（1）解：
四边形AFDE是平行四边形．
理由是：
∵∠BDF=∠C，
∴DF∥AC，
在△BDF和△DCE中
∵
，
∴△BDF≌△DCE（AAS），
∴∠B=∠EDC，
∴DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
（2）解：
AB=AC，
理由是：
∵四边形AFDE是平行四边形，
∴DF=AE，DE=AF，
∵△BDF≌△DCE，
∴DF=CE，DE=BF，
∴AE=EC，AF=FB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
即平行四边形AFDE是菱形．
（3）解∠A=90°，
理由是∵四边形AFDE是平行四边形，∠A=90°，
∴平行四边形AFDE是矩形．
（4）选择
（2）．证明AB=AC，
理由是：
∵四边形AFDE是平行四边形，
∴DF=AE，DE=AF，
∵△BDF≌△DCE，
∴DF=CE，DE=BF，
∴AE=EC，AF=FB，
∵AB=AC，
∴AE=AF，即平行四边形AFDE是菱形．
3.（济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；
（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．
解答：
解：
（1）如图所示：
（2）如图所示：
点评：
本题主要考查了对于矩形的理解以及对于图象的认识能力．读懂题意是本题的关键．
4.（贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．
（1）证明：
四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长．
解答：
（1）证明：
∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1∥BD，A1D1=
BD，同理：
B1C1∥BD，B1C1=
BD∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=
BD∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°∴四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）解：
由三角形的中位线的性质知，B1C1=
BD=4，B1A1=
AC=3，
得：
四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；
（3）解：
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为
；
（4）解：
方法一：
由
（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则
，
解得
∴
∴矩形A5B5C5D5的周长=
方法二：
矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2
即
：
12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：
142
∴矩形A5B5C5D5的周长=
．
5.（2011•福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：
cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
解答：
解：
（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣4t，解得
，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
6.（2008•潍坊）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．
（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；
（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
解答：
解：
（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，
∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，
∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°；
∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠HEG=∠AFE，
又∵∠EHG=∠A=90°，
∴△EAF∽△GHE，
∴
，
∴EF=5，
∴S△EFG=
EF•EG=
×5×10=25．
（2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，
∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，
∵EF∥BG，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG，
∴BG=EF，
∴四边形BGEF为平行四边形，
又∵EF=EG，
∴平行四边形BGEF为菱形；连接BE，BE，FG互相垂直平分，在Rt△EFH中，EF=BG=10，EH=AB=8，由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=AF+EF=16，∴BE=
=8
，∴BO=4
，∴OG=
=2
，∵四边形BGEF是菱形，∴FG=2OG=4
，答：
折痕GF的长是4
．
点评：
本题利用了：
1、折叠的性质：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称变化，对应边和对应角相等．
7.（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
解答：
（1）证明：
如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．
（2）解：
连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵
，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，
（3）解：
延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵
，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
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