等腰三角形典型例题练习.docx

1、等腰三角形典型例题练习 等腰三角形典型例题练习一选择题（共2小题）1如图，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A5cmB3cmC2cmD不能确定2如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BD CN=CM MNAB 其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3二填空题（共1小题）3如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则DEF的面积与ABC的面积之比等于_三

2、解答题4在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E请说明DE=BD+EC6已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF请判断ABC是什么三角形？并说明理由7如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？为什么？8如图，在ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，A=30求证：AB=4BD9如图，ABC中，AB=AC，

3、点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F求证：DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE11已知：如图，AF平分BAC，BCAF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由12如图，已知ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论（2）求BFD的度数13如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90，F为AB延长

4、线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF14已知：如图，在OAB中，AOB=90，OA=OB，在EOF中，EOF=90，OE=OF，连接AE、BF问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由参考答案一选择题（共2小题）1.解：C=90，AD平分BAC交BC于DD到AB的距离即为CD长CD=53=2故选C2解：ACD和BCE是等边三角形，ACD=BCE=60，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCB（SAS），AE=BD，故正确；EAC=NDC，ACD=BCE=60，DCE=60，ACD=MCN=60，AC=DC，AC

5、MDCN（ASA），CM=CN，故正确；又MCN=180MCANCB=1806060=60，CMN是等边三角形，NMC=ACD=60，MNAB，故正确故选D二填空题（共1小题）3解：ABC是正三角形，B=C=A=60，DEAC，EFAB，FDBC，AFE=CED=BDF=90，BFD=CDE=AEF=30，DFE=FED=EDF=60，DEF是正三角形，BD：DF=1：，BD：AB=1：3，DEFABC，=，DF：AB=1：，DEF的面积与ABC的面积之比等于1：3故答案为：1：3三解答题（共15小题）4证明：过D作DMAB，于M，DNAC于N，即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB

6、，DNAC，DM=DN（角平分线性质），DME=DNF=90，EAF+EDF=180，MED+AFD=360180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND，DE=DF5解：在ABC中，OB和OC分别平分ABC和ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=EC，DE=DO+OE，DE=BD+EC6解ABC是等腰三角形证明：连接AD，DEAB，DFAC，BED=CFD=90，且DE=DF，D是ABC的BC边上的中点，BD=DC，RtEBDRtFCD（HL），EBD=FCD，ABC是等腰

7、三角形7解：（1）ABC是等边三角形，ACB=60，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE，（2）ABC是等边三角形，BDAC，ABC=60，E=30，DBC=E，DBE是等腰三角形8解：ACB=90，A=30，AB=2BC，B=60又CDAB，DCB=30，BC=2BDAB=2BC=4BD9证明：过D点作DGAE交BC于G点，如图，1=2，4=3，AB=AC，B=2，B=1，DB=DG，而BD=CE，DG=CE，在DFG和EFC中，DFGEFC，DF=EF10证明：如图，分别延长CE，BA交于一点FBEEC，FEB=CEB=90，BE平分ABC，FBE=CBE，又BE=BE，BFEBCE

8、 （ASA）FE=CECF=2CEAB=AC，BAC=90，ABD+ADB=90，ADB=EDC，ABD+EDC=90又DEC=90，EDC+ECD=90，FCA=DBC=ABDADBAFCFC=DB，BD=2EC11：解：F=MCD，理由是：AF平分BAC，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90，在ACE和ABE中，ACEABE（ASA）AB=AC，CAE=CDEAM是BC的垂直平分线，CM=BM，CE=BE，CMA=BMA，AE=ED，CEAD，AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA，MPF=CDM，MPF=CDM（等角的补

9、角相等），DCM+CMD+CDM=180，F+MPF+PMF=180，又PMF=BMA=CMD，MCD=F12（1）证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA在ABE和CAD中，ABECADAD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=6013证明：ABC=90，ABE=CBF=90，又AB=BC，BE=BF，ABECBF（SAS）AE=CF14解：AE与BF相等且垂直，理由：在AEO与BFO中，RtOAB与RtOEF等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90BOE=BOF，AEOBFO，AE=BF延长BF交AE

10、于D，交OA于C，则ACD=BCO，由（1）知OAE=OBF，BDA=AOB=90，AEBF四边形典型题及答案1.如图，ABD，BCE，ACF均为等边三角形，请回答下列问题，其中（2），（3），（4）小题不用说明理由：（1）四边形ADEF是什么四边形？请说明理由（2）当ABC满足 条件时，四边形ADEF是菱形？（3）当ABC满足 条件时，四边形ADEF是矩形？（4）当ABC满足 条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定分析：（1）四边形ADEF平行四边形根据ABD，EBC都是等边三DAE角形容易得到全

11、等条件证明DBEABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形（2）若边形ADEF是矩形，则DAE=90，然后根据已知可以得到BAC=150（3）当BAC=60时，DAF=180，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在解答：解：（1）ABD，BCE为等边三角形DBA=EBC=60，BD=AB，BE=BC ABC+EBA=DBE+EBA=60ABC=DBE ABCDBEDE=AC 同理：EF=AB AB=AD，AC=AFEF=AD，DE=AF四边形ADEF是平行四边形 （2）四边形ADEF是菱形，AD=AFABD，ACF均为等

12、边三角形，AB=AD，AC=AFAB=AC时，四边形ADEF是矩形（3）四边形ADEF是矩形，FAD=90BAC=360DAFDABFAC=360906060=150BAC=150时，四边形ADEF是矩形（4）当BAC=60时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在故答案为：（2）AB=AC （3）BAC=150 （4）BAC=602.如图，在ABC中，D为BC边的中点，BDF=C，BFD=DEC（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；（2）如果要使四边形AFDE成为菱形，试写出ABC需添加的条件（写出一个）；（3）如果要使四边形AFDE成为矩形，试写出ABC需添加的条件（写出一个）（4）

13、请选择（2）、（3）中的一个结论进行证明解答：（1）解：四边形AFDE是平行四边形理由是：BDF=C，DFAC，在BDF和DCE中，BDFDCE（AAS），B=EDC，DEAB，四边形AFDE是平行四边形（2）解：AB=AC，理由是：四边形AFDE是平行四边形，DF=AE，DE=AF，BDFDCE，DF=CE，DE=BF，AE=EC，AF=FB，AB=AC，AE=AF，即平行四边形AFDE是菱形（3）解A=90，理由是四边形AFDE是平行四边形，A=90，平行四边形AFDE是矩形（4）选择（2）证明AB=AC，理由是：四边形AFDE是平行四边形，DF=AE，DE=AF，BDFDCE，DF=CE

14、，DE=BF，AE=EC，AF=FB，AB=AC，AE=AF，即平行四边形AFDE是菱形3.（济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形解答：解：（1）如图所示：（2）如图所示：点评：本题主要考查了对于矩形的理解以及对于图象的认识能力读懂题意是本题的关键4.（贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A

15、1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长解答：（1）证明：点A1，D1分别是AB、AD的中点，A1D1是ABD的中位线A1D1BD，A1D1=BD，同理：B1C1BD，B1C1=BDA1D1B1C1，A1D1=B1C1=BD四边形A1B1C1D1是平行四边形ACBD，ACA1B1，BDA1D1，A1B1A1D1即B1A1D1=90四边

16、形A1B1C1D1是矩形；（2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；（3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为；（4）解：方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3矩形A5B5C5D5矩形A1B1C1D1可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则，解得矩形A5B5C5D5的周长=方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1

17、的周长）2即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：142矩形A5B5C5D5的周长=5.（2011福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O（1）如图1，连接AF、CE求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab0），

18、已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式解答：解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，CAD=ACB，AEF=CFE，EF垂直平分AC，垂足为O，OA=OC，AOECOF，OE=OF，四边形AFCE为平行四边形，又EFAC，四边形AFCE为菱形，设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8x）cm，在RtABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8x）2=x2，解得x=5，AF=5cm（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成

19、平行四边形因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，PC=5t，QA=124t，5t=124t，解得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上分三种情况：i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12b，得a+b=12；ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12b=a，得a+b=12；iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，

20、AP=CQ，即12a=b，得a+b=12综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab0）6.（2008潍坊）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图求EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长解答：解：（1）过点G作GHAD，则四边形ABGH为矩形，GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知BFGEFG，EG=BG=10，FEG=B=90；EH=6，AE=4，AEF+HEG=90，AEF+AFE=90，HEG=AFE，又EHG=A=90，

21、EAFGHE，EF=5，SEFG=EFEG=510=25（2）由图形的折叠可知四边形ABGF四边形HEGF，BG=EG，AB=EH，BGF=EGF，EFBG，BGF=EFG，EGF=EFG，EF=EG，BG=EF，四边形BGEF为平行四边形，又EF=EG，平行四边形BGEF为菱形；连接BE，BE，FG互相垂直平分，在RtEFH中，EF=BG=10，EH=AB=8，由勾股定理可得FH=AF=6，AE=AF+EF=16，BE=8，BO=4，OG=2，四边形BGEF是菱形，FG=2OG=4，答：折痕GF的长是4点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称变化，对应边和对应角相等

22、7.（2011北京）在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求BDG的度数解答：（1）证明：如图1，AF平分BAD，BAF=DAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=F，CEF=FCE=CF（2）解：连接GC、BG，四边形ABCD为平行四边形，ABC=90，四边形ABCD为矩形，AF平分BAD，DAF=BAF=45，DCB=90，DFAB，DFA=45，ECF=

23、90ECF为等腰直角三角形，G为EF中点，EG=CG=FG，CGEF，ABE为等腰直角三角形，AB=DC，BE=DC，CEF=GCF=45，BEG=DCG=135在BEG与DCG中，BEGDCG，BG=DG，CGEF，DGC+DGA=90，又DGC=BGA，BGE+DGE=90，DGB为等腰直角三角形，BDG=45，（3）解：延长AB、FG交于H，连接HDADGF，ABDF，四边形AHFD为平行四边形ABC=120，AF平分BADDAF=30，ADC=120，DFA=30DAF为等腰三角形AD=DF，CE=CF，平行四边形AHFD为菱形ADH，DHF为全等的等边三角形DH=DF，BHD=GFD=60FG=CE，CE=CF，CF=BH，BH=GF 在BHD与GFD中，BHDGFD，BDH=GDFBDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60