精准辅导北师版八年级数学下册 第一章 11等腰三角形学案及同步练习.docx

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精准辅导北师版八年级数学下册第一章11等腰三角形学案及同步练习

1.1等腰三角形

（一）

一、问题引入：

1.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤

2.列举我们已知道的公理：

.

（1）公理：

同位角，两直线平行.

（2）公理：

两直线，同位角.

（3）公理：

的两个三角形全等.

（4）公理：

的两个三角形全等.

（5）公理：

的两个三角形全等.

（6）公理：

全等三角形的对应边，对应角.

注：

等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.

二、基础训练：

1.利用已有的公理和定理证明：

“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”

2.议一议：

（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

（2）你能利用已有的公理及定理证明这些结论吗？

三、例题展示：

在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC，

试猜想EF与AD之间有什么关系?

并证明你的猜想.

四、课堂检测：

1.如图，已知：

AB∥CD，AB=CD，

若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个

条件，下列条件中，哪一个不能使

△ABE≌△CDF的是（）

A.∠A=∠B;B.BF=CE;C.AE∥DF;D.AE=DF.

2.如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.

3.

（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.

（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.

4.△ABC中，AB=AC,且BD=BC=AD，求∠A的度数.

5.如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:

BD=CE

中考真题：

已知：

如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE,DG⊥CE,G是垂足，求证：

（1）G是CE中点.

（2）∠B=2∠BCE.

1.1等腰三角形

（二）

一、问题引入：

1.在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？

你能证明你的结论吗？

2、等腰三角形的两底的角平分线相等吗？

怎样证明.

已知：

求证：

证明：

得出定理：

.

问题：

等腰三角形两条腰上的中线相等吗？

高呢？

还有其他的结论吗？

请你证明它们，并与同伴交流.

二、基础训练；

1.请同学们阅读P6的问题

（1）.

（2），由此得到什么结论？

2.我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？

并与同伴交流，由此得到什么结论？

得出定理：

；简称：

.

3.请同学们阅读课本“想一想”，这一结论成立吗？

你能证明吗？

若不会证明，请看课本小明是怎样证明的，这种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？

若不同应称为什么方法？

三、例题展示：

如图，△ABC中，D.E分别是AC.AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件

∠EBO=∠DCO；

∠BEO=∠CDO；

BE=CD;

OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.

四、课堂检测：

1.已知：

如图，在△ABC中，则图中等腰直角三角形共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

第3题

第2题

第4题

第1题

2.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D.E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.

3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）

A.30B.36C.39D.42

4.在△ABC中，AB=AC,∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形.

5.如图：

下午14：

00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：

00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.

6.中考真题：

同一底上的两底边相等的梯形是等腰梯形吗？

如果是，请给出证明；如果不是，请给出反例.

1.1等腰三角形（三）

一、问题引入：

1.已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.

2.有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？

试着证明你的结论.

得出定理：

有一个角是的三角形是等边三角形.

二、基础训练：

做一做：

用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由.根据操作，思考：

在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？

并试着证明.

得出定理：

在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.

三、例题展示：

1.等腰三角形的底边为150，腰长为2a，求腰上的高.

2.判断：

（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）

（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）

3.证明三个角都相等的三角形是等边三角形.

四、课堂检测

1.等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.

2.在Rt△ABC中，∠ACB=900,∠A=300,CD⊥AB,BD=1,则AB=.

3.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:

EC=.

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A=.

5.在Rt△ABC中，∠C=300,AD⊥BC,你能看出BD与BC的大小关系吗？

中考真题：

已知：

如图，△ABC中，BD⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.

1.1等腰三角形同步练习

一、选择题

1．如图1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）

A．30°B．40°C．45°D．36°

2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如图1－23所示，则图中的等腰三角形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图1－24所示，在□ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）

A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm

4．下面几种三角形：

①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；

③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．

其中是等边三角形的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题

5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设.

6．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么α的度数为．

三、解答题

7．如图1－25所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：

（1）△ABC≌△ADC；

（2）BO＝DO．

8．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，如图1－26所示，写出已知、求证，她们对各自所作的辅助线描述如下：

文文：

过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．

彬彬：

作△ABC的角平分线AD．

数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：

“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要改正．”

（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；

（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．

9．四边形ABCD是正方形．

（1）如图1－27

（1）所示，点G是BC边上任意一点（不与B，C两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证△ABF≌△DAE；

（2）在

（1）中，线段EF与AF，BF的等量关系是；（不需证明，直接写出结论即可）

（3）如图1－27

（2）所示，若点G是CD边上任意一点（不与C，D两点重合），作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，那么图中的全等三角形是，线段EF与AF，BF的等量关系是．（不需证明，直接写出结论即可）

10．如图1－28所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD＝BE，求证△ABC是等腰三角形．

11．如图1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．

1.1等腰三角形同步练习参考答案

1．D[提示：

本题综合考查三角形内角和定理、外角的性质及等腰三角形的性质．由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由AB＝AC，得∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即　　　　　∠A＝36°．]

2．D[提示：

△ABD，△ACD，△AOD，△BOC都是等腰三角形．]

3．A[提示：

由DE平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2（cm）．]

4．B［提示：

利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为等腰三角形．]

5．三角形中没有大于或等于60°的角（或三角形的所有内角都小于60°）

6．108°[提示：

画出图形，利用三角形内角和求解．]

7．证明：

（1）在△ABC和△ADC中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC．

（2）由

（1）知AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD．

8．解：

（1）过点A作BC的垂线，不一定过BC的中点，如果连接点A和BC中点D，则AD与BC不一定垂直．

（2）证明：

作△ABC的角平分线AD，则∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC．

9．

（1）证明：

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°．在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．在△ABF与△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（AAS）．

（2）EF＝AF－BF（3）△ABF≌△DAEEF＝BF－AF

10．证明：

∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝　　　90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠1．又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D（等边对等角）．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC（等角对等边），∴△ABC是等腰三角形．

11．证明：

FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠F+∠ECF＝90°．又∵CD⊥AB于点D，∴∠A+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，∴△ABC≌△FCE，∴AB＝FC．