八年级数学上册 专题突破讲练 中考中的统计问题试题 新版青岛版.docx
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八年级数学上册专题突破讲练中考中的统计问题试题新版青岛版
中考中的统计问题
一、描述数据特征的统计量
从两方面描述：
①数据的集中趋势；②数据的波动大小。
二、用样本估计总体的思想
1.用样本的平均数估计总体的平均数；
2.用样本的方差估计总体的方差。
三、平均数和方差的算法
1.平均数：
（算术）平均数=总和÷个数
2.方差：
原数据变化引起的平均数和方差的变化规律：
平均数
方差
原数据
s2
原数据＋a（原数据－a）
＋a，（
－a）
s2
原数据×n
n
n2s2
例题1如果数据x1，x2，…，xn的平均数是
方差是S2，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数是方差是
解析：
根据所给的数据的平均数和方程写出表示它们的公式，把要求方差的这组数据先求出平均数，再用方差的公式表示出来，首先合并同类项，再提公因式，同原来的方差的表示式进行比较，得到结果。
答案：
∵数据x1，x2，…，xn的平均数是
，方差是S2，
，
，
∴2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差是
答案：
，4s2。
点拨：
本题考查平均数的变化特点和方差的变化特点，是一个统计问题，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的公式。
例题2我们约定：
如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”。
为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，分别测量出他们的身高（单位：
cm）收集并整理如下统计表：
男生序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
身高
163
171
173
159
161
174
164
166
169
164
根据以上表格信息，解答如下问题：
（1）计算这组数据的三个统计量：
平均数、中位数和众数；
（2）请你选择一个统计量作为选定标准，找出这10名中具有“普通身高”的是哪几位男生？
并说明理由；
（3）若该年级共有280名男生，按
（2）中选定标准，请你估算出该年级男生中“普通身高”的人数约有多少名？
解析：
（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行计算，即可求出答案；
（2）根据选平均数作为标准，得出身高x满足166.4×（1－2%）≤x≤166.4×（1+2%）为“普通身高”，从而得出⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”；
根据选中位数作为标准，得出身高x满足165×（1－2%）≤x≤165×（1+2%），为“普通身高”，从而得出①、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”；
根据选众数作为标准，得出身高x满足164×（1－2%）≤x≤164×（1+2%）为“普通身高”，此时得出①、⑤、⑦、⑧、⑩几位男生具有“普通身高”。
（3）分三种情况讨论，
（1）以平均数作为标准
（2）以中位数作为标准（3）以众数数作为标准；分别用总人数乘以所占的百分比，即可得出普通身高的人数。
答案：
（1）平均数为：
10名同学身高从小到大排列如下：
159，161，163，164，164，166，169，171，173，174。
众数为：
164（cm）；
（2）选平均数作为标准：
身高x满足：
166.4×（1－2%）≤x≤166.4×（1+2%），
即163.072≤x≤169.728时为“普通身高”，
此时⑦、⑧、⑨、⑩几位男生具有“普通身高”，
（3）以平均数作为标准，估计全年级男生中“普通身高”的人数约为：
。
点拨：
此题考查了中位数、众数、平均数，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力。
注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数。
例题3某校为了迎接中考，老师安排了五次数学模拟考试，对李明、王亮两位同学的成绩进行统计后，绘制成图①、图②的统计图。
（1）在图②中画出表示王亮这5次数学成绩的变化情况的折线统计图；
（2）填写表格：
平均成绩（分）
中位数（分）
极差（分）
方差（分2）
李明
90
92
16
36.8
王亮
90
88
19
46
（3）请你根据上述统计情况，从“平均成绩、折线走势、方差”三方面进行分析，估计谁在中考中会取得较好的成绩？
解析：
（1）根据条形图就可以得到甲，乙的成绩，注意观察次数所对应的点的纵坐标，就是成绩；
（2）根据这两组数就可以求出每组的中位数、极差；
（3）根据平均数的大小确定成绩的好坏，根据方差确定成绩哪个稳定。
答案：
解：
（1）利用条形图即可得出王亮的5次成绩，进而画出折线图即可，如图所示：
（2）李明的成绩按大小排列为：
82，84，92，94，98，
王亮的成绩按大小排列为：
99，96，88，87，80，
故李明的成绩中位数为：
92，王亮的成绩中位数为：
88，
李明的成绩的极差为：
98－82=16，王亮的成绩的极差为：
99－80=19，
平均成绩（分）
中位数（分）
极差（分）
方差（分2）
李 明
92
16
王 亮
88
19
（3）从平均成绩看，两人都是90分；从折线走势看，李明成绩呈上升趋势，王亮成绩呈下降趋势；从方差来看，李明比王亮稳定。
综合分析结果，李明在本次中考中会取得较高的成绩。
点拨：
本题主要考查了平均数、中位数、极差的概念，方差是描述一组数据波动大小的量，利用条形图得出两人成绩进而进行分析是解题关键。
平均数是表示数据集中程度的量之一，它随着数据的变化而变化；而方差是表示数据波动大小的量之一，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变。
当每个数都乘以n，则方差是原来的n的平方倍。
例题观察与探究：
（1）观察下列各组数据并填空：
A.1，2，3，4，5
，
；
B.11，12，13，14，15
，
；
C.10，20，30，40，50
，
；
（2）分别比较A与B，C的计算结果，你能发现什么规律？
解析：
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了10，所以平均数加10，方差不变；每个数都乘以10，所以平均数乘以10，方差乘以102。
答案：
（1）
，
；
（2）规律：
有两组数据，设其平均数分别为
方差分别为
；
①当第二组数每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时，则有
；
②当第二组数每个数据是第一组每个数据的n倍时，则有
。
点拨：
当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变。
当每个数都乘以n，则方差是原来的n的平方倍。
（答题时间：
45分钟）
一、选择题
1.株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有（）
A.100人
B.500人
C.6000人
D.5000人
2.某种品牌的水果糖的售价为15元/千克，该品牌的酥糖的售价为18元/千克．现将两种糖均匀混合，为了估算这种糖的售价，称了十份糖，每份糖1千克，其中水果糖的质量如下（单位：
千克）0.58；0.52；0.59；0.49；0.60；0.55；0.56；0.49；0.52；0.54。
你认为这种糖比较合理的定价为（ ）元/千克。
A.16.6
B.16.4
C.16.5
D.16.3
*3.为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100个节约用水模范户，8月份节约用水的情况如表：
每户节水量（单位：
吨）
1
1.2
1.5
节水户数
52
30
18
那么，8月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01t）（ ）
A．1.05t
B．1.20t
C．1.15t
D．1t
*4.安安班上有九位同学，他们的体重资料如下：
57，54，47，42，49，48，45，47，50．（单位：
公斤）
关于此数据的中位数与众数的叙述，下列何者正确？
（ ）
A.中位数为49
B.中位数为47
C.众数为57
D.众数为47
**5.小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示，则下列说法正确的是（）
A.小兵的平均成绩好，但没有小明稳定
B.小明的平均成绩好，但没有小兵稳定
C.两人的平均成绩一样好，小明的方差大
D.两人的平均成绩一样好，小兵的方差大
**6.已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
7.某居民小区为了了解本小区100户居民家庭平均月使用塑料袋的数量情况，随机调査了10户居民家庭月使用塑料袋的数量，结果如下（単位：
只）
65708574867874928294
根据统计情况，估计该小区这100户家庭平均使用塑料袋为_______只。
*8.有一组数据：
2，3，5，5，x，它们的平均数是10，则这组数据的众数是________。
*9.为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩作了统计：
平均成绩为9.3环：
方差分别为S2甲=1.22，S2乙=1.68，S2丙=0.44，则应该选________参加全运会。
**10.某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如表，则这20户家庭这个月的平均用水量是____吨。
用水量（吨）
4
5
6
8
户数
3
8
4
5
三、解答题
11.某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下：
候选人
百分制
教学技能考核成绩
专业知识考核成绩
甲
85
92
乙
91
85
丙
80
90
（1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人____将被录取。
（2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权。
计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取。
*12.七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答问题。
进球数
10
9
8
7
6
5
一班（人数）
1
1
1
4
0
3
二班（人数）
0
1
2
5
0
2
（1）分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数；
（2）如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？
如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？
**13.经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销。
为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验。
现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：
kg）：
A：
B：
（1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：
（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好？
**14.甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示。
（1）请你根据图中的数据填写下表：
姓名
平均数（环）
众数（环）
方差
甲
乙
2.8
（2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些。
1.C解析：
首先计算出样本中视力不良的学生所占的百分比，再用30000名初三学生×视力不良的学生所占的百分比即可得到答案。
100÷500=20%，30000×20%=6000，故选C。
2.B解析：
首先求出十份糖中水果糖的平均质量，然后即可求出十份糖其中酥糖的平均质量，再利用各自的价格即可计算出这种糖比较合理的定价。
十份糖中水果糖的平均质量为
那么十份糖中酥糖的平均质量为1－0.544=0.456千克，
∴这种糖比较合理的定价为0.456×18+0.544×15=16.368≈16.4元/千克。
3.B解析：
求出所有数据的和，然后除以数据的总个数。
100户平均节约用水的吨数=（52×1+30×1.2+18×1.5）÷100=1.15t。
故选C。
4.D解析：
先将所有的数据值依序排列后才能取中位数。
将9笔资料值由小到大依序排列如下：
42，45，47，47，48，49，50，54，57，∴中位数取第5笔资料值，即中位数=48，∵47公斤的次数最多（2次）∴众数=47，故选D。
5.C解析：
先从图片中读出小明和小兵的测试数据，分别求出方差后比较大小。
也可从图看出来小明的成绩都在8到10之间相对小兵的波动更小。
∴S12＜S22。
∴两人的平均成绩一样好，小兵的方差大，故选C。
6.D解析：
根据方差的意义分析，数据都加3，方差不变，原数据都乘2，则方差是原来的4倍。
设样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为m，则其方差为
，
则样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数为2m，其方差为S22=4S12=4。
故选D。
7.80解：
。
8.5解：
由题意得，（2+3+5+5+x）÷5=10，
解得：
x=35，
这组数据中5出现的次数最多，则这组数据的众数为5。
9.丙解：
∵S2甲=1.22，S2乙=1.68，S2丙=0.44，
∴S2丙最小，
∴则应该选丙参加全运会。
10.5.8解：
根据题意得：
这20户家庭这个月的平均用水量是（4×3+5×8+6×4+8×5）÷20=5.8（吨）。
11.解：
（1）甲的平均数是：
（85+92）÷2=88.5（分），
乙的平均数是：
（91+85））÷2=88（分），
丙的平均数是：
（80+90）÷2=85（分），
∵甲的平均成绩最高，
∴候选人甲将被录取．
故答案为：
甲。
（2）根据题意得：
甲的平均成绩为：
（85×6+92×4）÷10=87.8（分），
乙的平均成绩为：
（91×6+85×4）÷10=88.6（分），
丙的平均成绩为：
（80×6+90×4）÷10=84（分），
因为乙的平均分数最高，
所以乙将被录取。
12.解：
（1）一班进球平均数：
（10×1+9×1+8×1+7×4+6×0+5×3）÷10=7（个），
二班进球平均数：
（10×0+9×1+8×2+7×5+6×0+5×2）÷10=7（个），
一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7（个）；
二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7（个）；
一班中位数：
第五第六名同学进7个球，故中位数为7（个）；
二班中位数：
第五第六名同学进7个球，故中位数为7（个）。
（2）一班的方差
S12=[（10－7）2+（9－7）2+（8－7）2+4×（7－7）2+0×（6－7）2+3×（5－7）2]÷10=2.6，
一班的方差
S22=[0×（10－7）2+（9－7）2+2×（8－7）2+5×（7－7）2+（6－7）2+2×（5－7）2]÷10=1.5，
二班选手水平发挥更稳定，争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班；
一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班。
13.解：
（1）
（2）从优等品数量的角度看，因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；
从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg，所以A技术较好；
从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定；
∴从市场销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg，因而更适合推广A种技术。
14.解：
（1）甲的平均数=（6+7+8+7+7）÷5=7
方差=[（6－7）2+（7－7）2+（8－7）2+（7－7）2+（7－7）2]÷5=0.4，
甲的众数是7；
乙的平均数=（3+6+6+7+8）÷5=6
乙的众数是6；如图，
姓名
平均数（环）
众数（环）
方差
甲
7
7
0.4
乙
6
6
2.8
（2）从甲、乙两人射靶成绩的平均数来看：
甲的成绩优于乙的，并且甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较为稳定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些。
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