《振动力学》习题集含答案docx.docx
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《振动力学》习题集（含答案）
质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如
图所示。
求系统的固有频率。
l
xm1
m
图
解：
系统的动能为：
T
1mxl2
1Ix2
2
2
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
l
m1
2l
m1
2
1
2
I
l
dxx
l
xdx
m1l
0
0
3
则有：
T
1ml2x2
1m1l2x2
13mm1l2x2
2
6
6
系统的势能为：
Umgl1
cosxm1g
l
1cosx
2
1mglx2
1m1glx2
1
2mm1glx2
2
4
4
利用x
nx和T
U可得：
n
32m
m1
g
23m
m1
l
质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有
两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图所示。
求系统的固有频率。
kAk
a
C
R
图
解：
如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T
1IB
2
1
mR2
1mR223mR22
2
2
2
4
U21k
Ra
2
kRa22
2
利用
n
和T
U
可得：
4kR
a
2
Ra
4k
n3mR2R3m
转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图所示。
求系
统的固有频率。
J
k1k2
图
解：
系统的动能为：
T1J2
2
k2和k3相当于串联，则有：
k3
23,k22k33
以上两式联立可得：
2
k3
3
k2
k3
k3
k2
k2
系统的势能为：
U
1k1
21k222
1k332
1
k1k2k3
k2k32
2
2
2
2
k2
k3
利用
n和T
U可得：
n
k2k3k1
k2
k3
Jk2
k3
在图所示的系统中，已知kii1,2,3,m,a和b，横杆质量不计。
求固有频率。
x1
k1
k2
F1
b
mg
a
ab
b
k3
m
图
ax0b
x2
x
mg
a
F2
a
mg
b
答案图
解：
对m进行受力分析可得：
mgk3x3
mg
，即x3
k3
如图可得：
x1
F1
mgb
x2
F2
mga
k1
k2
abk2
abk1
ax2
x1
a2k1
b2k2
x0x1
xx1
ab
ab2k1k2
mg
xx0
x3
a2k1
b2k2
1
mg
1
mg
ab2k1k2
k3
k0
则等效弹簧刚度为：
2
k1k2k3
ke
ab
2k1k3b2k2k3
2
a
abk1k2
则固有频率为：
ke
k1k2k3ab2
n
mk1k2ab2
k3k1a2
k2b2
m
质量m1在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图所示。
确定
系统由此产生的自由振动。
m
x12
1
m2
h
x
2
k
x0
x
图答案图
解：
对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：
m1gh1m1v12，即v12gh
2
对整个系统由动量守恒可得：
m1v1
m1
m2v0，即v0
m1
2gh
m2
m1
令m2引起的静变形为x2，则有：
m2gsin
m2gsin
kx2，即x2
k
令m1+m2引起的静变形为
x12，同理有：
m1
m2gsin
x12
k
得：
x0
x12
m1gsin
x2
k
则系统的自由振动可表示为：
xx0cosntx0sinnt
n
其中系统的固有频率为：
n
k
m1m2
注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：
xx0cosntv0sinnt
n
质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图所示。
以杆偏角
为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。
若在弹簧原长处立即释手，
问杆的最大振幅是多少发生在何时最大角速度是多少发生在何时是否在过静平衡位置时
a
O
k
c
kacl
图答案图
解：
利用动量矩定理得：
I
kaacll，
I
1ml2
3
ml2
3cl2
3ka2
0，
n
3ka2
ml2
3cl
2
2
n，
3c
1
1
c
2a
mk
ml2
2m
l
3
n
mgl
k0aa，
0
mgl
2
2ka2
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。
作用于
薄板的阻尼力为Fd2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。
若测得薄板无阻尼自由振动的
周期为T0，在粘性流体中自由振动的周期为Td。
求系数。
图
解：
平面在液体中上下振动时：
mx2Sxkx0
n
k
2
，
dn1
22
m
T0
Td
2S
2
n
S，
2
2S2
m
mn
k
1
2k2S2
k
2
2k
2S2
2m
Td2
T02
Td
T0
k
ST0Td
图所示系统中，已知
，
，
k1
，k2，F0和。
求系统动力学方程和稳态响应。
mc
k2
c2
mx
k2x
c2x
x1
x2
m
m
k1
k2
c1
k1
k1xx1
c1xx1
c1
m
c2
x1
图
答案图（a）
答案图（b）
解：
等价于分别为x1和x2的响应之和。
先考虑x1，此时右端固结，系统等价为图（a），受
力为图（b），故：
mxk1
k2xc1
c2xk1xc1x
mxcx
kx
k1A1sin
1
c1A11cos
1t
（1）
cc1
c2，kk1
k2
，n
k1
k2
m
（1）的解可参照释义（），为：
k1A1
sin1t
1
c1A11
cos1t
1
（2）
Yt
2
2
2
k
1s
2
2s
k
2
2s
2
1s
其中：
s
1
，1
tg1
2s
n
1
s2
c
2
k1
2
c1
2
2
12s
2
1
1
k2
c2
1
k1
k2
k1
k2
2
m
2
c1
c21
2
1s2
2
2s
1
1
2
k1
k2
k1
k2
k1k2
m
2
2
c1
2
2
1
c2
1
k1k2
故
（2）为：
k1A1sin
1t
1
c1A1
1cos
1t
1
xt
2
2
2
2
k1
k2
m
c1
c2
1
1
2
2
2
A1
k1
c1
1
sin
1t1
2
m
22
c1
2
2
k1k2
1
c2
1
1
tg12s
tg1c1k1k2
tg1
c1
c2
1
1s2
1
12m
k1
k2
12m
k1
k2
2
tg
1c1
1
k1
考虑到x2t
的影响，则叠加后的
xt
为：
2
2
2
2
Ai
ki
ci
i
1
c1
c2
i
1cii
xt
sin
it
tg
tg
2
2
2
i1
2
2
k1k2
im
ki
k1k2
c1c2
mi
i
一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。
已知，30，m=1kg，
k=49N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
k
x0
mx
mg
图T2-1答案图T2-1
解：
mgsin
1
9.8
1
mgsin
kx0，x0
2
0.1cm
k
49
n
k
49
102
70rad/s
m
1
xx0cos
nt
0.1cos70tcm
如图T2-2所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物W2从
高度为h处自由下落到W1上而无弹跳。
求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
x1
x12
x
平衡位置
x
图T2-2答案图T2-2
解：
W2h1W2v22，v22gh
2g
动量守恒：
W2v2
W1W2v12，v12
W2
2gh
g
g
W1W2
平衡位置：
故：
故：
在图所示系统中，已知
求物块运动规律。
x1
k1k2
F0sint
图
解：
W1
kx1
，x1
W1
k
W1W2
kx12
，x12
W1W2
k
x0
x12
W2
x1
k
n
k
kg
W1
W2g
W1W2
x
x0
cos
nt
x0
sin
nt
n
x0
cos
nt
v12
sin
nt
n
m，k1，k2，F0和，初始时物块静止且两弹簧均为原长。
x2k1x1k2x2x1k2x2x1
m
m
F0sint
mx2
答案图
取坐标轴x1和x2，对连接点A列平衡方程：
k1x1k2x2x1F0sint0
即：
k1k2x1k2x2F0sint
（1）
对m列运动微分方程：
mx2k2x2x1
即：
mx2k2x2k2x1
（2）
由
（1），
（2）消去x1得：
mx2
k1k2x2
F0k2sint
（3）
k1k2
k1k2
故：
2k1k2
n
由（3）得：
mk1k2
x2
t
F0k2
2sint
sinnt
2
mk1
k2n
n
在图所示系统中，已知
，
，
，
F0
和
，且t=0时，x
x0，x
v0，求系统响应。
mc
k
验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
kF0cost
m
c
图
解：
xt
e
0t
Ccos
dt
Dsin
dt
Acos
t
A
F0
1
2
，
tg1
2s
k
2
2
1
s
2
1s
2s
x0
x0
C
Acos
C
x0Acos
xt
0e
0tCcos
dt
Dsin
dt
e
0t
C
dsin
dt
DdcosdtA
sin
t
x0v0
0C
D
A
sin
v0
0C
Asin
d
D
d
d
求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。
由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支
承上，如图所示。
当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为
me
2sin
t
。
已知偏心重
W=
N，偏心距
e
=15.0
cm，支承弹簧总刚度系数
k
=
N/cm，
测得垂直方向共振振幅
Xm
1.07cm
，远离共振时垂直振幅趋近常值
X0
0.32cm。
求支
承阻尼器的阻尼比及在
300r
min
运行时机器的垂直振幅。
me2sint
1me2
1me2
2
2
图
解：
me
s2
sint，
tg
1
2s
xt
2
2
M
1
2
2
1s
s2s
s=1时共振，振幅为：
me
1
（1）
X1
1.07cm
M
2
远离共振点时，振幅为：
me
X20.32cm
（2）
M
me
由
（2）M
X2
由
（1）
me1
me1
X2
0.15
M2X1
meX22X1
2X1
300rmin，0
k
，s
M
故：
0
1
X
me
s2
3.8103m
M
1
s
22
2
2s
求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量忽略
不计。
k1
k1
k3
k2k2
k3
无质量
k4
k4
m
m
图T2-7答案图T2-7
解：
k1和k2为串联，等效刚度为：
k12
k1k2
。
（因为总变形为求和）
k1
k2
k12和k3为并联（因为
k12
的变形等于k3的变形），则：
k123
k12
k3
k1k2
k1k2
k1k3
k2k3
k1
k2
k3
k1k2
k123和k4为串联（因为总变形为求和）
，故：
ke
k123k4
k1k2k4
k1k3k4
k2k3k4
k123
k4
k1k2
k1k3
k2k3
k1k4
k2k4
故：
ke
n
m
如图T2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统
作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
x1
l1
x
x2
l2
F1
l2
mg
x
l1
k1
k2
l2
m
mg
l1
mg
l1
l2
F2
l1l2
图T2-9答案图T2-9
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
k1k2
n
m
xx1
x
F1
x2
x1l1
k1
l1
l2
l2mg
l1
l1
l2
mg
l1
l2k1
l1
l2
l1
l2k2
l1
l2k1
l1
l2mg
l1
l1
l1k1
l2k2mg
l2k1
l2
l1
l2k1k2
l2k2l1
l2
l12k1
l1l2k2mg
l1
l2
2k1k2
l12k1
l22k2mg
l1
l2
2k1k2
故：
ke
l1l2
2k1k2
l12k1
l22k2
n
ke
m
求图T2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
F1
mg
a
l
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