《振动力学》习题集含答案docx.docx

1、振动力学习题集含答案docx振动力学习题集（含答案）质量为 m的质点由长度为 l 、质量为 m1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。lx m1m图解：系统的动能为：T1 m xl 21 Ix222其中 I 为杆关于铰点的转动惯量：lm12lm1212Ildx xlx dxm1l003则有：T1 ml 2 x21 m1l 2 x21 3m m1 l 2 x2266系统的势能为：U mgl 1cosx m1gl1 cosx21 mglx21 m1glx 212m m1 glx2244利用 xn x 和 TU 可得：n3 2mm1g2 3mm1l质量为 m、半径为 R

2、的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 CA=a的 A 点系有两根弹性刚度系数为 k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。k A kaCR图解：如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：T1 I B21mR21 mR2 2 3 mR2 22224U 2 1 kR a2k R a 2 22利用n和 TU可得：4k Ra2R a4kn 3mR2 R 3m转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k1 ， k2 和 k3 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。Jk1 k2图解：系统的动能为：T1 J 22k2 和 k3 相当于串联，则有：k32 3 , k2 2 k3 3以上两式联

3、立可得：2k3,3k2k3k3k2k2系统的势能为：U1 k12 1 k2 221 k3 321k1 k2 k3k2k3 22222k2k3利用n 和 TU 可得：nk2k3 k1k2k3J k2k3在图所示的系统中，已知 ki i 1,2,3 , m, a 和 b ，横杆质量不计。求固有频率。x1k1k 2F1bmgaa bbk3m图a x0 bx2xmgaF2amgb答案图解：对 m进行受力分析可得：mg k3 x3mg，即 x3k3如图可得：x1F1mgb,x2F2mgak1k2a b k2a b k1a x2x1a2k1b2 k2x0 x1x x1a ba b 2 k1k2mgx x0

4、x3a2k1b2 k21mg1mga b 2 k1k2k3k0则等效弹簧刚度为：2k1k2k3kea b2k1k3 b2k2k32aa b k1k2则固有频率为：kek1k2k3 a b 2nm k1k2 a b 2k3 k1a2k2b2m质量 m1 在倾角为 的光滑斜面上从高 h 处滑下无反弹碰撞质量 m2 ，如图所示。确定系统由此产生的自由振动。mx121m2hx2kx0x图 答案图解：对 m1 由能量守恒可得（其中 v1 的方向为沿斜面向下） ：m1 gh 1 m1v12 ，即 v1 2 gh2对整个系统由动量守恒可得：m1v1m1m2 v0 ，即 v0m12ghm2m1令 m2 引起的

5、静变形为 x2 ，则有：m2 g sinm2 g sinkx2 ，即 x2k令 m1 + m2 引起的静变形为x12 ，同理有：m1m2 g sinx12k得：x0x12m1 g sinx2k则系统的自由振动可表示为：x x0 cos n t x0 sin ntn其中系统的固有频率为：nkm1 m2注意到 v0 与 x 方向相反，得系统的自由振动为：x x0 cos n t v0 sin ntn质量为 m、长为 l 的均质杆和弹簧 k 及阻尼器 c 构成振动系统， 如图所示。 以杆偏角为广义坐标， 建立系统的动力学方程， 给出存在自由振动的条件。 若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少发

6、生在何时最大角速度是多少发生在何时是否在过静平衡位置时aOkck a c l图 答案图解：利用动量矩定理得：Ik a a c l l ，I1 ml 23ml 23cl 23ka 20 ，n3ka2ml 23cl22n ，3c11c2amkml 22ml3nmg lk 0 a a ，0mgl22ka 2面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为 Fd 2Sv， 2S 为薄板总面积， v 为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 T0 ，在粘性流体中自由振动的周期为 Td 。求系数 。图解：平面在液体中上下振动时：mx 2 Sx kx 0nk2，

7、dn 122mT0Td2 S2nS ，22S2mm nk12 k 2 S2k22 k2 S22 mTd2T02TdT0kST0Td图所示系统中，已知，k1， k2 ， F0 和 。求系统动力学方程和稳态响应。m ck2c2mxk2 xc2 xx1x2mmk1k2c1k1k1 x x1c1 x x1c1mc2x1图答案图 (a)答案图 (b)解：等价于分别为 x1 和 x2 的响应之和。先考虑 x1 ，此时右端固结，系统等价为图（ a），受力为图（ b），故：mx k1k2 x c1c2 x k1x c1xmx cxkxk1 A1 sin1c1A1 1 cos1t（ 1）c c1c2 ， k k

8、1k2， nk1k2m（ 1）的解可参照释义（） ，为：k1 A1sin 1t1c1A1 1cos 1t1（ 2）Y t222k1 s22 sk22 s21 s其中：s1， 1tg 12 sn1s2c2k12c1221 2 s211k2c21k1k2k1k22m2c1c2121 s222 s112k1k2k1k2k1 k2m22c1221c21k1 k2故（ 2）为：k1A1 sin1t1c1 A11 cos1t1x t2222k1k2mc1c211222A1k1c11sin1t12m2 2c122k1 k21c211tg 1 2 stg 1 c 1 k1k2tg 1c1c211 s2112m

9、k1k212 mk1k22tg1 c11k1考虑到 x2 t的影响，则叠加后的x t为：2222Aikicii1c1c2i1 ci ix tsinittgtg222i 122k1 k2i mkik1 k2c1 c2m ii一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图 T 2-1 所示。已知， 30 ，m= 1 kg，k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。kx0m xmg图 T 2-1 答案图 T 2-1解：mgsin19.81mg sinkx0 ， x020.1cmk49nk4910 270 rad/sm1x x0 cosnt0.1cos70t cm如图 T

10、2-2 所示，重物 W1 悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置， 另一重物 W2 从高度为 h 处自由下落到 W1 上而无弹跳。求 W2 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。x 1x 12x平衡位置x图 T 2-2 答案图 T 2-2解：W2h 1 W2 v22 ， v2 2gh2 g动量守恒：W2 v2W1 W2 v12 ， v12W22ghggW1 W2平衡位置：故：故：在图所示系统中，已知求物块运动规律。x1k1 k2F0 sin t图解：W1kx1， x1W1kW1 W2kx12， x12W1 W2kx0x12W2x1knkkgW1W2 gW1 W2xx0cosntx0sin

11、ntnx0cosntv12sinn tnm， k1 ， k2 ， F0 和 ，初始时物块静止且两弹簧均为原长。x2 k1x1 k2 x2 x1 k2 x2 x1mmF0 sin tmx2答案图取坐标轴 x1 和 x2 ，对连接点 A 列平衡方程：k1x1 k2 x2 x1 F0 sin t 0即：k1 k2 x1 k2 x2 F0 sin t（ 1）对 m列运动微分方程：mx2 k2 x2 x1即：mx2 k2 x2 k2x1（ 2）由（ 1），（ 2）消去 x1 得：mx2k1k2 x2F0 k2 sin t（ 3）k1 k2k1 k2故：2k1k2n由（ 3）得：m k1 k2x2tF0k

12、22 sin tsin nt2m k1k2nn在图所示系统中，已知，F0和，且 t =0 时， xx0 ， xv0 ，求系统响应。m ck验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。k F0 cos tmc图解：x te0tC cosd tD sind tAcostAF012，tg 12 sk221s21 s2 sx 0x0CA cosCx0 Acosx t0e0 t C cosd tD sind te0tCd sindtD d cos d t Asintx 0 v00CDAsinv00CA sindDdd求出 C， D后，代入上面第一个方程即可得。由一对带偏心质量的等速反向旋转齿

13、轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承 上 ， 如 图 所示 。 当 齿轮 转 动 角 速 度为 时 ， 偏 心质 量 惯 性 力 在 垂 直 方向 大 小 为me2 sint。已知偏心重W =N，偏心距e= 15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=N/ cm，测得垂直方向共振振幅X m1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X00.32cm 。求支承阻尼器的阻尼比及在300 rmin运行时机器的垂直振幅。me 2 sin t1 me 21 me 222图解：mes2sin t，tg12 sx t22M1221 ss2 ss=1 时共振，振幅为：me1（ 1）X11.07cmM2远离共振点时

14、，振幅为：meX 2 0.32cm （ 2）Mme由（ 2） MX 2由（ 1）me 1me1X 20.15M 2X1me X 2 2 X12 X1300 r min ， 0k， sM故：01Xmes23.8 10 3 mM1s2 222 s求图 T 2-7 中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 k1 及 k3 ，悬臂梁的质量忽略不计。k1k1k 3k2 k2k3无质量k4k 4mm图 T 2-7 答案图 T 2-7解：k1 和 k2 为串联，等效刚度为：k12k1k2。（因为总变形为求和）k1k2k12 和 k3 为并联（因为k12的变形等于 k3 的变形），则：k123k12k3k1k

15、2k1k2k1k3k2 k3k1k2k3k1 k2k123 和 k4 为串联（因为总变形为求和），故：kek123k4k1k2k4k1k3k4k2 k3 k4k123k4k1k2k1 k3k2 k3k1k4k2 k4故：kenm如图 T 2-9 所示，一质量 m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。x1l 1xx2l 2F1l2mgxl1k 1k2l 2mmgl1mgl 1l 2F2l1 l 2图 T 2-9 答案图 T 2-9解：（1）保持水平位置：（2）微幅转动：k1 k2nmx x1xF1x2x1 l1k1l1l2l2mgl1l1l 2mgl1l2 k1l1l 2l1l2 k2l1l2 k1l1l2mgl1l1l1k1l2k2 mgl2 k1l 2l1l2 k1k2l2k2 l1l2l12k1l1l2 k2 mgl1l22 k1k2l12k1l 22k2 mgl1l22 k1k2故：kel1 l 22 k1k2l12 k1l22 k2nkem求图 T 2-10 所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。F1mgal