数轴标根法及习题.docx
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数轴标根法及习题
数轴穿根法
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：
省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”
二、方法步骤
第一步：
通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：
一定要保证x前的系数为正数）
例如：
将x^3-2x^2-x+2>0化为（x-2）（x-1）（x+1）>0
第二步：
将不等号换成等号解出所有根。
例如：
（x-2）（x-1）（x+1）=0的根为：
x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：
在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：
-112
第四步：
画穿根线：
以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：
观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：
若求（x-2）（x-1）（x+1）>0的根。
在数轴上标根得：
-112
画穿根线：
由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：
-12。
（如下图所示）
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如（x^2）或（x^4）时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：
（X-1）^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1）^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
（如图三，为（X-1）^2）
四、注意事项
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：
1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。
解x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或03}。
事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：
解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x|－12．出现重根时，机械地“穿针引线”
例2 解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0
解将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得，
原不等式的解集为{x|x<－1或1（如图二）
这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。
出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：
解将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集
{x|－13．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”
例3 解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0
解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解原不等式等价于
x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，
∵x^2+x+1>0对一切x恒成立，
∴x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或02}
数轴标根法-练习题
1.不等式x2﹣6x+8≤0的解集为 _________ .
2.
的解集为________________
3.
的解集为_________________
4.
的解集为__________________
5.
的解集为___________________
6.
的解集为______________
7.
的解集为__________________
8.
的解集为________________
9.
的解集为___________________
10.
的解集为________________
11.
的解集为_______________
12.
的解集为___________________
13.
的解集为________________
14．（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为 _________ ．
15．（2012•湖南）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为 _________ ．
16．（2008•北京）不等式
的解集是 _________ ．
17．（2011•巢湖模拟）不等式
的解集为 _________ ．
18．（2008•杨浦区二模）不等式
的解为 _________ ．
19．（2008•卢湾区二模）不等式
的解集为 _________ ．
20．不等式﹣x2+5x﹣6＞0的解集为 _________ ．
21．不等式2x2﹣3x﹣2＜0的解集为 _________ ．
22．不等式﹣x2﹣4x+5＞0的解集是 _________ ．
10．函数
的定义域是 _________ ．
11．不等式
的解集为 _________ ．
12．不等式
的解集是 _________ ．
13．已知函数f（x）=
的定义域是一切实数，则m的取值范围是 _________ ．
14．不等式
的解集为 _________ ．
15．若不等式
的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1或x＞2}，则a= _________ ．
16．解不等式2x2﹣5x＜3．
17．已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，求A∩B．
18．解不等式：
．
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