高中数学圆锥曲线大题解法综合集锦docx.docx

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高中数学圆锥曲线大题综合集锦

题型一：

数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

题型二：

弦的垂直平分线问题

题型三：

动弦过定点的问题

题型四：

过已知曲线上定点的弦的问题

题型五：

向量问题

题型六：

面积问题

题型七：

弦或弦长为定值、最值问题

问题八：

直线问题

问题九：

对称问题

问题十、存在性问题：

（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：

三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：

数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）

题型二：

弦的垂直平分线问题

例题1、过点T（-1,0）作直线与曲线N：

交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E（,0），使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。

解：

依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得

由直线和抛物线交于两点，得

即

由韦达定理，得：

。

则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：

令y=0,得，则

为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足式此时。

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：

求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：

弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。

例题分析1：

已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

解：

设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．

题型三：

动弦过定点的问题

例题2、已知椭圆C：

的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1（-2,0）,A2（2,0）。

（）求椭圆的方程；

（）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？

并证明你的结论

解：

（）由已知椭圆C的离心率，,则得。

从而椭圆的方程为

（）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

，直线MN的方程为：

，

令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：

又，椭圆的焦点为，即

故当时，MN过椭圆的焦点。

题型四：

过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A、B、C是椭圆E：

上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。

（）求点C的坐标及椭圆E的方程；（）若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。

解：

（），且BC过椭圆的中心O

又点C的坐标为。

A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：

将点C代入方程，得，椭圆E的方程为

（）直线PC与直线QC关于直线对称，

设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：

，即，由消y，整理得：

是方程的一个根，

即同理可得：

＝＝

＝

则直线PQ的斜率为定值。

题型五：

共线向量问题

1：

如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.

解：

（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|

又∴动点N的轨迹是以点

C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为

焦距2c=2.∴曲线E的方程为

（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为

得设

，

又当直线GH斜率不存在，方程为

2：

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，，求证：

.

解：

设椭圆C的方程为（＞＞）抛物线方程化为，其焦点为，

则椭圆C的一个顶点为，即由，∴，椭圆C的方程为

（2）证明：

右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入方程并整理，得∴，又，，，，

而，，即，

∴，，所以

3、已知△OFQ的面积S=2,且。

设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，，当取得最小值时，求此双曲线方程。

解：

设双曲线方程为，Q（x0,y0）。

，S△OFQ=，∴。

=c（x0－c）=。

当且仅当，

所以。

类型1——求待定字母的值

例1设双曲线C：

与直线L：

x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值

思路：

设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。

解：

设A（x1,y1），B（x2,y2），P（0,1）

∵PA=∴x1=.

联立消去y并整理得，（1－a2）x2+2a2x－2a2=0（*）

∵A、B是不同的两点，∴

∴0

即，消去x2得，=，

∴a=，∵0

类型2——求动点的轨迹

例2如图2，动直线与y轴交于点A，与抛物交于不同的两点B和C,且满足BP=λPC，AB=λAC，其中。

求ΔPOA的重心Q的轨迹。

思路：

将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。

解：

由得，k2x2+（2k－1）x+4=0.

由

设P（x’,y’），B（x1，y1），C（x2,y2），（图2）

则x1+x2=,x1.x2=.

由=

=

由=。

消去k得，x’－2y’－6=0（*）

设重心Q（x,y），则，代入（*）式得，3x－6y－4=0。

因为

故点Q的轨迹方程是3x－6y－4=0（），其轨迹是直线3x－6y－4=0上且不包括点的线段AB。

类型3——证明定值问题

例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。

设M为椭圆上任意一点，且，其中证明：

为定值。

思路：

设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。

解：

设椭圆方程为则直线AB的方程为

代入椭圆方程中，化简得，

设A（x1,y1），B（x2,y2），则

由与共线，得，

。

又

而于是。

因此椭圆方程为

设M（x,y）,由得，，

因M为椭圆上一点，所以

即①

又，

则

而

代入①得，=1，为定值。

类型4——探索点、线的存在性

例4在△ABC中，已知B（－2,0）,C（2,0）,AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD设P（－1,0）,Q（1,0）,那么是否存在点H，使成等差数列，为什么？

思路：

先将AC⊥BH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。

解：

设H（x,y）,由分点坐标公式知

∵H为垂心∴AC⊥BH，∴，

整理得，动点H的轨迹方程为。

，，。

假设成等差数列，则

即①

∵H在椭圆上a=2,b=,c=1，P、Q是焦点，

∴，即∴②

由①得，③

联立②、③可得，，

∴显然满足H点的轨迹方程，

故存在点H（0，±），使成等差数列。

类型5——求相关量的取值范围

例5给定抛物线C：

，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且，求l在轴上截距的变化范围。

思路：

设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。

解：

设A（x1,y1），B（x2,y2），由得，，即

由②得，

③。

联立①、③得，。

而当直线l垂直于轴时，不符合题意。

因此直线l的方程为或

直线l在轴上的截距为或由知，在上递减的，所以

于是直线l在轴上截距的变化范围是

存在、向量例6、双曲线，若上存在一点。

解：

方程为，

即。

由，消去y得

，

定值问题例7：

是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：

（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；

（2）直线经过一定点。

分析：

（1）设，则

又由

（2）

直线的方程为

，故直线过定点。

题型六：

面积问题

例题1、已知椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

解：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。

（Ⅱ）设，。

（1）当轴时，。

（2）当与轴不垂直时，

设直线的方程为。

由已知，得。

把代入椭圆方程，整理得，

，。

。

当且仅当，即时等号成立。

当时，，

综上所述。

当最大时，面积取最大值。

2、已知椭圆C:

=1（a＞b＞0）的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

解：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．

（Ⅱ）设，．

（1）当轴时，．

（2）当与轴不垂直时，

设直线的方程为．由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．

当最大时，面积取最大值．

3、已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（Ⅰ）设点的坐标为，证明：

；

（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．

解：

（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，

所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则

，；

因为与相交于点，且的斜率为，所以，．

四边形的面积．

当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．

题型七：

弦或弦长为定值、最值问题

1、已知△的面积为，

（1）设，求正切值的取值范围；

（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程。

解析：

（1）设

（2）设所求的双曲线方程为

∴，∴

又∵，∴

当且仅当时，最小，此时的坐标是或

，所求方程为

2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB面积的最大值.

解：

（Ⅰ）由题可得，，设则，，∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.

（Ⅱ）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：

.由得，设，则，同理可得，则，.所以：

AB的斜率为定值.

（Ⅲ）设AB的直线方程：

.由，得，

由，得P到AB的距离为，

则。

当且仅当取等号∴三角形PAB面积的最大值为。

3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

解：

（I）圆