1饮酒驾车.docx
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1饮酒驾车
《饮酒驾车》模型
一、问题的提出与背景介绍
据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1.对大李碰到的情况做出解释；
2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
（1）酒是在很短时间内喝的；
（2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4.根据你的模型论证：
如果天天喝酒，是否还能开车？
5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
相关模型（药物在体内的分布与排除）
药物进入体内后，在随血液输送到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排除体外。
药物在血液中的浓度，即单位体积血液（毫升）中药物含量（毫克与微克），称血液浓度，随时间和空间而变化。
血液浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的效果，浓度太高可能引起药物中毒、副作用太强或药物浪费。
因此，研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程，及这些过程与药理反应间的定量关系，对于新药研制、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展都具有重要的指导意义和实用价值。
这个学科分支称药物动力学。
建立房室模型是药物动力学研究上述动态过程的基本步骤之一。
所谓房室是指机体的一部分，近似认为药物在同一个房室内呈均匀分布，即药物在同一个房室的浓度是相同的，且在不同房室间按照一定的规律进行药物转移。
一个机体到底分成几个房室，要看不同药物的吸收、分布、排除过程的具体情况，以及研究对象所要求的精度。
下面介绍一个常用的药物分布房室模型一二室模型，即将人的机体分成二个房室：
血液丰富的中心室（包括心脏、肺、肾等器官）、血液相对贫乏的周边室（主要指肌肉组织）。
药物的动态过程在每个房室内是一致的，转移只在两个房室见或某个房室与体外之间进行。
为了使问题简化，我们有必要对问题作一些假释，据此构造在数学可以处理的数学模型。
可以想到，对于二室模型我们将建立关于描述两个房室的血液变化规律的模型，我们的最终目的是希望知道两个房室的血液浓度分布。
因为我们比较容易描述的是血液在两个房室间及某个房室与体外的转移规律，反映的是单位时间血液浓度的变化（数学含义是导数），因此，我们的模型中包含变量及变量的导数），这类模型一般为常微分模型。
模型假设
1.机体分为中心室和周边室，两个室的容积（血液体积和药物容积）在整个过程中保持不变；
2药物从一室向另一室转移速率（单位时间的变化）及向体外的排除速率，与该室的血液浓度呈正比；
3.只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进入中心室，最后又从中心室排除体外。
相比较而言，药物的吸收可以忽略。
根据以上假设，可以给出二房室药物转移流程图如下：
中右*
f（t-U
Xl（t）
k12仕
M边《
<
X2（t）
k2i
其中X1（t）,X2（t）分别是两个房室的药物含量，kj分别为相应的转移速率,药速度。
模型建立根据以上假设，可以写出两个房室的药量变化关系
x'1k12X1k13X1k21X2f（t）
f（t）为给
x'2k21x2k12x1
Xi（t）与血液浓度Ci（t）及房室体积Vi间满足如下关系
Ci（t）Xi（t）/Vi,i1,2
k12k13
k21V
则
（1）等价于
k12V
k21
C'1（t）
C'2（t）
这是线性常系数非齐次方程，它对应的齐次方程的通解为
A1etBet
A^etB2et
由参数kj,k2,V1,V2等确定，且
k12k21k13,.
c'（t）
G（t）
C2（t）
其中，，A,A2,Bi,B2
Ac（t）0皿1
0
（2）
k21.k13
为了求解（3），需要知道给药速率f（t）和初始条件。
下面考察几种常见的给药方式下的方程求解。
1快速静脉注射
这种注射可简化为在t0时瞬时将剂量d的药物直接送入中心室，于是
f（t）0,C1（0）d/v1,C2（0）0
在此条件下，得到问题的解为
AetB1et,c2（t）A2（etd（k21）Bd（k21）A
（）V1,1（）V1,2
t
2恒速静脉注射
在此条件下，药物是均匀地被注射到中心室，因此
其中，A
以看出，当
）V1（
时，G（t）0,C2（t）
e）
dk12
V2（
（4）
（5）
由（3）确定。
而且还可
f（t）k,Ci（O）
在此条件下方程的解为
C2（0）
Ci（t）Ae
Biet
Ci（t）Aze
rt
B2e
ki3Vi
ki2k
k21k13V2
ki3）八DVi（ki2ki3）D
A'B2—赢—Bi
Vi（ki2
k12V2
其中，常数A,B由初始条件求出。
当t充分大时，Ci（t）,C2（t）将趋于（7）式右边的最后一项。
实际上，若在tT时停止给药，那么，Ci（t）,C2（t）在tT以后，将按指数规律衰减并趋于零。
3肌肉注射
这种给药方式相当于与药物在进入中心室之前先有一个将药物吸收进入血液的过程，简化为吸收室，可以用如下二房室模型来描述这类问题，见下
A2
IkoiXo（t）
Xo（O）d
相应的数学模型为
X'o
对应的解为
Q（t）AetBetEekoit
类似地，可以求出C2（t）的解。
其中，系数A,B,E由初始条件G（0）C2（0）0确定（koi,）。
从以上的讨论可以看出，中心室和周边室的血液浓度完全取决于转移速率系数、房室容积以及输入参数d等因素。
这些参数一般很难精确获得，通常是通过实际数据估计。
下面介绍通过
I计算，ABi
不妨设
Ci（t）
c,（t）的观测数据来确定相关数据。
，于是当t充分大时，（5）式近似为
Aie
（9）
或者
Inc,（t）InA,t
（10）
利用t充分大时的数据和最小二乘法，求出A,0
因为
B1etG（t）Aetb（t）
Inb（t）In3t
再利用较小的t时的c,（t）的数据，确定B1,o
实际上，可以利用matlab直接利用c1（t）的观测数据估计，，人，耳o
2确疋k12,k12,k21
因为t时，c,（t）,C2（t）0，进入中心室的药物全部被排除，所以
考虑初始条件得
联立上面两式
（16）
（17）这就完成了根据中心室血液浓度的测量数据，估计转移和排除速率系数的过程。
当然，我们也可以通过周边室数据来确定相关系数。
下面再介绍一个该模型的应用。
.模型假设
（1）在短时间内喝酒的时间可以忽略不计，即喝酒被看作是瞬时完成的；
（2）将机体分为两个房室（中心室I和周边室II，中心室包括心、肺、肾等器
官，周边室主要指肌肉组织），喝酒者喝的酒仅进入中心室，再通过中心室扩散至周边室（血液）；
（3）酒精从中心室向周边室扩散速率与中心室的酒精浓度成正比，比例系
数为常数k12，中心室向体外的排出速率与中心室的酒精浓度成正比，比例系数为k13，假设无论是快喝或是慢喝这些参数都是不变的；
（4）不考虑体液的变化，因为对于一个体重约70kg的人来说，体液约为体重的65〜70%,即接近45kg，而血液只占7%左右，即5kg左右，喝少量的酒引起体液的变化是相对较小的。
（5）不考虑体内吸收、呼吸排出等其他因素的影响。
下图绘出了酒精体内循环的流程图
中
ki2
f（t）
—>
Xi（t）
X2（t）
k2i
kiJ休外
符号说明
物理含义时间第i室酒精含量第i室酒精浓度人体体重
Xi（t）C（t）M
物理含义t时刻的饮酒速率快喝n瓶酒的体内酒精浓度慢喝n瓶酒酒精浓度
■符号
f（t）
Gn（t）
Fn（t）
四.模型建立
一般模型
记c1（t）
x'iki2Xi
x'2k2iX2
Xl（t）/V2,C2（t）
kl3Xik2iX2f（t）
k12xi
X2（t）/V2，A
ki2ki3k2i
ki2k2i
C'i（t）
c'（t）
C'2（t）
注意到上面所用的记号可以知道，
浓度的含义。
Ac（t）
f（t）/V2
0
Ci（t）不是中心室浓度的概念，但C2（t）是周边室
（1）
方程组（i）对应的齐次方程组解的一般形式为
Ci（t）
AetBiet
C2（t）
其中,,Al,A2,Bi,B2
A2etB2et
由参数kij,k2,vi,V2等确定，且
ki2k2iki3,.k2i.ki3
对于快速饮酒
f（t）
其中，A严
利用Matlab软件得到
C2（t）
汁Bi
0,C1（0）d/v2，c2（0）0，方程组
（1）的解为
et）,c1（t）A1etB1et
A2（et
d（k2i）
7
）V2，A2
dk12
V2（
C2（t）
X2（t）
「/0.1855t
114.42（e
2.008t）
e）（毫克/百毫升）
V2
function[x,y,STDY]=xydata1（k_noise）
x=[0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516];y0=[3068758282776868585150413835282518151210774];rand（'seed',234）
y_noise=k_noise*（rand（size（x））-0.1）;
y=y0+y_noise;
STDY=std（y_noise）;
functionE=expst（a,x,y）x=x（:
）;y=y（:
）;Y=a
（1）*（exp（-a
（2）*x）-exp（-a（3）*x））;E=sum（（y-Y）A2）;
k_noise=0.1;
[x,y,STDY]=xydata1（k_noise）;
a0=[10011];
options=optimset（'fminsearch'）;
options.TolX=0.01;
options.Display='off';
a=fminsearch（@expst,a0,options,x,y）;chi_est=expst（a,x,y）/STDYA2;freedom=length（x）-length（a0）;
Q=1-chi2cdf（chi_est,freedom）;y_est=a
（1）*（exp（-a
（2）*x）-exp（-a（3）*x））;
ych='y_e_s_t=';
a1=num2str（a
（1））;a2=num2str（a
（2））;a3=num2str（a（3））;char_y_est=[ych,a1,'*exp（-',a2,'*x）-exp（-',a3,'*x））'];
plot（x,y,'b+',x,y_est,'r'）;
text（0.4,12,char_y_est）,text（2.5,9,['chi2-,num2str（chi_est）]）text（2.5,7,['freedom=',num2str（freedom）]）
text（2.5,5,['Q=',num2str（Q）]）
90
80
-t-
60
50
40
30
k12A2V2（）/d0.0835
114.41*50*（2.01-0.1852）/125000ans=
0.0835
（取d=125g=125000mg，g5kg50百毫升）由（3）得
k21
2.01+0.1852-0.0835ans=
2.1117
k13
2.112k130.371
由（7）、（8）可得
k211.9183,k130.1934。
ff='[xA2-2.112*x+0.371]：
fzero（ff,0.5）
ans=
0.1934
0.371/0.1934
t
4,4.5,5,6,7,
8,
9
10
11
实测值
51,50,41,38,35,
28,
25,
18
15
计算值
54.449.645.337.6
31.2
25.9
21.6
17.914.9
t
1213
14
15
161718
实测值
12107
7
4
计算值
12.410.3
8.5
7.1
5.94.94.1
ans=
1.9183
由此得到A111.2,B12489的值。
（（0.1934-0.1852）*125000/（2.01-0.1852））/50
ans=
11.2341
C2（t）计算值与实测值比较
t=0.25:
0.25:
1;
y=114.41*（exp（-0.1852*t）-exp（-2.01*t））
y=
39.974462.360174.181279.6857
t=1.5:
0.5:
5;
y=114.41*（exp（-0.1852*t）-exp（-2.01*t））
t=6:
18;
y=114.41*（exp（-0.1852*t）-exp（-2.01*t））
］；
t=[0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516];y=[3068758282776868585150413835282518151210774x=114.41*（exp（-0.1852*t）-exp（-2.01*t））;
plot（t,y,'ro',t,x）
90
80
70
60
50
40
30
20
10
2
4
6
8
10
12
14
16
利用（6）
式，对于
Gn（t）
M的人,
70kg得到喝n瓶酒的体内酒精浓度分布为
L-70.1852t2.01t
57.21ne57.21ne
得到喝n瓶酒的体内酒精分布为
对于体重为
GMn（t）
利用（9），可以求出体内酒精浓度最大的时刻为
）1.3
CO/I-7IV/I/0.1852t2.01tX
0.817Mn（ee）
（9）
tln（/）/（
t=log（2.01/0.1852）/（2.01-0.1852）
t=
1.3067
P丄A
A2a?
B1
A2
111.222489
114.41114.41114.41
由（4）可以看出，因为X1（t）,X2（t）是
（1）
P与喝入体内的酒精量d无关。
的解
所以
P1也与喝入体内的酒精量d无关。
方程
（1）的基解矩阵为
（t）eAt=Pe
tP1
（10）
p=[11.2,2489;114.41,-114.41];
b=[-0.1852,0;0,-2.01];
A=p*b*inv（p）
A=
-2.00180.1778
0.0835-0.1934
B6=[exp（-6*0.1852）,0;0,exp（-6*2.01）];
E6=p*B6*inv（p）
E6=
0.00150.0321
0.01510.3277c6=E6*[125000/2,0]'/50c6=
1.8504
6时大李体
18.8280
上面的结果表明，如果表中数据能够反应大李的体重等其他特征，那么下午
内的酒精浓度约为18.3毫克/百毫升，没有达到喝酒驾车的标准。
B7=[exp（-7*0.1852）,0;0,exp（-7*2.01）];
E7=p*B7*inv（p）
E7=
0.00120.0267
0.01250.2723
B8=[exp（-8*0.1852）,0;0,exp（-8*2.01）];
E8=p*B8*inv（p）
E8=
0.00100.0221
0.01040.2263
喝第一瓶酒后7小时或8小时c7=E7*[1250,0]'c7=
1.5325
15.6451c8=E8*[1250,0]'c8=
1.2728
13.0001
6时喝第二瓶酒至凌晨2时c=E8*[1251.85,18.83]'
c=
1.6917
17.2798
血液浓度为17.3毫克/白毫升。
7时喝第二瓶酒至凌晨2时
C=E7*[1251.83,15.65]'c=
1.9519
19.9293
血液浓度为19.9毫克/百毫升。
8时喝第二瓶酒至凌晨2时
c=E6*[1251.3,13]'c=
2.2693
23.1075
血液浓度为23.1毫克/白毫升。
更一般的，假如第二瓶酒是t0时刻喝下的，则
当tt0时，有
（tt0）[（t0）（d,0）T（d,0）T]/v2
C（t）
（
（t）（tt0））（d/v2,0）T
令
C（t）关于t0是单调递减的，因此只要大大李的第二瓶酒是7时后喝的，尽管距凌晨2
时可能还有6个多小时甚至有7个小时，他体内的酒精还是超标的。
对于慢喝（0tT,c,（0）C2（0）0,f（t）d/v2T），
ans=
1.0e+003*
1.23830.0606[114.41/2.01,114.41/0.1852]ans=
56.9204617.7646
利用（12）可以计算出
c（T）
Ci（T）
C2（T）
c
（2）
617.3
67.7
（1299-61*exp（-0.1852*2）-1238*exp（-2.01*2））/2ans=
617.3281
（561-618*exp（-0.1852*2）+57*exp（-2.01*2））/2ans=
67.6601
cc4=
4.6614
45.6061
如果大李是在两小时内喝完2瓶啤酒的，
对于快喝，根据（5），可以知道，血液内酒精浓度与所喝的酒的瓶数成正比，当时，如果体重为70kg，则
血液内酒精浓度为
ans=
11.6132
对于慢喝，如果T2,如果喝3瓶
G（t）
1.5（tT）c（T）
C2（t）
可以预料，大李违反标准的时间一定是酒后，展开上式得
（t2）（617.3A267.7A1）
C2（t）1.5V2e（t2）（617.3A267.7B1）1.5V2e
dd
经计算得
t12.64（小时）
c2='[143.5*exp（-0.1852*x）-42.8*exp（-2.01*x）-20]：
fzero（c2,24）ans=
10.64043*50*（617.3*114.41+67.7*2489）/250000ans=
143.47843*50*（617.3*114.41+11.2*67.7）/250000ans=
42.8301
C'2（t）
1畤
e（t2）（617.3A267.7B1）1.5—e
d
（t2）（617.3A267.7A1）0
得到
2.64（小时）
t=2+log（（2.01*（617.3*114.41+67.6*11.2）/（0.1852*（617.3*114.41+67.7*2489））
））/（2.01-0.1852）t=
2.6442
下面考虑能否每天都可以喝酒。
6时饮酒n瓶，每瓶酒的酒精含量d，则到第m天
如果是快喝，假设每天都在固定的下午早晨6时，有
c（12（2m1））
（24j））c（0）
（12）c（0）
1e24（m1）
p1e24
e24⑺门Pt（0）
1e24
（12）c（0）
limc（12（2m1））P
m
1
rv4
12e
1
rv4
12e
P1c（0）
当n=1,c
1251
6.9。
6.9
p=[11.2,2489;114.41,-114.41];
b1=[1/（1-exp（-24*0.1852））,0;0,1心-exp（-24*2.01））];b2=[exp（-0.1852T2）,0;0,exp（-2.01*12）];
E=p*（b1+b2）*inv（p）;
c=E*[1250,0]'
c=
1.0e+003*
1.2507
0.0069
1251
c26.9k，如果6.9k6.9
上述结果表明，只要每天晚上饮啤酒不超过
当n=k,
20,即k
2.9。
3瓶，第二天还是可以驾车的。
我们的结论是每个人都可以天天晚上喝酒，但不能喝的太多，否则第二天就有饮酒驾车的可能。
对于慢喝的情况，可作类似地分析，也能得到相似的结论。
对于第（5）问，一般要求写一篇300—500字的短文，主要介绍自己模型的结果，根据
结果向公众提一些建议。
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