一次函数的图象与找规律压轴题.docx

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一次函数的图象与找规律压轴题

一次函数的图象与找规律

一．选择题（共3小题）

1．如图所示，已知在△ABC中，A（0，0），B（，0），C（0，1），在△ABC内依次作等边三角形，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，使B1、B2、B3、…在x轴上，A1、A2、A3、…在BC边上，则第n个等边三角形的边长等于（　　）

A．B．C．D．

2．如图，已知直线l：

y=2x，分别过x轴上的点A1（1，0）、A2（2，0）、…、An（n，0），作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、Bn，将△OA1B1，四边形A1A2B2B1、…、四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积依次记为S1、S2、…、Sn，则Sn=（　　）

A．n2B．2n+1C．2nD．2n﹣1

3．如图，直线y=x+1分别与x轴、y轴相交于点A、B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点A1，再过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以点A为圆心，AB1长为半径画弧交x轴于点A2，…，按此做法进行下去，则点A8的坐标是（　　）

A．（15，0）B．（16，0）C．（8，0）D．（8﹣1，0）

二．填空题（共7小题）

4．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2007的坐标为　　．

5．如图，直线l：

y=﹣x，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为　　．

6．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是　　．

7．如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列，那么点Bn的坐标为　　．

8．如图，直线l：

y=x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为（　　，　　）；点An的坐标为（　　，　　）．

9．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为　　．

10．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是　　．

一次函数的图象与找规律

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．如图所示，已知在△ABC中，A（0，0），B（，0），C（0，1），在△ABC内依次作等边三角形，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，使B1、B2、B3、…在x轴上，A1、A2、A3、…在BC边上，则第n个等边三角形的边长等于（　　）

A．B．C．D．

【解答】解：

∵OB=，OC=1，

∴BC=2，

∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．

∵△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，

∴∠COA1=30°，

∴∠CA1O=90°．

在Rt△CAA1中，AA1=OC=，

同理得：

B1A2=A1B1=，

依此类推，第n个等边三角形的边长等于，

故选A．

2．如图，已知直线l：

y=2x，分别过x轴上的点A1（1，0）、A2（2，0）、…、An（n，0），作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、Bn，将△OA1B1，四边形A1A2B2B1、…、四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积依次记为S1、S2、…、Sn，则Sn=（　　）

A．n2B．2n+1C．2nD．2n﹣1

【解答】解：

观察，得出规律：

S1=OA1•A1B1=1，S2=OA2•A2B2﹣OA1•A1B1=3，S3=OA3•A3B3﹣OA2•A2B2=5，S4=OA4•A4B4﹣OA3•A3B3=7，…，∴Sn=2n﹣1．故选D．

3．如图，直线y=x+1分别与x轴、y轴相交于点A、B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点A1，再过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以点A为圆心，AB1长为半径画弧交x轴于点A2，…，按此做法进行下去，则点A8的坐标是（　　）

A．（15，0）B．（16，0）C．（8，0）D．（8﹣1，0）

【解答】解：

当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣1；

可得A（﹣1，0），B（0，1），AA1=AB===；

AA2=AB1==2；AA3=AB2==2；

A1（﹣1，0），A2（2﹣1，0），A3（2﹣1，0）；

即A1（﹣1，0），A2（﹣1，0），A3（﹣1，0）；

可得，A8=﹣1=16﹣1=15．故选A．

二．填空题（共7小题）

4．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2007的坐标为　（﹣21003，﹣21004）　．

解：

观察，发现规律：

A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，

∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．∵2007=1003×2+1，

∴A2007的坐标为（（﹣2）1003，2（﹣2）1003），即A2007（﹣21003，﹣21004）．

故答案为：

（﹣21003，﹣21004）．

5．如图，直线l：

y=﹣x，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为　（﹣，0）　．

【解答】解：

∵点A1坐标为（﹣3，0），

∴OA1=3，∵在y=﹣x中，当x=﹣3时，y=4，即B1点的坐标为（﹣3，4），

∴由勾股定理可得OB1==5，即OA2=5=3×，同理可得，

OB2=，即OA3==5×（）1，OB3=，即OA4==5×（）2，

以此类推，OAn=5×（）n﹣2=，即点An坐标为（﹣，0），

当n=2016时，点A2016坐标为（﹣，0）．故答案为：

（﹣，0）

6．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是　（，）　．

【解答】解：

过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：

A（1，0），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CB1=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：

，则B1的纵坐标为：

，∴点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，

∴B1（，），等边三角形边长为1可得出：

A的横坐标为：

1，

∴y=，∴A2（2，），…An（1+，）．

∴A2015（，）．

7．如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列，那么点Bn的坐标为　（3×2n﹣2，×2n﹣2）　．

【解答】解：

∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2=60°，

∵∠B1OA2=30°，∴∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，

同理可求得OAn=2n﹣1，∵∠BnOAn+1=30°，∠BnAnAn+1=60°，

∴∠BnOAn+1=∠OBnAn=30°∴BnAn=OAn=2n﹣1，

即△AnBnAn+1的边长为2n﹣1，则可求得其高为×2n﹣1=×2n﹣2，

∴点Bn的横坐标为×2n﹣1+2n﹣1=×2n﹣1=3×2n﹣2，

∴点Bn的坐标为（3×2n﹣2，×2n﹣2）．

故答案为（3×2n﹣2，×2n﹣2）．

8．如图，直线l：

y=x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为（　0　，　8　）；点An的坐标为（　0　，　2n﹣1　）．

【解答】解：

直线y=x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，可知B1点的坐标为（，1），

以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2，OA2=OB1=2OA1=2，点A2的坐标为（0，2），

这种方法可求得B2的坐标为（2，2），

故点A3的坐标为（0，4），点A4的坐标为（0，8），

此类推便可求出点An的坐标为（0，2n﹣1）．

故答案为：

0，8，0，2n﹣1．

9．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为　（21008，21009）　．

【解答】解：

观察，发现规律：

A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，

∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．

∵2017=1008×2+1，

∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．

故答案为：

（21008，21009）．

10．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是　（2n﹣1，2n﹣1）　．

【解答】解：

∵点B1（1，1），B2（3，2），∴A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），

∴直线y=kx+b（k＞0）为y=x+1，

∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标

又An的横坐标数列为An=2n﹣1﹣1，所以纵坐标为2n﹣1，

∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]=（2n﹣1，2n﹣1）．