所以sin∈，所以|3m－2n|2∈（1,7）．
故|3m－2n|的取值范围是（1，）．
第一步：
进行三角变换，求出某个角的值或者范围；
第二步：
脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数
问题；
第三步：
得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；
第四步：
反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
跟踪训练2 已知a＝（2cosx＋2sinx,1），b＝（y，cosx），且a∥b.
（1）将y表示成x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）记f（x）的最大值为M，a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f＝M，且a＝2，求bc的最大值．
解
（1）由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1
＝2sin＋1，
所以f（x）＝2sin＋1，
又T＝＝＝π.
所以函数f（x）的最小正周期为π.
（2）由
（1）易得M＝3，于是由f＝M＝3，
得2sin＋1＝3⇒sin＝1，
因为A为三角形的内角，故A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≤4.
于是当且仅当b＝c＝2时，bc取得最大值4.
模板3 空间平行或垂直关系的证明
例3 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为
PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.
（1）求证：
EF∥平面PAD；
（2）求证：
平面PAB⊥平面PCD.
审题破题
（1）根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．
（2）先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．
证明
（1）连接AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，
∴在△CPA中，EF∥PA，
又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.
又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD＝90°，即PA⊥PD.
又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD，
又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
第一步：
将题目条件和图形结合起来；
第二步：
根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；
第三步：
和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；
第四步：
严格按照定理条件书写解题步骤.
跟踪训练3 （2013·山东）如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
（1）求证：
CE∥平面PAD；
（2）求证：
平面EFG⊥平面EMN.
证明
（1）方法一 取PA的中点H，连接EH，DH.
又E为PB的中点，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二 连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.
（2）因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
模板4 数列通项公式的求解问题
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
审题破题
（1）可令n＝1，n＝2得关系式联立求a1；
（2）由已知可得n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减．
解
（1）当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①
当n＝2时，2（a1＋a2）＝a3－8＋1＝a3－7，②
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2（a2＋5），③
由①②③解得a1＝1.
（2）∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减得an＋1－3an＝2n，
则－·＝1，即＋2＝.
又＋2＝3，知是首项为3，公比为的等比数列，
∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，
∴an＝3n－2n.
第一步：
令n＝1，n＝2得出a1，a2，a3的两个方程，和已知a1，a2，a3的关系
联立求a1；
第二步：
令n≥2得关系式后利用作差得an＋1，an的关系；
第三步：
构造等比数列，并求出通项；
第四步：
求出数列{an}的通项．
跟踪训练4 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an＋（－1）n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
（2）求证：
数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．
（1）解 在Sn＝2an＋（－1）n，n≥1中分别令n＝1,2,3，得
，解得
（2）证明 由Sn＝2an＋（－1）n，n≥1得：
Sn－1＝2an－1＋（－1）n－1，n≥2.
两式相减得an＝2an－1－2（－1）n，n≥2.
an＝2an－1－（－1）n－（－1）n
＝2an－1＋（－1）n－1－（－1）n，
∴an＋（－1）n＝2（n≥2）．
故数列是以a1－＝为首项，公比为2的等比数列．
所以an＋（－1）n＝×2n－1，
∴an＝×2n－1－×（－1）n.
模板5 数列求和问题
例5 （2012·江西）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn（其中k∈N＋），且Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，并求an；
（2）求数列的前n项和Tn.
审题破题
（1）由Sn的最大值，可据二次函数性质求k，因而确定an；
（2）利用错位相减法求和．
解
（1）当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n（n≥2）．
又a1＝S1＝，所以an＝－n.
（2）因为bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
第一步：
利用条件求数列{bn}的通项公式；
第二步：
写出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表达式；
第三步：
分析表达式的结构特征、确定求和方法.（例如：
公式法、裂项法，
本题用错位相减法）；
第四步：
明确规范表述结论；
第五步：
反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易
忽视对n＝1，n≥2时的讨论.
跟踪训练5 已知点是函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）的图象上的一点．等比数列{an}的
前n项和为f（n）－c.数列{bn}（bn>0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？
解
（1）∵f
（1）＝a＝，∴f（x）＝x.
由题意知，a1＝f
（1）－c＝－c，
a2＝[f
（2）－c]－[f
（1）－c]＝－，
a3＝[f（3）－c]－[f
（2）－c]＝－.
又数列{an}是等比数列，
∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.
又公比q＝＝，∴an＝－·n－1
＝－2·n（n∈N*）．
∵Sn－Sn－1＝（－）（＋）
＝＋（n≥2）．
又bn>0，>0，∴－＝1.
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