空间几何体三视图.docx

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空间几何体三视图

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[知识能否忆起]

一、多面体的结构特征

多面体

结构特征

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

二、旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

任一边所在的直线

圆锥

直角三角形

一条直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：

一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

四、平行投影与直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

五、三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

[小题能否全取]

1．（教材习题改编）以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（　　）

A．球的三视图总是三个全等的圆

B．正方体的三视图总是三个全等的正方形

C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

解析：

选A　B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．

2．（2012·杭州模拟）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（　　）

A．圆柱　　　　　　　　　B．圆锥

C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

解析：

选C　当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

3．下列三种叙述，其中正确的有（　　）

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个B．1个

C．2个D．3个

解析：

选A　①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．

4．（教材习题改编）利用斜二测画法得到的：

①正方形的直观图一定是菱形；

②菱形的直观图一定是菱形；

③三角形的直观图一定是三角形．

以上结论正确的是________．

解析：

①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．

答案：

③

5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．

解析：

由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.

答案：

③

1.正棱柱与正棱锥

（1）底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：

①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．

（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：

①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．

2．对三视图的认识及三视图画法

（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

（3）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．

3．对斜二测画法的认识及直观图的画法

（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”

（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．

空间几何体的结构特征

典题导入

[例1]　（2012·哈师大附中月考）下列结论正确的是（　　）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

[自主解答]　A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；

图1

图2

C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．

[答案]　D

由题悟法

解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．

以题试法

1．（2012·天津质检）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：

选B　

如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补（若为正四棱锥则成立）．故仅命题B为假命题．

几何体的三视图

典题导入

[例2]　（2012·湖南高考）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）

[自主解答]　根据几何体的三视图知识求解．

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.

[答案]　C

由题悟法

三视图的长度特征

三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．

[注意]　画三视图时，要注意虚、实线的区别．

以题试法

2．

（1）（2012·莆田模拟）如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的（　　）

解析：

选D　由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.

（2）（2012·济南模拟）

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．4

C.D．2

解析：

选D　依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，的矩形，故其面积是2.

几何体的直观图

典题导入

[例3]　已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

[自主解答]　

建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．

把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，

则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．

已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，

由正弦定理得

＝，

所以OC′＝a＝a，

所以原三角形ABC的高OC＝a.

所以S△ABC＝×a×a＝a2.

由题悟法

用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．

“三变”

“三不变”

以题试法

3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）

A．2＋　　　　　　　　　　B.

C.D．1＋

解析：

选A　恢复后的原图形为一直角梯形

S＝（1＋＋1）×2＝2＋.

1．（2012·青岛摸底）如图，在下列四个几何体中，其三视图（正视图、侧视图、俯视图）中有且仅有两个相同的是（　　）

A．②③④　　　　　　　　B．①②③

C．①③④D．①②④

解析：

选A　①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．

2．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A　命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形（非正方形），底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．

3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（　　）

解析：

选C　C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.

4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（　　）

解析：

选B　由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．

5.

如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

解析：

选B　由斜二测画法知B正确．

6．（2012·东北三校一模）一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为（　　）

A．2＋B．1＋

C．2＋2D．4＋

解析：

选D　依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋×2×＝4＋.

7．（2012·昆明一中二模）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．（填入所有可能的图形前的编号）

①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．

解析：

如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图（四边形ABCD）是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.

答案：

①②③

8．（2013·安徽名校模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：

结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为×2×2sin60°×2－××2×2sin60°×1＝.

答案：

9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图（主视图）和侧视图（左视图）是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

解析：

由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝，而PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正视图的周长为2＋2.

答案：

2＋2

10．已知：

图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

解：

图1几何体的三视图为：

图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．

11．（2012·银川调研）正四棱锥的高为，侧棱长为，求棱锥的斜高（棱锥侧面三角形的高）．

解：

如图所示，正四棱锥S－ABCD中，

高OS＝，

侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，

在Rt△SOA中，

OA＝＝2，∴AC＝4.

∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.

作OE⊥AB于E，则E为AB中点．

连接SE，则SE即为斜高，

在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，

∴SE＝，即棱锥的斜高为.

12．（2012·四平模拟）已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

（1）画出该三棱锥的直观图；

（2）求出侧视图的面积．

解：

（1）三棱锥的直观图如图所示．

（2）根据三视图间的关系可得BC＝2，

∴侧视图中

VA＝

＝＝2，

∴S△VBC＝×2×2＝6.