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物质分配论文

题目：

队员：

1.

2.

3.

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物质分配

摘要

关键词

一、问题重述

某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。

物资共有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。

（1）你作为一名物资分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。

（2）试给出一个符合题意的数值算例。

二、问题分析

自然灾害的发生,往往会造成重大的人员伤亡和财产损失，但是重大自然灾害发生初期又往往面临应急救灾物资不足,灾区真实需求信息难以掌握等状况,所以对每一名受灾者均无法考虑其受灾程度、受灾损失以及个人经济等因素时,利用聚类的思想,对受灾者按照某一种或者几种属性值进行综合分析,分成几个不同的受灾群组.比如对受灾者按年龄阶段划分为儿童、青年、壮年、老人等群组,再根据分类的结果进行不同受灾群组的优先级（用急需程度表示）排序,上例群组划分中的优先级应为:

儿童>老人>青年>壮年.对不同群组受灾者赋予不同的物资需求量,但同一群组受灾者的需求量应相同;然后按照群组优先级从高到低的顺序完成对该物资的分配,当分配到某一群组,而该群组的物资需求总量小于剩余物资量时,应考虑将部分剩余救灾物资先平均分给该群组的每一名受灾者.当剩余的救灾物资总数小于该群组受灾者人数时,应对剩余的救灾物资按照该群组中的个人灾情程度中的某一属性值排序,然后按照由高到低的排序顺序将物资分配到该群组部分受灾者手中以完成该种救灾物资的分配,接下来进行下一种救灾物资分配,直到将所有的物资分配完毕.

三、问题假设

（1）假设灾区有N名受灾者,且每一名受灾者均需要救灾物资;

（2）假设灾区的每名受灾者之间相互独立,不考虑其家庭因素等;

（3）假设灾区受灾者所经历的受灾灾种相同;

（4）假设救灾物资全部分发完，没有剩余；

四、符号说明

N:

灾区受灾者总人数;

K:

按急需程度对受灾者进行分类得到的群组数目;

M:

运送到灾区的救灾物资总类数;

Bj:

运往灾区的第j种救灾物资的总数量;

Cj:

物资j的剩余可分配数量;

Qij:

第i名受灾者对物资j的需求量;

Gk:

毁灭性灾害模型中对受灾者分类得到的第k个群组;

Gkj:

非毁灭性灾害模型中对物资j分配时将受灾者分类得到的第k个群组;

Skj:

对物资j把受灾者分组后统计得到的第k组

Xij:

第i名受灾者对物资j的急需程度;

Fkj:

毁灭性灾害模型中群组Gk内各受灾者对物资j分配方案的约束函数,

Fij:

非毁灭性灾害模型中受灾者i对物资j分配方案的约束函数;

Eij:

第i名受灾者所分配到的第j种救灾物资的数量;

.

五、模型建立与求解

在灾难中,各受灾者对M种救灾物资均有需求,将N名受灾者按其某一种或者几种属性值进行综合分析,分成K个群组,记为G1,G2,…,GK,对群组内的各受灾者,同样按照其某一种或者几种属性值进行综合分析,利用综合属性值的优先级进行内部排序,用受灾者的序号表示顺序,序号越低则表示在群组内部对物资的急需程度越高,即:

如果受灾者i∈Gk,n∈Gk,并且,1≦i

救灾人员根据灾区实际情况合理赋予不同群组受灾者以不同的物资需求量,但同一群组受灾者的需求量应相同.设受灾者i对物资j的需求量为Qij,则灾区内的N名受灾者对现有救灾物资的需求量为已知.

统计这K个群组中受灾者的人数,分别为:

S1,S2,…,SK,应满足:

S1+S2+…+SK=N

由上述条件,建立以群组内部最公平为约束的数学模型,则灾情状况

（1）中可构造出对每个群组Gk分配物资j的救灾物资分配方法模型为:

min:

Fkj=max{max{Qij-Xij},Qhj–Xhj-1}-min{min{Qij-Xij},Qhj–Xhj-1}（i≠h）

使得：

≦Bj

Xij≦Qij

Xij≧0且为整数

k=1,2,…,K

i=1,2,…,N

h=1,2,…,N

j=1,2,…,M

将所有受灾者分组以后,下一阶段就需要进行排序操作,以确定对各群组的紧急程度及进行分配的优先次序.在受灾者的群组分类分析中,已经对原始指标数据进行了无量纲化处理,可以将各指标作为群组排序中模糊评估的评估准则,而将原始数据无量纲化所得的数据作为各评估准则的权值,并以各指标权值的高低作为评估群组优先级的依据.根据综合权值的高低对各受灾者予以排序,即可得到各群组的优先级顺序.

在模型中,进行救灾物资分配时,采取对救灾物资进行轮流分配的方式对某一种救灾物资进行集中分配,即分配完第1种救灾物资之后再进行第2种救灾物资的分配,依次循环下去,直到把所有可分配的救灾物资分配完毕为止.对物资j进行分配时,按照群组急需程度从高到底的排序顺序依次分配,当对群组Gk进行物资分配时,比群组Gk的优先级高的各个群组均已经按照赋予的需求量完成分配并且该救灾物资仍有剩余,同样记救灾物资j的剩余可分配量为Cj.

灾情状况1模型中对群组Gk发放物资j的分配方法步骤如下:

首先检验群组Gk的物资需求总量是否小于等于剩余物资量cj,即:

QkjSk≦Cj（3）

如果式（3）条件成立,则按照群组Gk中各受灾者对物资j的需求量进行分配,调整分配方案中的相关数值Xkj和救灾物资j的剩余可分配量Cj的值,然后对具有下一优先级的群组Gk+1进行该物资分配.

如果式（3）条件不成立,为了保证使得每个群组内部分配后满足约束条件,即:

Fkj=max{max{Qij-Xij},Qhj–Xhj-1}-min{min{Qij-Xij},Qhj–Xhj-1}（i≠h）

最小,计算可得:

R1=

R2=Cj-R1Sk

（4）

然后对群组Gk中的各受灾者分别分配R1个该物资,对于仍然剩余的R2个该物资,一定满足R2

再对群组Gk内部的各受灾者按照序号顺序将剩余的R2个该物资分配给急需程度最高的前R2个受灾者,这

样在分配完物资j时也确保了所得的Fkj的值为最小值,从而完成了救灾物资j的分配;然后对第j+1种救灾物资进行如上分配,直到所有的M种救灾物资全部完成分配为止.

4毁灭性灾难救灾模型数值算例的求解

对于毁灭性灾难,我们建立如下算例:

算例1:

某一灾区有10名受灾群众,现有一批救灾物资要发放给这些受灾者.物资共有5种,每种物资

数量有限,详细数据见表1所示.

表1各种救灾物资总量

物资编号

1

2

3

4

5

物资数量

31

19

33

13

18

对于该灾区的10名受灾者,按照其某一种或者几种属性

值进行分类,在此我们按照年龄段将他们分成3个群组,其中

1~18岁分为一组,记为G1,60岁以上分为一组,记为G2,18

~60岁分为一组,记为G3.

按照对救灾物资的急需程度,可知G1组的受灾者对物资的急需程度最高,将其急需程度记为A;G2组

对物资的急需程度次之,将其急需程度记为B;最后把G3组急需程度记为C.救灾人员按照已经分好的群

组对每种救灾物资赋予每个群组内的受灾者以相同的需求量,不同群组间需求量不一定相同,总的趋势

是,物资急需程度越高的群组所赋予的需求量越少.算例中的相关数据详见表2所示.

表2各受灾者对每种物资的需求量

及所属群组的急需程度表

受灾者

物资1

物资2

物资3

物资4

物资5

急需程度

a1

5

4

6

3

6

C

a2

2

1

3

2

4

A

a3

4

3

4

3

4

B

a4

5

4

6

3

6

C

a5

5

4

6

3

6

C

a6

4

3

4

3

4

B

a7

5

4

6

3

6

C

a8

5

4

6

3

6

C

a9

2

1

3

2

4

A

a10

4

3

4

3

4

B

按照上述数据,可得到:

N=10,M=5,B=（3119331318）,G1={a2,a9},G2={a3,a6,a10},G3={a1,a4,a5,a7,a8},S1j=2,s2j=3,S3j=5,

Qij=

54636

21324

43434

54363

54363

43434

54363

54363

21324

43434

下面开始对物资1进行分配:

由于C1=B1=31>0,而E3k=1

=2x2+4x3+5x5=41>31,

则首先转到对急需程度最高的群组G1内的各受灾者进行分配.

检验Q11S1=2x2=4

x21=Q21=2,x91

=Q91=2,同时调整C1=31-2x2=27>0后,转到对下一个优先群组G2内的受灾者进行剩余物资分

配.

检验Q21S1=4x3=12

x31=Q61=X101

=4,调整C1=27-4x3=15>0,转到对下一群组G3内的受灾者进行剩余物资分配.

再次检验q31s3=5x5=25>c1,此时剩余物资总量已经不能满足对群组G3中所有受灾者按其需求

量分配,由式（4）得到:

R1=

=

=3

R2=C1-R1S3=15-3x5=0

于是得到对群组G3中各受灾者每人分配3个物

资2即可,即:

x11=x41=x51=x71=x81=3,此时b1=0,f11=0,f21=0,f31=0.

同理,接下来进行物资2的分配,按照上述步骤,可得到物资2对群组G1和G2的受灾者分配结果为:

x22=x92=1,x32=x62=x102=3,此时c2=8>0,再转到对下一群组G3进行剩余物资分配.

检验q32s3=4x5=20>c2,此时剩余物资总量已经不能满足对群组G3中所有受灾者按其需求量分

配,同样由式（4）得到:

R1=

=

=1

R2=C2-R1R3=8-1x5=3

于是得到对群组G3中各受灾者每人分配1个物

资2后,将会出现5名受灾者分配剩余3个物资2的情形,此时考虑群组G3中的所有5名受灾者的灾情程

度,按某一种或者几种属性值综合灾情急需程度排序,将剩余的这3个物资2分配给排序最高的前3名受

灾者即可.（注意:

在同一群组内的受灾者,设受灾者i序号越小,其在同群组中的综合灾情急需程度越

高.）即:

在程序中,将剩余的3个物资2分配给受灾者1、4和5,结果为:

X12=X42=X52=2,X72=X82=1,得到B2=0,f12=0,f22=0,f32=1.

如此下去,分别得到对物资3、物资4及物资5的分配结果及各自分配后的效用值如下:

X23=X93=3,X33=X63=X103=4,X13=X43=X53=X73=X83=3

得到f13=0,f23=0,f33=0,则

X24=X94=2,X34=X64=X104=3,X14=X44=X54=X74=X84=0

得到f14=0,f24=0,则

X25=X95=4,X35=4,X65=X105=3,X15=X45=X55=X75=X85=0

得到f15=0;f25=1.

综上所述,可得到该算例最终的分配方案为:

X=（xij

）

10x5=

32300

21324

43434

32300

32300

43433

31300

31300

21324

43433

从上述算例可以看出,此分配方案既保证了对救灾物资急需程度较高的受灾者优先得到物资,又可以

在群组内部达到最大公平性,即分配结束后各群组内的各受灾者对物资的需求量和其所分配到的该物资

数量之差的最大值与最小值的差额最小.

对于物资1,能够满足群组G1和G2的需求,但对于继续程度较低的群组G3则不能满足所有受灾者的

需求,但剩余可分配救灾物资恰好能平均分配给该组的受灾者,使得f31=0;对于物资2,同样可以满足群

组G1和G2的需求,但对于继续程度较低的群组G3也不能满足需求并且不能对该群组受灾者将剩余救灾

物资平均分配,在约束条件的限制下,由题意得f32=1,最大程度地保证了群组内受灾者的公平;物资3的

分配情况和物资1类似,最终f33=0;相比之下,物资4和物资5的可分配量较少,均达不到所需救灾物资

的一半,按照群组优先的原则分配,只能分配给前两个继续程度相对较高的群组的受灾者,并且物资4恰

好能将剩余可分配量满足群组G2的所有受灾者需求,得到f24=0;而物资5只能满足群组G2的部分受灾

者,最终得到f25=1.

以上模型及数值算例的验证结果表明该模型可以在上述灾情状况下实现将运送到某一灾区的救灾物

资向灾区受灾者及时合理的分配,此模型是合理、可行的

六、模型的评价与改进

本文根据灾情状况建立了相应的数学模型,其通用性较强,所建立的数学模型能够简洁直观地刻画出所要研究的问题,并用所能够描述的救灾者灾情、对救灾物资的急需程度和需求量的某几个属性值作为已知条件,在模型中体现救灾物资分配的详细原则.

对于毁灭性灾难救灾模型的改进,可以将该模型中的各受灾者针对不同的救灾物资所对应的灾情属性因素考虑得更全面一些,对不同的属性值在灾情中的影响给予一个合适的权值,然后将某几个属性综合加权之后将受灾者分成几个更合理的群组,而不是如算例1中所描述的那样只针对受灾者的年龄阶段将受灾者分成3个群组,这样会使救灾物资的分配方案模型更加合理化.

参考文献