平行四边形测试试题及答案.docx

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平行四边形测试试题及答案

平行四边形测试试题及答案

一、解答题

1．如图1，在正方形和正方形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连接．

（1）求证：

．

简析：

由是线段的中点，，不妨延长交于点，从而构造出一对全等的三角形，即_______________．由全等三角形的性质，易证是_______三角形，进而得出结论；

（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且，探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；

（3）当时，菱形和菱形的顶点都按逆时针排列，且．若点在一条直线上，如图2，则________；若点在一条直线上，如图3，则________．

2．已知：

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．

（1）求证：

D是BC的中点；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

3．如图所示，四边形是正方形，是延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点，且直角顶点在边上滑动（点不与点重合），另一直角边与的平分线相交于点．

（1）求证:

;

（2）如图

（1），当点在边的中点位置时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想;

（3）如图

（2），当点在边（除两端点）上的任意位置时，猜想此时与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

4．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.

（发现与证明）中，，将沿翻折至，连结.

结论1：

与重叠部分的图形是等腰三角形；

结论2：

.

试证明以上结论.

（应用与探究）

在中，已知，，将沿翻折至，连结.若以、、、为顶点的四边形是正方形，求的长.（要求画出图形）

5．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：

四边形BFEP为菱形；

（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．

①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；

②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．

6．直线是同一平面内的一组平行线．

（1）如图1．正方形的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点，点分别在直线和上，求正方形的面积；

（2）如图2，正方形的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为．

①求证：

；

②设正方形的面积为，求证．

7．如图，菱形纸片的边长为翻折使点两点重合在对角线上一点分别是折痕．设．

（1）证明：

；

（2）当时，六边形周长的值是否会发生改变，请说明理由；

（3）当时，六边形的面积可能等于吗?

如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由．

8．如图1，点为正方形的边上一点，，且，连接，过点作垂直于的延长线于点．

（1）求的度数；

（2）如图2，连接交于，交于，试证明：

．

9．如图，在矩形中，，，点在的延长线上，点在上，且有．

（1）如图1，当时，若，求证：

；

（2）如图2，当时，

①请直接写出与的数量关系：

_________；

②当点是中点时，求证：

；

③在②的条件下，请直接写出的值．

10．如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．

（1）求的长（用含的代数式表示）；

（2）当四边形是平行四边形时，求的值；

（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？

请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．

（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；

（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；＝；（3）2，.

【分析】

（1）延长交于点，由是线段的中点，，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；

（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；

（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由

（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．

【详解】

（1）如图，延长交于点，

∵是线段的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点在同一条直线上，

∴，DP=FP，CD=BC，FG=BG，

在△DPM和△FPG中，，

∴△DPM≌△FPG，

∴DM=FG，KP=GP，

∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，

∴△CMG是等腰直角三角形，

∴PG⊥PC，PG=PC．

故答案为：

ΔDPM，ΔFPG；等腰直角

（2）猜想：

线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；＝．

如图，延长GP交DC于点H，

∵P是线段DF的中点，

∴FP＝DP，

∵四边形ABCD和四边形是菱形，

∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，

∵点在一条直线上，

∴DC∥GF，

∴∠GFP＝∠HDP，

在△GFP和△HDP中，，

∴△GFP≌△HDP，

∴GP＝HP，GF＝HD，

∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，

∴△CHG是等腰三角形．

∴PG⊥PC，（三线合一），∠HCP=∠GCP，

∵∠ABC＝∠BEF＝60°，

∴∠HCG=120°，

∴∠CGP=（180°-120°）=30°，

∴CG=2PC，

∴PG=，

∴＝．

（3）如图2，∵AB=6，BE=2，

∴CG=AB-BE=4，

由

（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，

∴PC=CG=2，

如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，

在△DNP和△FGP中，，

∴△DNP≌△FGP，

∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，

∵四边形ABCD和四边形是菱形，

∴CD//AB，EF//BC，

∵点A、B、G在一条直线上，

∴DC∥EF，

∴∠CDP=∠EFP，

∵∠ABC=∠BEF=60°，

∴∠EFG=∠CBG=120°，

∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，

∴∠KDN=60°，∠KND=30°，

∴KD=DN=1，NK=，

∴CK=CD+KD=7，

∴CN==，

在△CDN和△CBG中，，

∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，

∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，

∴∠CNP=（180°-∠NCG）=30°，

∴PC=CN=．

故答案为：

2，

【点睛】

本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．

2．

（1）见详解；

（2）四边形ADCF是矩形；证明见详解．

【分析】

（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；

（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．

【详解】

（1）证明：

∵E是AD的中点，

∴AE=DE．

∵AF∥BC，

∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．

在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．

∴AF=BD．

∵AF=DC，

∴BD=DC．

即：

D是BC的中点．

（2）解：

四边形ADCF是矩形；

证明：

∵AF=DC，AF∥DC，

∴四边形ADCF是平行四边形．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC即∠ADC=90°．

∴平行四边形ADCF是矩形．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．

3．

（1）详见解析；

（2），理由详见解析；（3），理由详见解析

【分析】

（1）根据，等量代换即可证明；

（2）DE=EF，连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≌△EBF即可得出答案；（3）在边上截取，连接，证出即可得出答案．

【详解】

（1）证明:

∵，

∴，

∴;

（2）理由如下:

如图，取的中点，连接，

∵四边形为正方形，

∴，

∵分别为中点

∴，

∴

又∵

∴

∴，

又∵，平分

∴．

∴

在和中

，

∴

（3）.理由如下:

如图，在边上截取，连接，

∵四边形是正方形，，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∵

∴，

∵平分，，

∴，

∴，

在和中

∴，

∴．

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．

4．【发现与证明】结论1：

见解析，结论2：

见解析；【应用与探究】AC的长为或2.

【分析】

【发现与证明】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，证出∠CB′D=∠B′DA=（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；

【应用与探究】：

分两种情况：

①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．

【详解】

【发现与证明】:

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC,AD∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∵△ABC≌△AB′C，

∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，

∴∠EAC=∠ACB′，

∴AE=CE，

即△ACE是等腰三角形；

∴DE=B′E，

∴∠CB′D=∠B′DA=12（180°−∠B′ED），

∵∠AEC=∠B′ED，

∴∠ACB′=∠CB′D，

∴B′D∥AC；

【应用与探究】:

分两种情况：

①如图1所示：

∵四边形ACDB′是正方形，

∴∠CAB′=90°，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=45°，

∴AC=；

②如图2所示：

AC=BC=2；

综上所述：

AC的长为或