福建省漳州市届高三上学期期末调研测试数学文试题Word版含答案.docx
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福建省漳州市届高三上学期期末调研测试数学文试题Word版含答案
福建省漳州市2019届高三上学期期末调研测试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A.B.C.D.
2.在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A.B.C.D.
4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A.B.C.D.
5.函数的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列是函数的图象的对称轴方程的为（ ）
A.B.C.D.
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：
“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？
”其意思：
“共有五头鹿，人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ）
A.一鹿、三分鹿之一B.一鹿
C.三分鹿之二D.三分鹿之一
9.已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
10.已知命题：
椭圆与双曲线有相同的焦点；命题：
函数的最小值为.下列命题为真命题的是（ ）
A.B.C.D.
11.若不等式组所表示的平面区域被直线：
分为面积相等的两部分，则（）
A.B.C.D.
12.设函数，若对于任意的，都有，则（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在半径为的圆内任取一点，以点为中点的弦的弦长小于的概率为________.
14.甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：
①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.
15.已知分别是锐角的内角，，的对边，且，，则的取值范围是________.
16.已知直线过抛物线：
的焦点，与交于，两点，过点，分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.
18.2017年是内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.
年龄
单人促销价格（单位：
元）
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数；
（Ⅱ）某旅行社针对“旅游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动，各年龄段的促销价位如表所示.已知该旅行社的运营成本为每人元，以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布，试通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利；
（Ⅲ）若按照分层抽样的方法从年龄在，的居民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有人的年龄在的概率.
19.如图，底面半径为，母线长为的圆柱的轴截面是四边形，线段上的两动点，满足.点在底面圆上，且，为线段的中点.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）四棱锥的体积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
20.已知椭圆:
的一个焦点与抛物线的焦点重合，且过点.过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左顶点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求面积的最大值，并求此时直线的方程.
21.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：
共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.
23.[选修4—5：
不等式选讲]
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）解不等式
福建省漳州市2019届高三上学期期末调研测试
数学（文）试题答案
一、选择题
1-5:
DCACC6-10:
CABCB11、12：
AA
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋1－3an－1－1，
即2an＝3an－1，所以＝，
当n＝1时，a1＝3a1＋1，解得a1＝－.
所以数列{an}是以－为首项，为公比的等比数列，
即an＝－×.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
所以Tn＝3×＋5×＋…＋（2n－1）＋（2n＋1）， ①
Tn＝3×＋5×＋…＋（2n－1）＋（2n＋1）， ②
则①—②，得Tn＝3×＋2×－（2n＋1），
化简整理可得
18.解：
（Ⅰ）年龄在[30，40）的频率为1－（0.020＋0.025＋0.015＋0.010）×10＝0.3，
故估计该市被抽取市民的年龄的平均数x＝15×0.2＋25×0.25＋35×0.3＋45×0.15＋55×0.1＝32.
（Ⅱ）平均每个旅客为旅行社带来的利润为150×0.2＋240×0.7＋180×0.1－200＝16>0，
故旅行社的这一活动是盈利的．
（Ⅲ）由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在[10，20），分别记为a，b，c，d；有2人年龄在[50，60]，分别记为E，F.
“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，E}，{a，F}，{b，c}，{b，d}，{b，E}，{b，F}，{c，d}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，
共15种，其中事件“至少有1人的年龄在[50，60]”包含的基本事件为{a，E}，{a，F}，{b，E}，{b，F}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，
共9种，故该事件发生的概率为P＝＝.
19.解：
（Ⅰ）证明：
设PB的中点为F，连接HE，HQ，
在△ABP中，利用三角形中位线的性质可得QH∥AB，且QH＝AB，
又EF∥AB，EF＝AB，
所以EF∥HQ，EF＝HQ，
所以四边形EFQH为平行四边形，
所以FQ∥HE，
又平面，平面
所以FQ∥平面BPE.
（Ⅱ）四棱锥PABEF的体积为定值，定值为.
理由如下：
由已知可得梯形ABEF的高为2，所以S梯形ABEF＝×2＝3，
又平面ABCD⊥平面ABP，过点P向AB作垂线PG，垂足为G，
则由面面垂直的性质定理可得PG⊥平面ABCD，
又AP＝，AB＝2，∠APB＝90°，所以BP＝1，
所以，
所以V四棱锥PABEF＝×PG×S梯形ABEF＝××3＝，
所以四棱锥PABEF的体积为定值，定值为.
20.解：
（Ⅰ）解法一：
∵抛物线y2＝4x的焦点为（，0），
∴椭圆C的半焦距c＝，即a2－b2＝3. ①
把点Q代入，得. ②
由①②得a2＝4，b2＝1.
∴椭圆C的标准方程为.
解法二：
∵抛物线y2＝4x的焦点为（，0），
∴不妨设椭圆C：
的焦点为F1（－，0），F2（，0），（1分）
又Q在椭圆C上，
∴2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋＝＋＝4，
∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ty＋1，代入，得（t2＋4）y2＋2ty－3＝0.（5分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则有y1＋y2＝－，y1y2＝－
令＝m（m≥），由函数y＝m＋在[，＋∞）上单调递增，
则≥＋＝，当且仅当m＝，即t＝0时，取等号．（10分）
所以|y1－y2|≤.
所以△AMN的面积S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，
所以Smax＝，此时直线l的方程为x＝1.
21.解：
（Ⅰ）由已知得f′（x）＝（－x2＋2）ex－1，
当f′（x）<0，即－x2＋2<0时，x<－或x>；
当f′（x）>0，即－x2＋2>0时，－所以f（x）在（－∞，－）上单调递减，在（－，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减．
（Ⅱ）令g（x）＝（2x－x2）ex－1－mx－1＋m，x≥1，
由已知可得g
（2）≤0，即m≥－1，下面只要考虑m≥－1的情况即可．
g′（x）＝（2－x2）ex－1－m，令h（x）＝（2－x2）ex－1－m，则h′（x）＝－（x2＋2x－2）ex－1，
因为x≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′（x）<0，
所以h（x）在[1，＋∞）上单调递减，即g′（x）在[1，＋∞）上单调递减，则g′（x）≤g′
（1）＝1－m.（8分）
①当1－m≤0，即m≥1时，此时g′（x）≤0，所以g（x）在[1，＋∞）上单调递减，所以g（x）≤g
（1）＝0，满足条件；（9分）
②当1－m>0，即－1≤m<1时，此时g′
（1）>0，g′
（2）＝－2e－m<0，所以存在x0∈（1，2），使得g′（x0）＝0，则当10；（10分）
当x>x0时，g′（x）<0，
所以g（x）在[1，x0]上单调递增，在（x0，＋∞）上单调递减，
所以当x∈[1，x0]时，g（x）≥g
（1）＝0，此时不满足条件．
综上所述，实数m的取值范围为[1，＋∞）．
22.解：
（Ⅰ）由曲线C的参数方程（α为参数），得（α为参数），
两式平方相加，得曲线C的普通方程为（x－1）2＋y2＝4；
由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝
即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.（5分）
（Ⅱ）由题意可知P（2，0），则直线l的参数方程为（t为参数）．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，
将（t为参数）代入（x－1）2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，
则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，
所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.
23.解：
（Ⅰ）因为|2x－1|＋2|x＋2|≥|（2x－1）－2（x＋2）|＝5，
所以f（x）的最小值是5.
（Ⅱ）解法一：
f（x）＝
当x<－2时，由－4x－3<8，解得x>－，即－当－2≤x≤时，5<8恒成立，即－2≤x≤；
当x>时，由4x＋3<8，解得x<，即所以不等式f（x）<8的解集为.
解法二（图象法）：
f（x）＝
函数f（x）的图象如图所示，
令f（x）＝8，解得x＝－或x＝，
所以不等式f（x）<8的解集为.
答案解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
A
C
C
C
A
B
C
B
A
A
1.D 【解析】∵，∴x>1，又x2－2x≤0，则0≤x≤2，∴A∩B＝（1，
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