【答案】
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆：
上存在一点到直
线：
的距离等于，则实数的值为▲．
【答案】1
13．设正实数，满足，则实数的最小值为▲．
【答案】
14．在等腰三角形ABC中，已知ACBC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，
且ADDBEF1．若，则的取值范围是▲．
【答案】
二、解答题：
本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，四棱锥PABCD中，为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MAMC．
（1）求证：
PB平面AMC；
（2）求证：
平面PBD平面AMC．
证明：
（1）连结，
因为为菱形ABCD对角线的交点，
所以为BD的中点，
又M为棱PD的中点，
所以，……2分
又平面AMC，平面AMC，
所以PB平面AMC；……6分
（2）在菱形ABCD中，ACBD，且为AC的中点，
又MAMC，故A，……8分
而OMBD，OM，BD平面PBD，
所以AC平面PBD，……11分
又AC平面AMC，
所以平面PBD平面AMC．……14分
16．（本小题满分14分）
已知函数
，．
（1）求函数的值域；
（2）若，求的值．
解：
（1）依题意，
……3分
， ……5分
因为，所以，从而，
所以函数的值域为； ……7分
（2）依题意，，，
令，则，
从而，且，……9分
所以，
又
，，
故，，……11分
从而
．
……14分
17．（本小题满分14分）
某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务
部门交税a元（常数a，且2≤a≤5）．设每升产品的售价为x元（35≤x≤41），根
据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每升产品的售价为
40元时，日销售量为10升．
（1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式；
（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大？
并求出最大值（参考数
据：
取55，148）．
解：
（1）设日销售量（k为比例系数），
因为当x40时，p10，所以k，……2分
从而，x；……6分
（2）设，，
则
，
由，得ta1，……9分
因为5≤t≤11，2≤a≤5，，所以a+13，4，5，6，
若a+13，4，5，则，函数在[5，11]上单调递减，
所以当t5即x35时，
；……11分
若a+16，列表：
（5，6）
6
（6，11）
0
↗
极大值
↘
所以当t6即x36时，，
答：
若a2，3，4，则当每升售价为35元时，日利润最大为元；
若a5，则当每升售价为36元时，日利润最大为550元．
……14分
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，设A（-1，0），B（1，0）,C（m，n），且△ABC的周长为．
（1）求证：
点C在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；
（2）设直线l：
．
①判断直线l与
（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；
②过点A作直线l的垂线，垂足为H．证明：
点H在定圆上，并求出定圆的方程．
（1）证明：
依题意，CACBAB，
根据椭圆的定义知，点C的轨迹是以A（-1，0），B（1，0）为焦点，为
长轴的椭圆（不含长轴的两个端点），即证，……2分
不妨设该椭圆的方程为，
依题意知，，，从而，
故该椭圆的标准方程为；……4分
（2）①解：
直线l与
（1）中的椭圆相切，下证之：
因为C（m，n）在椭圆上，所以，
由得，
，……6分
判别式
，
所以直线l与
（1）中的椭圆相切；……8分
②猜想：
若点H在定圆P上，
故圆心P必在x轴上；
当点C时，H（0，）；当点C时，H（0，）；
故圆心P必在y轴上，
综上，圆心P必为坐标原点O，且半径为，
从而定圆P的方程为：
，……10分
证明：
过A（-1，0）与直线l：
的垂直的直线方程为：
，
联立直线l与直线的方程解得，
……12分
从而OH2
，其中，
，
所以点H在定圆上．……16分
19．（本小题满分16分）
设，函数，其中常数a．
（1）求函数的极值；
（2）设一直线与函数的图象切于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且．
①求的值；
②求证：
．
解：
（1）依题意，
则
由得，，，
当时，，所以无极值；……3分
当时，列表：
x
（-，0）
0
0
0
↘
极小值0
↗
极大值
↘
所以函数的极小值为，极大值为；……6分
（2）①当时，，，
直线AB的方程为
，
或
，
于是
即
故（常数）；……11分
②证明：
设，，则
解得
或（舍去，否则），
故
，
即证．……16分
20．（本小题满分16分）
（1）设为不小于3的正整数，公差为1的等差数列，，…，和首项为1的
等比数列，，…，满足…，求正整数的最大值；
（2）对任意给定的不小于3的正整数，证明：
存在正整数，使得等差数列：
，，…，和等比数列：
，，…，
满足…．
解：
（1）设，，依题意得，
…，
……2分
从而
…，
即①，②，③，④，
⑤，…，由①②③④得，；因为，所以由
①②③④⑤得，不存在了，从而正整数的最大值为5；……6分
（2）依题意，
，，且，2，…，，
一方面，当时，，因此，
，
结合及是公比为的等比数列可得，
，
，…，
从而对任意的1，2，…，，都有；……11分
另一方面，因为
（1，2，…，，其中为给定的不小于
3的正整数）
…
…（＊）
显然，（＊）式左边是关于的次式，右边是关于的次式，
只要正整数充分大，（＊）式即可成立,从而1，2，…，时，都有．
综上，必存在正整数，满足…．……16分
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学
xx高三联合考试
数学Ⅱ参考答案及评分建议
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但
与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
（本小题满分10分）
如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，
交其外接圆于点E．
求证：
ABACADAE．
证明：
连结EC，易得∠B∠E，……2分
由题意，∠BAD∠CAE，
所以△ABD∽△AEC，……6分
从而，
所以ABACADAE．……10分
B．选修4—2：
矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知点P（a，b），先对它作矩阵M
对应的变换，再作N对应的
变换，得到的点的坐标为（8，），求实数a，b的值．
解：
依题意，NM
，……4分
由逆矩阵公式得，（NM）
，……8分
所以
，即有，．……10分
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，设直线过点，，且直线与曲线：
有且只有一个公共点，求实数的值．
解：
依题意，，的直角坐标为，，
从而直线的普通方程为，……4分
曲线：
的普通方程为，……8分
因为直线与曲线有且只有一个公共点，
所以，解得（负值已舍）．……10分
D．选修4—4：
不等式证明选讲
（本小题满分10分）
已知a，b＞0，且ab1，求证：
．
证明：
因为（2a12b1）（1212）8，……8分
所以．……10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
设为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，为这两条
棱所成的角．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望E（）．
解：
（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有种不同方法，
其中“”包含了两类情形：
①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法;
②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，
所以；……4分
（2）依题意，的所有可能取值为0，，，
“”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法；
所以；……6分
从而
，……8分
所以的分布列为：
数学期望E（）
．……10分
23．（本小题满分10分）
设整数3，集合P{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满
足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．
（1）求a3；
（2）求an．
解：
（1）当3时，P{1，2，3}，
其非空子集为：
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
则所有满足题意的集合对（A，B）为：
（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），
（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，
所以a3；……3分
（2）设A中的最大数为k，其中,整数3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：
，……5分
B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，k可在B中，但不能
都不在B中，故B的个数为：
，……7分
从而集合对（A，B）的个数为，
所以an
．……10分
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