线性代数证明题.docx
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线性代数证明题
线性代数证明题
1、试题序号：
3212、题型：
证明题3、难度级别：
3
4、知识点：
第二章矩阵及其运算5、分值：
8
6、所需时间：
8分钟
7、试题关键字：
矩阵秩的性质8、试题内容：
设A为一个n阶方阵，E为同阶单位矩阵且A2=E，证明：
R（A+E）+R（A-E）=n.9、答案内容：
2
2
证明:
A=E⇒A-E=0⇒（A+E）（A-E）=0由矩阵秩的性质,则有R（A+E）+R（A-E）=R（A+E）+R（E-A）≤n.同时,有
R（A+E）+R（E-A）≥R（A+E+E-A）=n.∴R（A+E）+R（A-E）=n.
2
10、评分细则：
由题设推出（A+E）（A-E）=0得2分;由矩阵秩的性质推出
R（A+E）+R（A-E）≤n得2分;推出R（A+E）+R（A-E得2分;因而推出）≥nR（A+E）+R（A-En2分.）=得
-----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3222、题型：
证明题3、难度级别：
3
4、知识点：
第五章相似矩阵及二次型5、分值：
8
6、所需时间：
6分钟
7、试题关键字：
正交矩阵的特征值8、试题内容：
设A为一个n阶正交矩阵，且A=-1.证明：
λ=-1是A的特征值.9、答案内容：
证明：
A是正交矩阵,∴AA=E.又A=-1,
∴A-（-1）E=A+E=A+AA=（E+A）A=E+A=-E+A
T
T
T
T
T
T
A
T
=-E+A
T
=-（E+A）=-E+A
∴A+E=0⇒A-（-1）E=0.∴λ=-1是A的特征值.
10、评分细则：
推出A-（-1）E=A+AAT（2分）=-E+AT（2分）=-E+A（2分）推出A-（-1）E=0并说明λ=-1是A的特征值（2分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3232、题型：
证明题
3、难度级别：
4
4、知识点：
第五章相似矩阵及二次型5、分值：
8
6、所需时间：
10分钟
7、试题关键字：
二次型的正定性8、试题内容：
已知A,B均为n阶正定矩阵，试证明：
分块矩阵9、答案内容：
⎛A⎝0
0⎫
⎪也为正定矩阵.B⎭
证明
A,B是正定矩阵，∴A，B是对称矩阵.⎛A∴⎝0⎛A∴⎝0
0⎫⎛AT⎪=TB⎭⎝0
T
T
0⎫⎛A
=T⎪
B⎭⎝0
0⎫⎪.B⎭
0⎫
⎪是对称矩阵.B⎭
T
令f=（X1
AT⎛X2）
⎝00⎫⎛X1⎫⎛A
此为⎪⎪
B⎭⎝X2⎭⎝00⎫
⎪所确定的二次型.B⎭
⎛X1⎫∀⎪≠0⇒X1,X2中至少有一个不为0,⎝X2⎭
则有f=X1AX1+X2BX2>0.∴此二次型为正定二次型，⎛A则⎝0
0⎫
⎪为正定矩阵.B⎭
T
T
⎛A0⎫
10、评分细则：
由题设中条件推出⎪是对称矩阵（2分）;令
0B⎝⎭
A0⎫⎛X1⎫TT⎛TT
f=X1X2X2）≠0推出X1,X2中至少有一个不为零⎪（2分）;由（X1⎪
⎝0B⎭⎝X2⎭
（）
TTTT
（2分）.则有f=X1AX1+X2BX2>0,推出f=X1AX1+X2BX2为正定二次型（2分）.
⎛A0⎫
因而有⎪为正定矩阵（2分）.
0B⎝⎭----------------------------------------------------------------------------
1、试题序号：
3242、题型：
证明题
3、难度级别：
3
4、知识点：
第五章相似矩阵及二次型5、分值：
8
6、所需时间：
8分钟
7、试题关键字：
二次型的正定性8、试题内容：
设A,B均为n阶正定矩阵，试证明：
A+B也为正定矩阵.9、答案内容：
证明：
A,B都是正定矩阵,∴A=A,B=B.（A+B）=A+B
T
T
T
T
T
=A+B
⇒A+B为对称矩阵.令f=x（A+B）x.∀x≠0,则有f=xAx+xBx.A,B是正定矩阵
∴xAx,xBx是正定二次型.则有f=xAx+xBx>0.∴f=x（A+B）x为正定二次型.则A+B也为正定矩阵.
T
T
T
T
T
T
T
T
10、评分细则：
由题设中条件推出A+B为对称矩阵（2分）;令f=x（A+B）x（2
T
分）;∀x≠0⇒f=xTAx+xTBx>0（2分）;推出f=x（A+B）x为正定二次型（2分）;因
T
而有A+B为正定矩阵（2分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3252、题型：
证明题
3、难度级别：
2
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
8分钟
7、试题关键字：
向量组的线性关系8、试题内容：
若向量β可由向量组α1,α2,,αr线性表示，但β不能由α1,α2,,αr-1线性表示，试证：
αr可由α1,α2,,αr-1,β线性表示.
9、答案内容：
证明：
β可以由α１，α２，αr线性表示，∴存在一组数Ｋ１，Ｋ２，Ｋr,使得Ｋ１α１＋Ｋ２α２＋＋Ｋrαr＝β.
若Ｋr=0,则β=Ｋ１α１＋Ｋ２α２＋＋Ｋr-１αr-１.这与β不能由α１，α２，αr-１线性表示矛盾.∴Ｋr≠０⇒αr=-
Ｋ１Ｋr
Ｋ２Ｋr
Ｋr-１Ｋr
1Ｋr
α１-α2-αr-１-
β.
∴αr可由α１，α２，αr-１,β线性表示.
10、评分细则：
由题设中条件令k1α1+k2α2++krαr=β（2分）;假设kr=0推出β不能
由α1,α2,,αr-1线性表示矛盾（2分）;∴kr≠0⇒αr可以由α1,α2,,αr-1,β线性表示（4分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3262、题型：
证明题3、难度级别：
4
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
10分钟
7、试题关键字：
向量的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：
如果向量组α1,α2,,αs线性无关，试证：
向量组关.
9、答案内容：
证明：
令A=（α1∴R（α1
α,α+α,,α+α++αs线性无
α2α2
αS）,B=（α1
α1+α2
α1+α2++αS）.
α1,α2,αS线性无关，
αS）=R（A）=S.
⎛10αS）⎝0
110
1⎫⎪1⎪.⎪⎪1⎭
（α1α1+α2
α1+α2++αS）=（α1
α2
⎛10
令C=
⎝0
110
1⎫⎪1⎪.⎪⎪1⎭
则有B=AC，显然C可逆.
10、评分细则：
令A=（α1α2αs）,B=（α1由题设条件推出R（A）=s（1分）;
⎛10令C=
⎝0
110
1
1⎫
⎪1
⎪推出B=AC（2分）;推出A=BC-1⇒R（B）≥R（A）=s（2分）⎪⎪1⎭
α1+α2
α1+α2+αs）（1分）;
又R（B）≤s⇒R（B）=s⇒α1,α1+α2,α1+αs线性无关（2分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3272、题型：
证明题
3、难度级别：
3
4、知识点：
第二章矩阵及其运算5、分值：
8
6、所需时间：
8分钟
7、试题关键字：
奇异矩阵8、试题内容：
已知矩阵A2=E,B2=E，且A+B=0证明：
A+B为奇异矩阵.9、答案内容：
证明：
A=E⇒A=±1,B=E⇒B=±1.又A+B=0⇒若A=±1,则B=1.而A（A+B）=AB+AB=B+A.∴A（A+B）B=B+A.∴AA+BB=A+B.
∴-A+B=0,则A+B为奇异矩阵.
2
2
2
2
10、评分细则：
由题设中条件推出A=±1,B=1（1分）;推出A（A+B）B=B+A（3分）;推出AA+BB=B+A（2分）;推出A+B=0⇒A+B为奇异矩阵（2分）.----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3282、题型：
证明题3、难度级别：
2
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
6分钟
7、试题关键字：
向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：
设n维基本单位向量组ε1,ε2,,εn可由n维向量组α1,α2,,αn线性表示，证明：
α1,α2,,αn线性无关.
9、答案内容：
证明：
令A=（α1
α2
αn）,且En=（ε1
ε2
εn）.a
ε1,ε2,εn可以由α1,α2,,αn线性表示.∴存在一个n阶方阵B,使得En=AB⇒R（A）≥R（En）=n.同时R（A）≤n.
∴R（A）=n⇒α1,α2,,αn线性无关.
10、评分细则：
令A=（α1
α2
αn）,E=（ε1
ε2
εn）（2分）;由题设条件推出
存在一个n阶矩阵B（2分）;使得AB=E⇒R（A）=n（4分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3292、题型：
证明题3、难度级别：
4
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
10分钟
7、试题关键字：
向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：
设α1,α2,,αm线性无关，β1可由α1,α2,,αm线性表示，β2不可由α1,α2,,αm线性表示，证明：
α1,α2,,αm,λβ1+β2线性无关（其中λ为常数）.9、答案内容：
证明:
β1=k1α1+k2α2+kmαm，
∴（α1
α2
αm
λβ1+β2）（α1
α2
αm
β2）.
假设R（α1
α2αM
β2）≤m,则有
α1,α2,,αm,β2线性相关,因而与β2不能由α1,α2,,αm线性表示矛盾.∴R（α1
α2
αm
β2）>m,∴R（α1
α2
αm
λβ1+β2）=m+1
∴α1,α2,,αm,λβ1+β2线性无关.
10（α1R（α1
、α2评分细则：
αmλβ1+β2）（α1α2
2
由
题设αmβ2）
中（2
条分
件）;
推假
出设
α
αm
β
分）;∴R（α1α2
分）;推出α1,α2,αm,λβ1+β2线性无关（1分）.1、试题序号：
3302、题型：
证明题
3、难度级别：
2
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
6分钟
7、试题关键字：
向量组与矩阵的秩
β2能由α1,α2,αm线性表示,与题设矛盾
（2）≤m由题设推出2
αmβ2）>m推出R（α1α2αmλβ1+β）2=m+1（3
----------------------------------------------------------------------------
8、试题内容：
设A为n⨯m矩阵，B为m⨯n矩阵，n
9、答案内容：
证明:
A为n⨯m矩阵,B为m⨯n矩阵,且AB=E,E为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有R（B）≥R（E）=n.
又n
∴B的列向量组线性无关.
10、评分细则：
由题设推出R（B）≥R（E）=n（2分）;又有题设中n
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3312、题型：
证明题3、难度级别：
4
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
10分钟
7、试题关键字：
向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：
设α1,α2,,αn-1为n-1个线性无关的n维列向量，η1,η2与α1,α2,,αn-1均正交，证明：
η1,η2线性相关.
9、答案内容：
证明:
η1,η2分别与α1,α2,,αn-1均正交,
⎛η1T⎫∴T⎪（α1
⎝η2⎭
α2
αn-1）=⎪
⎝0⎭
⎛0⎫
令A=（α1
α2
⎛η1T⎫
αn-1）,B=T⎪,BA=0⇒R（A）=n-1⇒R（B）≤1
⎝η2⎭
∴η1,η2线性相关.
10、评分细则：
令A=（α1
α2
（2（1
αn-1）,B=（η1η2）（1分）;由题设中条件推得
（1（1
分）;若分
）;
若
T
BA=0⇒R（A）+R（B）≤nR（B）=0⇒η1=0,η2=0
分）;∴R（A）=n-1⇒R（B）≤1分
）;
∴η1,η2
线性相关
R（B）=1⇒R（η1η2）=1
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3322、题型：
证明题
3、难度级别：
2
4、知识点：
第五章相似矩阵及二次型5、分值：
8
6、所需时间：
6分钟
7、试题关键字：
正交向量组8、试题内容：
已知n阶实矩阵A为正交矩阵，α1,α2,,αn为n维正交单位向量组，证明：
Aα1,Aα2,,Aαn也是n维正交单位向量组.
9、答案内容：
证明:
A是阶正交矩阵,则有
α1,α2,,αn是维正交向量组
∴αi≠0,αiαj=0,i≠j
T
（Aαi）
T
（Aα）=α
j
Ti
AAαj=αiα=0
TT
∴Aα1,Aα2,Aαn是正交向量组.
10、评分细则：
由题设中条件推出αi≠0,αiαj=0,i≠j（2
TTTTT
分）;（Aαi）（Aαj）=αiAAαj=αiEαj=αiαj=0（2分）;αi≠0且A可逆,推得Aαi≠0（2分）;推得Aα1,Aα2,,Aαn是正交向量组（2分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3332、题型：
证明题3、难度级别：
4
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
10分钟
7、试题关键字：
向量组的秩与方程组的解8、试题内容：
设α1,α2,,αs是Ax=0的一个基础解系，β不是Ax=0的解，证明：
β,β+α1,β+α2,,β+αs线性无关.
T
9、答案内容：
证明:
假设R（β
α1α2
αs）
∴R（βR（β
α1α2
αs）=s+1
β+α1
β+αs）=s+1
即β,β+α1,β+αs线性无关.10、评分细则：
由题设推出R（β设R（βα1是Ax=0
β+α1β+αs）=R（βα1αs）（2分）;假
αs）
分）;∴β,β+α1,,β+αs线性无关（2分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3342、题型：
证明题3、难度级别：
2
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
8分钟
7、试题关键字：
矩阵的秩与方程组的解8、试题内容：
设A为n阶矩阵，若Ax=0只有零解，证明：
方程组Akx=0也只有零解，其中k为正整数.
9、答案内容：
证明:
Ax=0只有零解⇒R（A）=n
A为n阶矩阵,
∴A则A
k
可逆⇔A≠0.
k
=A≠0
即Ak为可逆矩阵
∴R（A
k
）=n⇒
Ax=0只有零解.
k
k
k
10、评分细则：
由题设推出R（A）=n⇒A可逆（3分）;推出A=A
≠0（2分）;推得
R（A
k
）=n⇒
Ax=0只有零解（3分）.
k
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3352、题型：
证明题3、难度级别：
4
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
10分钟
7、试题关键字：
向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解
8、试题内容：
设A是m⨯n矩阵，D是m⨯n矩阵，B为m⨯m矩阵，求证：
若B可逆且BA的行向量的转置都是Dx=0的解，则A的每个行向量的转置也都是该方程组的解.9、答案内容：
证明：
设A的行向量组为α1,α2,,αm（I）
设B的行向量组为β1,β2,,βm（II）则向量组（I）与（II）均为n维向量组
BA=C,B可逆⇒A=BC
-1
令B
-1
⎛k11k21=
⎝km1
k12k22km2
k1m⎫
⎪k2m
⎪，则有⎪
⎪kmm⎭⎫⎛β⎪km2β
⎪⎪
⎪kmm⎭⎝βmk
m1
⎛α1α2
⎝αm
⎫⎛k11⎪
k⎪=21⎪⎪⎭⎝km1
kkkm2
1222
⎫1⎪⎪2⎪⎪⎭
∴向量组（I）可以由（II）线性表示
向量组（II）是Dx=0的解
∴向量组（I）也是Dx=0的解
10、评分细则：
令A的行向量组α1,α2,,αm（I）,C的行向量组为β1,β2,,βm（II）（1分）;BA=C⇒A=BC（2分）;⎛α1α2推得⎝αm
⎫⎛k11⎪
k⎪=21⎪⎪⎭⎝km1
k12k22km2
k1m⎫⎛β1
⎪k2mβ
⎪2⎪
⎪kmm⎭⎝βm
⎫⎛k11⎪
k
⎪,B-1=21⎪⎪⎭⎝km1
k12k22km2
k1m⎫
⎪k2m
⎪（2分）⎪
⎪km2⎭
-1
所以（I）可以由（II）线性表示（2分）;由（II）是Dx=0的解推出（I）也是Dx=0的解（1分）.----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3362、题型：
证明题
3、难度级别：
2
4、知识点：
第四章向量组的线性相关性5、分值：
8
6、所需时间：
6分钟
7、试题关键字：
向量组的线性关系与方程组的基础解系8、试题内容：
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1,η2,,ηn-r是其导出组的一个基础解系，η是Ax=b的一个解，证明：
η,η1,η2,,ηn-r线性无关.9、答案内容：
证明：
假设η,η1,η2,,ηn-r线性相关，
η1,η2,,ηn-r是Ax=0的基础解系，∴η1,η2,,ηn-r是线性无关的.
由以上可得η可以由η1,η2,,ηn-r线性表示.则η是Ax=0的解,与η是Ax=b的解矛盾.
∴假设不成立,即η,η1,η2,,ηn-r线性无关.
10、评分细则：
假设η,η1,η2,ηn-r线性相关,由题设推得η可以由η1,η2,ηr-1线性表示（3分）;所以η是Ax=0的解与η是Ax=b的解矛盾（3分）;所以η,η1,η2,ηn-r线性无关（2分）.
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：
3372、题型：
证明题3、难度级别：
3
4、知识点：
第五章相似矩阵及二次型5、分值：
8
6、所需时间：
8分钟
7、试题关键字：
正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵8、试题内容：
设A*为A的伴随矩阵，若A为正定的，试证
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