完整word版微积分答案详解.docx
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完整word版微积分答案详解
一、填空题（每小题3分,共15分）
1、已知,,且,则 .
答案：
王丽君
解：
,.
2、已知为常数,,则 .
答案：
孙仁斌
解：
.
3、已知,则 .
答案：
俞诗秋
解：
4、函数的拐点数为 .
答案：
俞诗秋
解：
有3个零点:
有2个零点:
显然符号是：
＋,－,＋,故有2个拐点.
5、 .
答案：
张军好
解：
.
二、选择题（每小题3分,共15分）
答案：
1、2、3、4、5、 。
1、设为偶函数,为奇函数,且有意义,则是
（A）偶函数； （B）奇函数；
（C）非奇非偶函数； （D）可能奇函数也可能偶函数.
答案：
A 王丽君
2、是函数的
（A）跳跃间断点； （B）连续点；
（C）振荡间断点； （D）可去间断点.
答案：
D 俞诗秋
3、若函数在处不可导，则下列说法正确的是
（A）在处一定不连续；
（B）在处一定不可微；
（C）在处的左极限与右极限必有一个不存在；
（D）在处的左导数与右导数必有一个不存在.
答案：
B 江美英
4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：
（A）；（B）
（C）；（D）
答案：
D 俞诗秋
5、若函数存在原函数,下列错误的等式是：
（A）；（B）；
（C）；（D）.
答案：
B 秋俞诗
三、计算题（每小题6分,共60分）
1、设,求.
答案：
王丽君,俞诗秋
解：
令,则
（3分）
于是
.（6分）
2、计算.
答案：
俞诗秋
解：
（3分）
. （6分）
3、求极限.
答案：
俞诗秋
解：
由于， （3分）
而,,
所以. （6分）
4、求极限.
答案：
俞诗秋
解：
（4分）
. （6分）
5、求函数的导数.
答案：
俞诗秋
解：
（2分）
.（6分）
6、求曲线在点处的法线方程.
答案：
江美英,俞诗秋
解：
方程两边对求导得：
将代入得法线斜率, （3分）
从而法线方程为：
即：
. （6分）
7、求曲线的凹凸区间和拐点.
答案：
曲线在区间和是凹的,在区间是凸的．
拐点为,．俞诗秋
解：
（1）,
（2）,,
（3）,得,.,．（3分）
（4）列表如下：
+
0
-
0
+
凹
拐点
凸
拐点
凹
（5）曲线的拐点为、．
（6）曲线在区间和是凹的,在区间是凸的．（6分）
8、计算．
答案：
俞诗秋
解：
（3分）
．
．（6分）
9、计算．
答案：
俞诗秋
解：
（3分）
． （6分）
10、设某商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.
答案：
当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少.俞诗秋
解：
总收益函数为,
令,得,而,
可见,当时,总收益达到最大. （3分）
此时需求弹性,（5分）
说明,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少. （6分）
四、证明题（每小题5分,共10分）
1、证明方程在区间内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋
证明：
显然,由于,,
由零点定理知,,即； （3分）
又因,,知,
所以方程在区间内有且只有一个实根. （5分）
2、设在闭区间连续,在开区间可导,且,证明在内必存在一点,使得. 俞诗秋
证明:
令,,
显然,,且,
由罗尔定理知：
,所以.
一、填空题（每小题3分,共15分）
1、设，且当时，，则。
（）
2、计算广义积分=。
（）
3、设，则。
（）
4、微分方程具有形式的特解.（）
5、设，则_________。
（1）
二、选择题（每小题3分,共15分）
1、的值为（A）
A.3B.0C.2D.不存在
2、和存在是函数在点可微的（A）。
A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面和及柱面所围的体积是（D ）。
A.；B.；
C、；D.
4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，则其通解为（C）。
A.；B.；
C.；D.
5、无穷级数（为任意实数）（D）
A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断
三、计算题（每小题6分,共60分）
1、求下列极限：
。
解：
…（3分）
…（6分）
2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。
解：
…（4分）
…（6分）
3、求由所确定的隐函数的偏导数。
解：
方程两边对求导得:
有…（3分）
方程两边对求导得:
有…（6分）
4、求函数的极值。
解：
，则
，，
，，
求驻点，解方程组得和.…（2分）
对有，，，
于是，所以是函数的极大值点，且…（4分）
对有，，，
于是，不是函数的极值点。
…（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入（万元）与电台广告费用（万元）的及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式:
.若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.
解：
显然本题要求:
在条件下,求的最大值.
令,…（3分）
解方程组
…（5分）
得:
所以,若提供的广告费用为万元,应将万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略.…（6分）
6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；
解：
.…（4分）
…（6分）
7、已知连续函数满足，且，求。
解：
关系式两端关于求导得：
即…（2分）
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：
=…（5分）
又，即，故，所以…（6分）
8、求解微分方程=0。
解：
令，则，于是原方程可化为：
…（3分）
即，其通解为…（5分）
即
故原方程通解为：
…（6分）
9、求级数的收敛区间。
解：
令,幂级数变形为,.…（3分）
当时,级数为收敛；
当时,级数为发散.
故的收敛区间是,…（5分）
那么的收敛区间为.…（6分）
10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。
解：
因为…（2分）
由比值判别法知收敛（），…（4分）
从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛.…（6分）
四、证明题（每小题5分,共10分）
1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。
证：
，…（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。
…（5分）
2、设,其中为可导函数,证明.
证明：
因为,…（2分）
…（4分）
所以.…（5分）
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