迭代格式的比较.docx
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迭代格式的比较
课题一迭代格式的比较
一、问题提出
设方程f（x）=x-3x–1=0有三个实根x*1=,x*2=,x*3=
现采用下面六种不同计算格式，求f（x）=0的根x*1或x*2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
二、要求
1、编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；
2、用事后误差估计
来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；
3、初始值的选取对迭代收敛有何影响；
4、分析迭代收敛和发散的原因。
三、目的和意义
1、通过实验进一步了解方程求根的算法；
2、认识选择计算格式的重要性；
3、掌握迭代算法和精度控制；
4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。
1．六种不同计算格式运行程序及运算结果
运行程序
（1）
functioniteration_1
x0=input（'输入初始值x0='）;
k=input（'输入迭代次数k='）;
x
（1）=x0;
i=1;
whilei<=k
x（i+1）=fun（x（i））
i=i+1;
xk=x（i）;
end
functiony=fun（x）
y=（3*x+1）/x^2;
（2）
functioniteration_2
x0=input（'输入初始值x0='）;
k=input（'输入迭代次数k='）;
x
（1）=x0;
i=1;
whilei<=k
x（i+1）=fun（x（i））
i=i+1;
xk=x（i）;
end
functiony=fun（x）
y=（x^3-1）/3;
（3）
functioniteration_3
x0=input（'输入初始值x0='）;
k=input（'输入迭代次数k='）;
x
（1）=x0;
i=1;
whilei<=k
x（i+1）=fun（x（i））
i=i+1;
xk=x（i）;
end
functiony=fun（x）
y=（3*x+1）^（1/3）;
（4）
functioniteration_4
x0=input（'输入初始值x0='）;
k=input（'输入迭代次数k='）;
x
（1）=x0;
i=1;
whilei<=k
x（i+1）=fun（x（i））
i=i+1;
xk=x（i）;
end
functiony=fun（x）
y=1/（x^2-3）;
（5）
functioniteration_5
x0=input（'输入初始值x0='）;
k=input（'输入迭代次数k='）;
x
（1）=x0;
i=1;
whilei<=k
x（i+1）=fun（x（i））
i=i+1;
xk=x（i）;
end
functiony=fun（x）
y=（3+1/x）^（1/2）;
（6）
functioniteration_6
x0=input（'输入初始值x0='）;
k=input（'输入迭代次数k='）;
x
（1）=x0;
i=1;
whilei<=k
x（i+1）=fun（x（i））
i=i+1;
xk=x（i）;
end
functiony=fun（x）
y=x-（1/3）*（（x^3-3*x-1）/（x^2-1））;
运行结果
在matlab的commandwindow中调用写好的m文件，运行方式如下
>>iteration
输入初始值x0=
输入迭代次数k=
（1）
>>iteration_1
输入初始值x0=1
输入迭代次数k=5
计算格式
（1）最终运行结果如下：
x=
由此知，计算格式
（1）发散。
（2）
>>iteration_2
输入初始值x0=1
输入迭代次数k=5
计算格式
（2）最终运行结果如下：
x=0
由此知，计算格式
（2）收敛。
（3）
>>iteration_3
输入初始值x0=1
输入迭代次数k=8
计算格式
（2）最终运行结果如下：
x=
由此知，计算格式（3）收敛。
（4）
>>iteration_4
输入初始值x0=1
输入迭代次数k=5
计算格式
（2）最终运行结果如下：
x=
由此知，计算格式（4）收敛。
（5）
>>iteration_5
输入初始值x0=1
输入迭代次数k=8
计算格式（5）最终运行结果如下：
x=
由此知，计算格式（5）收敛。
（6）
>>iteration_6
输入初始值x0=2
输入迭代次数k=5
计算格式（6）最终运行结果如下：
x=
事后误差估计控制迭代次数，程序如下
（①注：
此程序只能够在迭代式收敛的情况下有意义；
②如果要采用不同的计算格式，只要将matlab程序的子函数中的迭代式修改即可。
）
function[k,control,xk]=iteration
%k为输出的迭代次数
%control为控制条件，使循环结束
%xk为迭代方程的一个根
%此函数只能够在迭代式收敛的情况下有意义
N=input（'输入最大迭代次数N='）;
x
（1）=input（'输入初始值x0='）;
m=input（'输入控制误差m='）;
fori=1:
N
x（i+1）=fun（x（i））
control=abs（x（i+1）-x（i））;
[（i-1）controlx（i）]
if（controlk=i;
xk=x（i）;
break
end
i=i+1;
end
functiony=fun（x）
y=（3*x+1）^（1/3）;
将程序存为m文件，并且进行调用，有如下运行方式（程序以计算格式（3）为例）
>>[kcontrolxk]=iteration
输入最大迭代次数N=30
输入初始值x0=1
输入控制误差m=
运行输出结果为：
x=
k=13
control=
xk=
有输出结果可以看出，方程的一个根为，迭代了13次，并且最后一次的偏差为。
3.初始值的选取对迭代收敛有何影响
如果函数在C[a，b]满足不动点的两个条件，那么对于任意的x0∈[a，b]，得到的迭代序列{xk}收敛到函数的不动点。
在此情况下，初始值的选取对迭代收敛没有任何影响，只是影响迭代收敛的速度和到达误差的精度要求的次数。
4.分析迭代收敛和发散的原因。
f（x）=0改写成等价的形式x=
（x），迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程=
（x）归结为一组显式的计算公式，就是说迭代工程实质上是一个逐步显化的过程。
当迭代下去不能趋于某个极值，这种现象成为发散。
如图所示，图1为收敛的情况，图2为发散的情况。
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