经典一元二次方程教案.docx
《经典一元二次方程教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经典一元二次方程教案.docx（40页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
经典一元二次方程教案
课时划分
本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：
1一元二次方程2课时
2降次──解一元二次方程7课时
3实际问题与一元二次方程5课时
4发现一元二次方程根与系数的关系2课时
第1课时22．1一元二次方程
（1）都只含一个未知数x；
（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意:
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
补充练习:
判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x+2=5y-3
（2）x2=4（3）3x2-
=0（4）x2-4=（x+2）2（5）ax2+bx+c=0
四、应用拓展
例3．求证：
关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：
要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：
m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
练习:
1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？
在什么条件下此方程为一元一次方程？
2.当m为何值时,方程（m+1）x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程
第2课时22．1一元二次方程
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：
要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：
将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值
练习:
关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:
如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0
例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？
可能等于10吗？
说说你的理由．
（2）完成下表：
x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
五、归纳小结
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．（“夹逼”方法;平方根的意义）
第3课时22.2.1直接开平方法
一、复习引入
（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
例1：
解方程：
（1）（2x-1）2=5
（2）x2+6x+9=2（3）x2-2x+4=-1
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
补充题：
如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±
，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
第4课时22.2.2配方法
（1）
一、复习引入
（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9（4）4x2+16x=-7
老师点评：
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±
或mx+n=±
（p≥0）．
如：
4x2+16x+16=（2x+4）2,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题2：
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0
（2）x2-2x-
=0
四、应用拓展
例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
第5课时22.2.2配方法
（2）
一、复习引入
（学生活动）解下列方程：
（1）x2-4x+7=0
（2）2x2-8x+1=0
例1．解下列方程
（1）2x2+1=3x
（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
四、应用拓展
例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
例3求证:
无论y取何值时,代数式-3y2+8y-6恒小于0.
五、归纳小结
本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
补充：
（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求x+y+z的值
（2）求证：
无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
第6课时22.2.3公式法
复习引入
1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
（1）x2=4
（2）（x-2）2=7
提问1这种解法的（理论）依据是什么？
提问2这种解法的局限性是什么？
（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。
）
2．面对这种局限性，怎么办？
（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。
）
（学生活动）用配方法解方程2x2+3=7x
（老师点评）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）现将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
二、探索新知
用配方法解方程
（1）ax2－7x+3=0
（2）ax2+bx+3=0
（3）如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：
已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=
，x2=
（这个方程一定有解吗?
什么情况下有解？
）
分析：
因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：
移项，得：
ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+
x=-
配方，得：
x2+
x+（
）2=-
+（
）2
即（x+
）2=
∵4a2>0，4a2＞0,当b2-4ac≥0时
≥0
∴（x+
）2=（
）2
直接开平方，得：
x+
=±
即x=
∴x1=
，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根．（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
）
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0
（2）x2+1.5=-3x（3）x2-
x+
=0（4）4x2-3x+2=0
分析：
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补:
（5）（x-2）（3x-5）=0
三、巩固练习
教材P42练习1．
（1）、（3）、（5）或
（2）、（4）、（6）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）
+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？
若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？
若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：
能．
（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①
或②
或③
解：
（1）存在．根据题意，得：
m2+1=2
m2=1m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-
．
（2）存在．根据题意，得：
①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：
x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-
．
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:
1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2）找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P45复习巩固4．
2．选用作业设计:
．
第7课时22.2.4判别一元二次方程根的情况
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0
（2）3x2-2
x+1=0（3）4x2+x+1=0
老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评
（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；
（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根.
二、探索新知
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
3x2-2
x+1=0
4x2+x+1=0
请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。
证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：
x=
，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，
等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=
≠x1=
，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义
=0，所以x1=x2=
，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）
（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=
，x2=
．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=
．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0
分析：
不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：
（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0
（2）x2-x-
=0（3）3x2+6x-5=0（4）4x2-x+
=0
（5）x2-
x-
=0（6）4x2-6x=0（7）x（2x-4）=5-8x
四、应用拓展
例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：
要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：
∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
a<-2
∵ax+3>0即ax>-3
∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
第7课时作业设计
教学后记：
．
第8课时22.2.5因式分解法
教学内容
用因式分解法解一元二次方程．
教学目标
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：
用因式分解法解一元二次方程．
2．难点与关键：
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：
（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为
，
的一半应为
，因此，应加上（
）2，同时减去（
）2．
（2）直接用公式求解．
二、探索新知
（学生活动）请同学们口答下面各题．
（老师提问）
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是
（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-
．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？
）
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）10x-4.9x2=0
（2）x（x-2）+x-2=0（3）5x2-2x-
=x2-2x+
（4）（x-1）2=（3-2x）2思考：
使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
解：
略（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。
）
练习：
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=
，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x两边同除以x，得x=1
三、巩固练习
教材P45练习1、2．
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式
的值．
分析：
要求
的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：
原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-
b或a=
b
当a=-
b时，原式=-
=3
当a=
b时，原式=-3．
四、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0
分析：
二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解
（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
下略。
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
五、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
六、布置作业
教材P46复习巩固5综合运用8、10拓广探索11．
第8课时作业设计
课后反思：
第9课时一元二次方程的解法复习课
教学内容习题课
教学目标
能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。
重难点关键
1．重点：
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。
2．难点：
通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。
教学过程
1．用不同的方法解一元二次方程3x2-5x-2=0（配方法，公式法，因式分解发）
教师点评：
三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解。
2把下列方程的最简洁法选填在括号内。
（A）直接开平方法（B）配方法（C）公式法（D）因式分解法
（1）7x-3=2x2（）
（2）4（9x-1）2=25（）（3）（x+2）（x-1）=20（）
（4）4x2+7x=2（）（5）2（0.2t+3）2-12.5=0（）（6）x2+2
x-4=0（）
说明:
一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。
其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。
3．将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。
（1）3x2=x+4
（2）（2x+1）（4x-2）=（2x-1）2+2（3）（x+3）（x-4）=-6（4）（x+1）2-2（x-1）2=6x-5
说明：
将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发的选择提供基础。
4.阅读材料，解答问题：
材料：
为解方程（x2-1）2-5（x2-1）2+4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体，然后设x2-1=y,原方程可化为y2-5y+4=0
.解得y1=1,y2=4。
当y1=1时，x2-1=1即x2=2，x=±
.当y2=4时，x2-1=4即x2=5,x=±√5。
原方程的解为x1=
x2=-
x3=√5,
x4=-√5
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到
的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现_______的数学思想。
（2）解方程x4—x2—6=0.
5.小结
（1）说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识
（消元、降次、化归的思想）
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：
将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：
①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
作业P58复习题221.
教学后记：
第10课时22.3实际问题与一元二次方程
（1）
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
重难点关键
1．重点：
用“倍数关系”建立数学模型
2．难点与关键：
用“倍数关系”建立数学模型
教学过程
一、复习引入
（学生活动）问题1：
列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数.③找等量关系.④列方程，
升级会员 