八年级数学 勾股定理的应用 北师大版.docx
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八年级数学勾股定理的应用北师大版
初二数学勾股定理的应用北师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
勾股定理的应用
1、圆柱侧面上两点间的距离
2、两线段是否垂直
3、勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用。
二、教学目标
1、掌握利用勾股定理解决圆柱侧面上两点间的距离的方法。
2、能利用勾股定理的逆定理判断两条线段是否垂直。
3、会把勾股定理与方程思想结合起来解决相应的实际问题。
4、掌握利用勾股定理及数形结合思想解决物品安置问题。
三、知识要点分析
1、圆柱侧面上两点间的距离问题
（这是重点）平面内两点之间，线段最短，即两点之间的所有连线中，最短路线是两点之间的线段。
但对于立体图形如圆柱体来说，两点之间的连线绝大部分是曲线，而解决圆柱侧面上两点间的距离时，需将圆柱的侧面展开成一个长方形，构造直角三角形，利用勾股定理来求。
2、两线段是否垂直
（这是重难点）判断两条线段是否垂直的方法较多，本节重点是利用直角三角形的判别条件来判断，即以已知两线段为边构造一个三角形。
根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题，解题时注意将实际问题转化为数学问题，将其中的数量关系归纳为直角三角形中各元素之间的关系。
3、勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用
勾股定理与方程思想、数形结合思想相结合的实际问题比较多，例如航海问题、折叠问题、物品安置问题、测量问题等等，都需要把勾股定理运用到方程思想、数形结合思想中。
【典型例题】
考点一：
圆柱侧面上两点间的距离
例1：
请阅读下列材料：
问题：
如图，一圆柱的底面半径及高AB均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。
小明设计了两条路线：
路线1：
侧面展开图中的两端AC。
如下图
（2）所示：
设路线1的长度为
，则
路线2：
高线AB+底面直径BC。
如上图
（1）所示：
设路线2的长度为
，则
∴
∴
所以选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：
“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算。
请你帮小明完成下面的计算：
路线1：
____________；
路线2：
__________
∵
∴
（填>或<）
所以应选择路线____________（填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究:
在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短。
【思路分析】本题是阅读理解题,题目信息量大,认真阅读从中找出做题的思想和方法,利用图形的展开与勾股定理进行求解．
解：
（1）线路1:
线路2:
36
∵
∴
（填>或<）
所以应选择路线___1_（填1或2）较短.
（2）线路1:
线路2:
∴
（填>或<）
所以应选择路线___1_（填1或2）较短.
方法与规律总结：
学会正确应用勾股定理，解决实际应用问题,学会处理信息和收集信息的能力.
例2：
如图，一架长5米的梯子
，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？
用所学知识论证你的结论．
【思路分析】下滑前后梯子的长度是不变的.梯子滑动前后底端与墙底的距离用勾股定理可以求得.
解：
是．
在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,AC2=AB2-BC2=42,AC=4米，DC=4-1=3.
在Rt△DCE中：
DC=3,DE=5,CE2=DE2-DC2=42,CE=4米．BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．
方法与规律:
学会画草图.画草图的过程实际就是将实际问题转化为数学问题的过程，即数学建模过程，利用直角三角形求线段长。
考点二：
线段是否垂直的问题
例3：
小月同学根据印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出的“荷花问题”编了一道“新荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，某处湖底生有莲，湖水深知3.75尺，面上红莲有半尺；忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远，恰露花朵在水面；此莲出泥而不染，是否亭亭立湖间？
【思路分析】首先要根据题意画出图形，构造成三角形，利用三角形的三边关系确定三角形是否是直角三角形，从而说明花是否与湖面垂直。
解：
根据题意画图如下：
BD=0.5尺,BC=3.75尺,AC=BD+BC=0.5+3.75=4.25尺,AB=2尺.在△ABC中,因为AB2+BC2=22+3.752=18.0625=4.252=AC2,所以∠ABC=90°.因为水面是水平的,故荷花亭亭立于湖水中.
友情提示:
本题的创新之处是以原材料为基础,创造出新的材料、新的背景，要判断荷花是否亭亭立，实际是判断CD⊥AB是否成立。
例4：
如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
【思路分析】先利用勾股定理的逆定理确定此三角形是直角三角形，然后利用等积法求出直角三角形斜边上的高。
解：
在△ABC中，AB2+BC2＝52+122＝169＝132,AC2＝132＝169,故AC2＝AB2+BC2，可判定△ABC是直角三角形。
由面积关系
即13BD＝12×5,解得BD＝
，即公路的最短距离BD=
km，∴最低造价为120000元.
考点三：
勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用
例5：
一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,1.5小时后两船相距多远?
【思路分析】根据题意画出图形,构造出直角三角形,利用勾股定理求解.
解：
如下图,由题意知△AOB为直角三角形,因为OA=16×1.5=24（海里）,OB=12×1.5=18（海里）.在Rt△AOB中,由勾股定理得AB2=OA2+OB2=242+182=576+324=900,所以AB=30海里。
所以1.5小时后两船相距30海里。
友情提示：
解决航行问题的关键是确定船的航行路线，理解方位角、灯塔等概念。
在确定航行路线时，一般会碰到几何图形的形状，这其中的直角三角形是最常见的图形之一，要确定它，就需利用直角三角形的判定条件。
例6：
如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落到点Cˊ处，BCˊ交AD于点E，AD=8,AB=4,求△BED的面积.
【思路分析】由于△BED的面积=
DE·AB,所以只要求出DE的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE.在Rt△ABE中,利用勾股定理列方程求出BE的长.
解:
因为四边形ABCD是长方形,所以AD∥BC,所以∠2=∠3,由折叠的过程知△BCD与△BCˊD关于直线BD对称,所以∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以BE=ED.设ED=x,则AE=AD-ED=8-x,
在Rt△ABE中,因为AB2+AE2=BE2,所以42+（8-x）2=x2,解得x=5,所以DE=5.所以△BED的面积:
DE·AB=
×5×4=10.
方法与规律总结:
本题是勾股定理与方程思想、数形结合思想的结合。
解决此类问题的关键是根据对称确定等量关系，然后利用勾股定理把问题转化成方程的问题求解。
例7：
有一个长、宽、高分别是0.3米，0.4米、1.2米的纸箱，那么，能放入纸箱内的竹竿的最大长度大约是多少米？
你能帮丽丽估计一下吗？
【思路分析】当竹竿倾斜放置时，竹竿的长度最大，由此可把问题转化成勾股定理的问题进行求解。
解：
如图所示，连接BD、DF，在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AD2+AB2,而DF2=BD2+BF2,所以DF2=AD2+AB2+BF2=0.32+0.42+1.22=1.69=1.32,所以DF=1.3.竹竿的最大长度约是1.3米.
【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲述了勾股定理的实际应用。
本讲所涉及到的数学思想主要是数形结合的数学思想以及方程的思想。
例如航海问题、折叠问题、物品安置问题、测量问题等等，都需要把勾股定理运用到方程思想、数形结合思想中。
预习导学案
（2）
（平方根）
一、预习前知
1、什么是无理数？
2、什么是平方根？
什么是算术平方根？
二、预习导学
探究与反思
探究任务①：
面积为2的正方形的边长a
1、借助计算器多次探索a的整数部分和小数部分
2、探索的结果可以发现a既不是整数，也不是分数。
【反思】
（1）什么是无理数？
（2）你能估计面积为10的正方形的边长x吗？
探究任务②：
算术平方根和平方根
1、回答课本提出的两个问题
2、归纳出算术平方根、平方根的概念
【反思】
（1）一个正数有几个平方根？
几个算术平方根？
（2）负数有没有算术平方根和平方根？
三、牛刀小试
1.在下列各数0，0.3，3.14，π，3.12103，5.21021002100021…中是无理数的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列说法正确的是（）
A.无理数是小数
B.有理数就是有限小数
C.正数、0、负数统称为有理数
D.无限小数是无理数
3．81的平方根是______。
4．________的算术平方根和平方根等于它本身。
5．若
，则x=________．
【模拟试题】（答题时间：
90分钟）
一、选择题
1.现有两根木棒，长度分别为44cm和55cm，若要钉成一个三角形的木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）cm
A.55B.44C.33D.22
2.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）
A.45mB.40mC.50mD.56m.
3.如图，已知雕塑底座的AB边长160cm,AD为120cm,要使AB垂直于AD,BD的长应为（）
A.180cmB.200cmC.220cmD.240cm
4.如图，在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（）
A.14mB.13mC.12mD.10m
﹡5.如图，在高为5m,坡长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）
A.17mB.18mC.25mD.26m
﹡6.已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点爬行到相对顶点的距离的平方为（）
A.8B.5C.3D.2
﹡7.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一会，再回到家里。
已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（）
A.正东方向B.正南方向C.正西方向D.正北方向
﹡8.如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是（）
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.以上答案都不对
二、填空题
9.一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放于杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为________cm.
﹡10.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20千米，遇到冰山后，又折向正东方向航行15千米，此时轮船与A点的距离为______。
11.如图，一个高2米，宽3米的大门上，在相对角的定点间加了一块加固木板，则以这块加固木板为边长的正方形的面积为______.
12.在△ABC中，∠C=90°，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以20cm/s的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要分钟的时间.
13.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
﹡14.在一个长6米，宽3米，高2米的房间里放进一根竹竿，这根竹竿最长是_______米。
﹡15.如图，某农户有一块直角三角形地，两直角边长分别为15米和36米，靠近这块地的斜边有一个长方形养鱼塘，已知鱼塘宽5米，则这个鱼塘的面积是________。
三、解答题
﹡﹡16.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
.
﹡﹡17.学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足
或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
（1）画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是
______mm；
_______mm；较长的一条边长
_______mm。
比较
（填写“＞”,“＜”,或“＝”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是
______mm；
_______mm；较长的一条边长
_______mm。
比较
（填写“＞”,“＜”,或“＝”）；
（3）根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:
；
。
⑷对你猜想
与
的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
【试题答案】
一、
1、C【思路分析】最短木棒说明是直角边，由此可以判断55cm是斜边，设最短木棒长为xcm,根据勾股定理得
即
，x=33.
2、B【思路分析】由题意知∠AOB是直角。
故由勾股定理得
，所以AB＝40.
3、B【思路分析】根据勾股定理的逆定理，当三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，则有
，所以BD=200cm.
4、D【思路分析】本题不能盲目地利用勾股定理求解。
当A沿AB-BC-CD这一路线时，旅程最小，是3+4+3=10m.
5、A【思路分析】地毯的两条直角边的和。
根据勾股定理可求另一条直角边为12m,故地毯的长度至少为12+5＝17m.
6、B【思路分析】把题目中的几何体侧面展开如下平面图形所示，则AB即为所求。
由勾股定理，得AB2=12+22=5.本题答案是B。
7、D【思路分析】由于52+122＝132,可以确定此三角形是直角三角形，且∠ACB是直角，故AC⊥BC，即点A在点C的正北方向。
本题答案是D。
8、A【思路分析】根据勾股定理可以计算出AC2=22+32=13,BC2=12+82=65,AB2=42+62=52,AC2+AB2=65,可见AC2+AB2=BC2,所以△ABC是直角三角形.
二、
9、30【思路分析】设在杯中的吸管的长度为xcm,由半径为10cm可知直径为20cm.根据勾股定理得x2=202+152=625=252,所以x=25,即在杯内的吸管的长度为25cm,故吸管的总长度为30cm.
10、25千米【思路分析】根据题意，画出图形如下，AC即为所求。
由勾股定理得，AC2＝AB2+BC2＝202+152=625=252,所以AC＝25.
11、13m2【思路分析】正方形的面积实际上就是以该大门的高、宽为直角边的直角三角形中，斜边的平方。
由勾股定理得斜边的平方＝22+32＝13.所以正方形的面积为13m2.
12、12【思路分析】根据勾股定理可求AB=100cm,所以蜗牛走的总路程为100+60+80=240cm,故用240÷20=12分钟.
13、4【思路分析】假设他们所走的路长为xm,根据勾股定理得x2＝32+42＝25=52,所以x=5,比实际少走了3+4-5＝2m,少走了2×2＝4步。
14、7【思路分析】如下图，若求AB，要利用两次勾股定理。
AB2＝22+32+62＝49＝72,故这根竹竿最长是7米。
15、195米2【思路分析】设长方形的长为xm,则根据勾股定理得x2＝362+152＝1521=392,所以x＝39.所以这个鱼塘的面积为39×5＝195米2.
三、
16.【思路分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后根据轴对称及角平分线的性质把问题转化成方程的问题来求解。
解：
在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB2＝AC2+BC2＝62+82＝100=102,即AB=10cm，错误！
链接无效。
可以知道△AED≌△ACD，所以AE=AC，DE=DC，∠AED=∠ACD=90°，设DC=xcm，则DE=xcm，BD=（8-x）cm，BE=4cm，（8-x）2=x2+42，解得x=3（cm）.
17.【思路分析】本题主要考查动手操作能力。
（1），
（2）两小题通过动手操作寻找答案即可。
（1）略
（2）略
（3）在锐角三角形中,三边满足
；
在钝角三角形中,三边满足
.
⑷如图,不妨设∠ACB为钝角，
作AD⊥BC于D点，则D点在BC的延长线上，∵AB2=AD2+BD2，
AC2=AD2+CD2，∴AB2－AC2=BD2－CD2=（BD+CD）（BD－CD）>BC2,
即c2－b2>a2,∴a2+b2
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