九年级上册数学期末测试题及答案.docx

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九年级上册数学期末测试题及答案

九年级上册数学期末测试题及答案

　　一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

　　1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（　　）

　　A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

　　C．没有实数根D．无法确定是否有实数根

　　考点：

根的判别式．

　　分析：

求出b2﹣4ac的值，再实行判断即可．

　　解答：

解：

x2﹣3x﹣5=0，

　　△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，

　　所以方程有两个不相等的实数根，

　　故选A．

　　点评：

本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．

　　2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（　　）

　　A．B．C．D．

　　考点：

锐角三角函数的定义．

　　分析：

直接根据三角函数的定义求解即可．

　　解答：

解：

∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，

　　∴sinA==．

　　故选A．

　　点评：

此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：

　　正弦函数的定义：

我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：

斜边=a：

c．

　　3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

　　A．长方体B．正方体C．圆柱D．圆锥

　　考点：

由三视图判断几何体．

　　分析：

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

　　解答：

解：

主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．

　　故选：

D．

　　点评：

本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．

　　4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（　　）

　　A．B．C．D．

　　考点：

概率公式．

　　分析：

由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．

　　解答：

解：

∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，

　　∴抽到的座位号是偶数的概率是：

=．

　　故选C．

　　点评：

此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

　　5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（　　）

　　A．1B．2C．4D．8

　　考点：

位似变换．

　　专题：

计算题．

　　分析：

根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．

　　解答：

解：

∵C1为OC的中点，

　　∴OC1=OC，

　　∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，

　　∴=，B1C1∥BC，

　　∴=，

　　∴=，

　　即=

　　∴A1B1=2．

　　故选B．

　　点评：

本题考查了位似变换：

如果两个图形不但是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：

①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．

　　6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论准确的是（　　）

　　A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0

　　考点：

反比例函数图象上点的坐标特征．

　　专题：

计算题．

　　分析：

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．

　　解答：

解：

∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，

　　∴y1=﹣，y2=﹣，

　　∵x1＜0＜x2，

　　∴y2＜0＜y1．

　　故选B．

　　点评：

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：

反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

　　7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（　　）

　　A．B．C．1D．2

　　考点：

垂径定理；全等三角形的判定与性质．

　　分析：

根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．

　　解答：

解：

∵OD⊥AC，AC=2，

　　∴AD=CD=1，

　　∵OD⊥AC，EF⊥AB，

　　∴∠ADO=∠OFE=90°，

　　∵OE∥AC，

　　∴∠DOE=∠ADO=90°，

　　∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，

　　∴∠DAO=∠EOF，

　　在△ADO和△OFE中，

　　，

　　∴△ADO≌△OFE（AAS），

　　∴OF=AD=1，

　　故选C．

　　点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：

垂直于弦的直径平分这条弦．

　　8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　）

　　A．线段EFB．线段DEC．线段CED．线段BE

　　考点：

动点问题的函数图象．

　　分析：

作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．

　　解答：

解：

作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G．

　　由垂线段最短可知：

当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；

　　由垂线段最短可知：

当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B准确；

　　∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；

　　由垂线段最短可知：

当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；

　　故选：

B．

　　点评：

本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．

　　二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

　　9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为　3π　cm2．（结果保留π）

　　考点：

扇形面积的计算．

　　专题：

压轴题．

　　分析：

知道扇形半径，圆心角，使用扇形面积公式就能求出．

　　解答：

解：

由S=知

　　S=×π×32=3πcm2．

　　点评：

本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=．

　　10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　24　m．

　　考点：

相似三角形的应用．

　　分析：

根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．

　　解答：

解：

设这栋建筑物的高度为xm，

　　由题意得，=，

　　解得x=24，

　　即这栋建筑物的高度为24m．

　　故答案为：

24．

　　点评：

本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．

　　11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为　x1=﹣2，x2=1　．

　　考点：

二次函数的性质．

　　专题：

数形结合．

　　分析：

根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．

　　解答：

解：

∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），

　　∴方程组的解为，，

　　即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．

　　故答案为x1=﹣2，x2=1．

　　点评：

本题考查了二次函数的性质：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．

　　12．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：

F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：

F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．

（1）求：

F2（4）=　37　，F2020（4）=　26　；

（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是　6　．

　　考点：

规律型：

数字的变化类．

　　专题：

新定义．

　　分析：

通过观察前8个数据，能够得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．

　　解答：

解：

（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；

　　F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，

　　F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，

　　通过观察发现，这些数字7个一个循环，2020是7的287倍余6，所以F2020（4）=26；

（2）由

（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），所以3m=18，所以m=6．

　　故答案为：

（1）37，26；

（2）6．

　　点评：

本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据能够得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．

　　三、解答题（共13小题，满分72分）

　　13．计算：

（﹣1）2020+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．

　　考点：

实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

　　专题：

计算题．

　　分析：

原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．

　　解答：

解：

原式=﹣1+﹣1+2=．

　　点评：

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　　14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：

△ACD∽△BCE．

　　考点：

相似三角形的判定．

　　专题：

证明题．

　　分析：

根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．

　　解答：

证明：

∵AB=AC，D是BC中点，

　　∴AD⊥BC，

　　∴∠ADC=90°，

　　∵BE⊥AC，

　　∴∠BEC=90°，

　　∴∠ADC=∠BEC，

　　而∠ACD=∠BCE，

　　∴△ACD∽△BCE．

　　点评：

本题考查了相似三角形的判定：

有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．

　　15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．

　　考点：

一元二次方程的解．

　　专题：

计算题．

　　分析：

把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．

　　解答：

解：

把x=m代入方程得：

m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，

　　则原式===3．

　　点评：

此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　　16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．

　　考点：

二次函数图象与几何变换．

　　专题：

计算题．

　　分析：

因为抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．

　　解答：

解：

设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，

　　把点A（0，3），B（2，3）分别代入得，解得，

　　所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．

　　点评：

本题考查了二次函数图象与几何变换：

因为抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：

一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

　　17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

　　考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

　　分析：

（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；

（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．

　　解答：

解：

（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，

　　∴点A坐标为（2，4），

　　∵点A在反比例函数y=的图象上，

　　∴k=2×4=8，

　　∴反比例函数的解析式为y=；

（2）∵AC⊥OC，

　　∴OC=2，

　　∵A、B关于原点对称，

　　∴B点坐标为（﹣2，﹣4），

　　∴B到OC的距离为4，

　　∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，

　　∴S△OPC=8，

　　设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，

　　∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，

　　∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．

　　点评：

本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在

（1）中求得A点坐标、在

（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．

　　18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．

（1）求线段CD的长；

（2）求cos∠ABE的值．

　　考点：

解直角三角形；勾股定理．

　　专题：

计算题．

　　分析：

（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；

（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CDBE=ACBC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．

　　解答：

解：

（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，

　　∴sinA==，

　　而BC=8，

　　∴AB=10，

　　∵D是AB中点，

　　∴CD=AB=5；

（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，

　　∴AC==6，

　　∵D是AB中点，

　　∴BD=5，S△BDC=S△ADC，

　　∴S△BDC=S△ABC，即CDBE=ACBC，

　　∴BE==，

　　在Rt△BDE中，cos∠DBE===，

　　即cos∠ABE的值为．

　　点评：

本题考查了解直角三角形：

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．

　　19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．

　　考点：

根的判别式；根与系数的关系．

　　专题：

计算题．

　　分析：

（1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；

（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．

　　解答：

解：

（1）由已知得：

m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，

　　则m的范围为m≠0且m≠2；

（2）方程解得：

x=，即x=1或x=，

　　∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，

　　∵＞﹣1，

　　∴＞﹣1，即m＞﹣2，

　　∵m≠0且m≠2，

　　∴﹣2＜m＜0，

　　∵m为整数，

　　∴m=﹣1．

　　点评：

此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．

　　20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相对应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；

　　质量档次12…x…10

　　日产量（件）9590…100﹣5x…50

　　单件利润（万元）68…2x+4…24

　　为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？

并求出当天利润的值．

　　考点：

二次函数的应用．

　　分析：

（1）根据总利润=单件利润×销售量就能够得出y与x之间的函数关系式；

（2）由

（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就能够求出结论．

　　解答：

解：

（1）由题意，得

　　y=（100﹣5x）（2x+4），

　　y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；

　　答：

y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；

（2）∵y=﹣10x2+180x+400，

　　∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．

　　∵1≤x≤10的整数，

　　∴x=9时，y=1210．

　　答：

工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元．

　　点评：

本题考查了总利润=单件利润×销售量的使用，二次函数的解析式的使用，顶点式的使用，解答时求出函数的解析式是关键．

　　21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求证：

直线PC是⊙O的切线；

（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．

　　考点：

切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．

　　分析：

（1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；

（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．

　　解答：

（1）证明：

连接OC．

　　∵AD与⊙O相切于点A，

　　∴FA⊥AD．

　　∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴AD∥BC，

　　∴FA⊥BC．

　　∵FA经过圆心O，

　　∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，

　　∴∠COF=2∠BAF．

　　∵∠PCB=2∠BAF，

　　∴∠PCB=∠COF．

　　∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，

　　∴∠OCE+∠PCB=90°．

　　∴OC⊥PC．

　　∵点C在⊙O上，

　　∴直线PC是⊙O的切线．

（2）解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴BC=AD=2．

　　∴BE=CE=1．

　　在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，

　　∴．

　　设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．

　　在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

　　∴OC2=OE2+CE2．

　　∴r2=（3﹣r）2+1．

　　解得，

　　∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．

　　∴△OCE∽△CPE，

　　∴．

　　∴．

　　∴．

　　点评：

此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

　　22．阅读下面材料：

　　小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：

对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都能够在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．

　　请回答：

（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就能够构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．

　　请你帮小明计算：

OC=　　；tan∠AOD=　5　；

　　解决问题：

　　如图3，计算：

tan∠AOD=　　．

　　考点：

相似形综合题．

　　分析：

（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；

（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质能够求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；

　　（3）如图，连接AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，能够求出AO=，在Rt△AOF中，能够求出OF=，故可求得tan∠AOD．

　　解答：

解：

（1）如图所示：

　　线段CD即为所求．

（2）如图2所示连接AC、DB、AD．

　　∵AD=DE=2，

　　∴AE=2．

　　∵CD⊥AE，

　　∴DF=AF=．

　　∵AC∥BD，

　　∴△ACO∽△DBO．

　　∴CO：

DO=2：

3．

　　∴CO=．

　　∴DO=．

　　∴OF=．

　　tan∠AOD=．

　　（3）如图3所示：

　　根据图形可知：

BF=2，AE=5．

　　由勾股定理可知：

AF==，AB==．

　　∵FB∥AE，

　　∴△AOE∽△BOF．

　　∴AO：

OB=AE：

FB=5：

2．

　　∴AO=．

　　在Rt△AOF中，OF==．

　　∴tan∠AOD=．

　　点评：

本题主要考查的是相似三角形的性质和判定