第十九讲 数据的收集与整理.docx
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第十九讲数据的收集与整理
第十九讲数据的收集与整理
一、课标下复习指南
（一）数据的收集和整理
1．全面调查与抽样调查
统计调查分全面调查和抽样调查两种，实际中常采用抽样调查的方式．
（1）考察全体对象的调查属于全面调查．
（2）从总体中抽取样本进行调查，属于抽样调查．抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查，简称抽查．抽查体现了用样本估计总体的思想．
（3）总体、个体及样本
总体：
所要考察对象的全体，称为总体；
个体：
总体中的每一个考察对象，称为个体；
样本：
从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本．
样本中个体的数目称为样本容量．
说明抽样调查是实际中应用非常广泛的一种调查方式，它是从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查；常采用问卷调查等调查方式．
用划记法记录数据，通过表格整理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律．
说明对于不同的抽样，可能得到不同的结果．
2．频数与频率
（1）频数：
落在不同小组中的数据个数称为该组的频数．
（2）频数与数据总数的比称为频率．频率反映了各组频数在总数中所占的百分比．
3．几种常见的统计图表
（1）条形图
将数据按要求分成若干小组，并用“划记”的方法统计出各小组的频数；再根据统计的频数画出条形图．
（2）扇形图
将数据按要求分成若干小组，统计出各小组的频数，并算出各组的频数占数据总数的百分比；画一个圆，并规定圆的面积表示100％；算出各百分数所对应的扇形的圆心角的度数，用量角器画出各扇形，并标出各百分数．
（3）折线图
以横轴表示统计的时间，纵轴表示数据，建立平面直角坐标系；在坐标平面内描点；用线段从左到右将这些点依次连接起来．
（4）频数分布直方图
用频数分布直方图描述数据的一般步骤为：
计算最大值与最小值的差；确定组距与组数；决定分点；列数频分布表；画频数分布直方图．
①把数据按一定的规律分成组的个数为组数，每一组两个端点的差称为组距．
；
②数据分组时，对数据要遵循“不重不漏”的原则，既不能有一个数据同时落在两个组内重复出现的现象，也不能有一个数据不在任何组内的遗漏现象；
③频数分布直方图能够显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
（5）频数折线图
频数折线图可以在频数分布直方图的基础上画出来．取频数分布直方图中每一个矩形上边的中点，然后在横轴上取两个频数为0的点，即在直方图的左边和右边各取一个频数为0的点，再用线段从左到右将这些点依次连接起来．
说明利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律．
（1）条形图：
能显示具体数据，易于比较数据差别；
（2）扇形图：
用扇形的面积占圆的面积的百分比表示部分在总体中所占百分比，易于显示每组数据相对于总体的大小；
（3）折线图：
易于显示数据的变化趋势；
（4）直方图：
能显示各组频数分布的情况，易于显示各组之间频数的差别．
（二）数据的分析
1．平均数、众数与中位数
（1）算术平均数
（2）加权平均数
如果一组数据中，x1，x2，x3，…，xk出现的次数分别是f1，f2，f3，…，fk，那么这组数据的加权平均数
（3）众数与中位数
①在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数（一组数据的众数有时不止一个）；
②将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，把处在最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
③众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．
（4）平均数、中位数、众数的特征
①平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的平均水平；
②平均数容易受极端值的影响，而中位数则不能充分利用所有数据的信息，众数在各个数据的重复次数大致相等时往往没有特别的意义．
2．极差和方差、标准差
（1）极差：
一组数据中数据最大值减去最小值的差叫做这组数据的极差．
①极差用来反映一组数据变化范围的大小，是刻画数据离散程度的最简单的统计量；
②极差受极端值的影响较大，不能反映中间数据的离散情况．
（2）方差：
在一组数据x1，x2，x3，…，xn中，各数据与它的平均数
的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差，即
①方差是用来反映一组数据波动情况的特征数，常常用来比较两组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；
②方差的单位是原数据单位的平方．
（3）标准差：
一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即
*标准差的计算公式：
说明
（1）一组数据的众数可以不唯一，但一定出现在这组数据中；而一组数据的其他统计量都是唯一的，但未必出现在这组数据中；
（2）一组数据都在常数a上下波动，即x'1＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a时，平均数
；方差s'2＝s2．
二、例题分析
例1下列调查方式，合适的是（）．
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式
B．要了解甘肃电视台“陇原风貌”栏目的收视率，采用普查方式
C．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式
D．要了解人们对环境的保护意识，采用抽查方式
解D．
说明当一项调查具有破坏性或以现有的人力、物力、财力很难（或没有必要）进行普查时，就选择抽查，对像“神舟六号”重要零部件的检查这类调查则必须选择普查．
例2某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：
m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为（）．
A．150人B．300个C．600人D．900人
分析1200名女生就有1200个身高，故数据总数为1200．同理，该组的人数即为落在该组的数据个数，即该组的频数．由频率＝频数÷数据总数得，频数＝频率×数据总数＝0.25×1200＝300．故该组的人数为300人．故选B．
说明对频数与频率的考查大多数放置于数据处理的背景之下，侧重于对概念的理解与运用，单独考查时一般以填空和选择的题型出现，但更多的是与统计图等结合考查．
例3我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温（℃）
25
26
27
28
天数
1
1
2
3
则这组数据的中位数与众数分别是（）．
A．27℃，28℃B．27.5℃，28℃
C．28℃，27℃D．26.5℃，27℃
分析由上表可知，一共统计了7个数据，将它们按从小到大排列为25，26，27，27，28，28，28，第4个数据是27，故这组数据的中位数是27（℃）．又数据28出现的次数最多，所以众数是28（℃）．故选A．
说明
（1）求中位数时，先看这组数据的个数是奇数还是偶数，然后将这组数据按从小到大的顺序排列．若有奇数个数据，则最中间那个数据就是这组数据的中位数；若有偶数个数据，则最中间两个数据的平均数即是这组数据的中位数；
（2）求众数时，先数出各数据在这组数据中出现的次数，出现次数最多的数据就是这组数据的众数．有时一组数据的众数不只一个．
例4某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙3名候选人进行了笔试和面试两项测试，3人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
图19－1
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图19－1所示，每得一票记作1分．
（1）请算出三人的民主评议得分；
（2）如果根据三颂测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01）?
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的4∶3∶3比例确定个人成绩，那么谁将被录用?
解
（1）三人民主评议的得分分别为：
甲200×25％＝50（分），乙200×40％＝80（分），丙200×35％＝70（分）．
（2）按三项平均成绩计算，甲的成绩是
（75＋93＋50）≈72.67，乙的成绩是
（80＋70＋80）≈76.67，丙的成绩是
（90＋68＋70）＝76.00．乙的成绩最高，他将被录用．
（3）若笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定，三人的成绩分别为：
丙的成绩最高，他将被录用．
说明
（1）计算加权平均数，随着权数的不同，结果可能不同．权数最大的数据对平均数的结果影响最大；
（2）在实际问题中，往往采用加权平均数算法，而很少用算术平均数的算法．
例5甲、乙两同学近期5次百米跑测试成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差
＝4，乙同学成绩的方差
＝3.1，则对他们测试成绩的稳定性判断正确的是（）．
A．甲的成绩较稳定
B．乙的成绩较稳定
C．甲、乙成绩的稳定性相同
D．甲、乙成绩的稳定性无法比较
分析因为方差越小，波动就越小，且
＞
，所以乙同学的成绩波动就小，即乙的成绩较稳定．故选B．
说明中考对极差、方差和标准差这三个统计量的考查，主要侧重于在实际情景中对其意义的理解，以及根据统计结果做出合理的判断和预测．
例6某校从甲、乙两名优秀选手中选择一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8狄，测试成绩如下表：
（单位：
s）
1
2
3
4
5
6
7
8
甲选手的成绩
12.1
12.2
13.0
12.5
13.1
12.5
12.4
12.2
乙选手的成绩
12.0
12.4
12.8
13.0
12.2
12.8
12.3
12.5
根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好?
为什么?
解通过计算，可得
＝12.5，
＝12.5，
＝0.12，
＝0.1025．
∵
＝
，∴两位选手的平均成绩相等．
又∵
＝
，∴乙选手的成绩更稳定．
因此应该派乙选手去参加比赛．
说明
（1）当用求平均数的方法（包括众数和中位数）无法比较两组数据的集中趋势时，还要用方差（包括极差）进一步比较两组数据的波动情况；看谁的波动小，就说明谁更稳定．
（2）变式练习：
在一次毕业考试中，某校九年级
（1）、
（2）两班学生数学成绩统计如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人
（1）班
3
5
16
3
11
12
数
（2）班
2
5
11
12
13
7
请你根据所学的统计知识，分别从①平均数；②众数；③方差等不同的角度判断，综合分析这两个班中哪个班的考试成绩更加优秀．
解通过观察和计算，
九年级
（1）班：
平均数80，众数70，方差244；
九年级
（2）班：
平均数80，众数90，方差180．
从平均数看，两个班考试成绩相当，不分优劣；从众数看
（2）班成绩较好；从方差看
（2）班成绩较稳定；综上所述
（2）班成绩更加优秀．
（3）比较的角度不同，所得结论不一定相同．
三、课标下新题展示
例7某校为了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年
（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘成如下两幅统计图（见图19－2），请你结合图中所给信息解答下列问题：
图19－2
（说明：
A级：
90分～100分；B级：
75分～89分；C级：
60分～74分；D级：
60分以下）
（1）求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；
（2）求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；
（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；
（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人?
解
（1）4％；
（2）72°；（3）B；
（4）依题意知：
A级和B级学生的人数和占全班总人数的76％，500×76％＝380，所以估计这次考试中A级和B级的学生共有约380人．
例8在第49届世界乒乓球锦标赛中，男子单打决赛在我国选手马琳和王励勤之间展开．双方苦战七局，最终王励勤以4∶3获得胜利．七局比分如下表：
局数
得分
姓名
一
二
三
四
五
六
七
马琳
11
11
5
11
8
9
6
王励勤
9
7
11
8
11
11
11
（1）请将七局比分的相关数据的分析结果直接填入下表中（结果保留两个有效数字）．
项目
分析
结果
姓名
平均分
众数
中位数
马琳
8.7
9.0
王励勤
11
（2）中央电视台在此次现场直播时，开展了“短信互动，有奖竞猜”活动，凡是参与短信互动且预测结果正确的观众，都能参加“乒乓大礼包”的抽奖活动．据不完全统计，有32320名观众参与了此次短信互动活动，其中有50％的观众预测王励勤获胜．刘敏同学参加了本次“短信互动”活动，并预测了王励勤获胜，如果从中抽取20名幸运观众，并赠送“乒乓大礼包”一份，那么刘敏同学中奖概率有多大?
解
（1）马琳得分的众数为11；王励勤得分的平均数为9.7，中位数为11．
（2）根据题意，预测正确的观众总数为32320×50％＝16160，他们成为幸运观众的可能性相同，而幸运观众数为20，故刘敏中奖的概率为
四、课标考试达标题
（一）选择题
1．某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是（）．
A．在公园调查了1000名老年人的健康状况
B．在医院调查了1000名老年人的健康状况
C．调查了10名老年邻居的健康状况
D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10％的老年人的健康状况
2．图19－3中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是（）．
图19－3
3．某地今年1月1～4日每天的最高气温与最低气温如下表：
日期
1月1日
1月2日
1月3日
1月4日
最高
气温
5℃
4℃
0℃
4℃
最低
气温
0℃
－2℃
－4℃
－3℃
其中温差最大的是（）．
A．1月1日B．1月2日
C．1月3日D．1月4日
4．已知样本x1，x2，x3，x4的平均数是2，则x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数为（）．
A．2B．2.75C．3D．5
5．数学老师对小明参加的四次中考数学模拟考试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，因此老师需要知道小明这四次数学成绩的（）．
A．平均数B．众数C．中位数D．方差6．在1000个数据中，用适当的方法抽取了50个数据作为样本进行统计．频率分布表中，
在54.5～57.4这一组的频率是0.12，那么估计总体落在这一组之间的数据有（）．
A．120个B．60个C．12个D．6个
（二）填空题
7．在扇形统计图中，占圆12％的扇形的圆心角是______°，圆心角是144°的扇形占它所在圆的面积的______（填百分数）．
8．班主任为了解学生周末在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家的学习时间如下表所示．那么这六位学生学习时间的众数是______，中位数是______．
学生姓名
小丽
小明
小颖
小华
小乐
小恩
学习时间
（小时）
4
6
3
4
5
8
9．数据－2，－1，0，1，2的方差是______．
10．某生物小组11人到校外采集植物标本，其中有2人每人采集到6件，有4人每人采集到3件，有5人每人采集到4件，则这个小组平均每人采集标本______件．
（三）解答题
11．宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物吞吐量位居中国内地第二、世界排名第五，成功跻身于国际大港行列．如图19－4是宁波港1994年至2004年货物吞吐量统计图．
图19－4
（1）从统计图中你能发现哪些信息，请说出两个；
（2）有人判定宁波港货物吞吐量每两年间的增长率都不超过30％，你认为他的说法正确吗?
请说明理由．
12．某校初一年级学生每人都只使用甲、乙、丙三种品牌中的一种计算器，图19－5是该年级全体学生使用3种不同品牌计算器人数的频率分布直方图．
图19－5
（1）求该校初一年级学生的总人数；
（2）你认为哪种品牌计算器的使用频率最高?
并求出这个频率．
（3）通过以上统计结果，请你给为学校供货的商家提出一条进货的合理化建议．
参考答案
第十九讲数据的收集与整理
1．D．2．D．3．D．4．D．5．D．6．A．
7．43.2，40％．8．4，4.5．9．2．10．4．
11．
（1）略；
（2）不对；比如1994年到1996年的年增长率为30.6％，超过了30％．
12．
（1）20＋60＋120＝200（人）；
（2）丙牌使用频率最高，为
＝60％；
（3）多进丙牌计算器．
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