云南中考数学总复习专题训练专题三 圆切线的相关证明及计算精品教育doc.docx

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专题三　圆切线的相关证明及计算

类型一角平分线模型

（2019·云南省卷）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】

（1）连接OC，先证明∠OAC＝∠OCA，结合AC平分∠BAE，得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；

（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影＝S△COD－S扇形OBC即可得到答案．

【自主解答】

1．（2019·营口）如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAD＝，BF＝15，求AC的长．

2．如图，半圆O的直径AB＝5，AC、AD为弦，且AC＝3，AD平分∠BAC，过D作AC延长线的垂线，垂足为E.

（1）求证：

DE为⊙O的切线；

（2）求AD的长．

3．（2019·聊城）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．

4．（2019·咸宁）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝2，BC＝，求DE的长．

5．（2019·原创）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠CAB＝30°，⊙O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分∠AOC交弧AC于点E，连接AE，EC.

（1）求证：

CB是⊙O的切线；

（2）若M在边AC上，OM＝CM＝2，求△ABC的面积．

6．（2019·成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）设AB＝x，AF＝y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；

（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的长．

类型二弦切角模型

（2019·云南省卷）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.　

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．

【自主解答】

1．（2019·玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．

2．（2019·齐齐哈尔）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC.　

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．

3．（2019·曲靖二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作∠ADE＝∠A，交AC于点E.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若BC＝15，tanA＝，求DE的长．

4．（2019·兰州）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，∠ACD＝∠B.　

（1）求证：

DC为圆O的切线；

（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F，且∠CEF＝45°，圆O的半径为5，sinB＝，求CF的长．

类型三双切线模型

（2019·云南省卷）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.　

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；

（3）设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．

【分析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA，由平行线的性质得到∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠BOP，由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到CD·OP＝OC2，根据已知条件得到＝，由三角函数的定义即可得到结论；（3）连接BC，根据勾股定理得到BC＝＝12，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时d＋f的值，从而得到结论．

【自主解答】

1．（2019·曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC.　

（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若PC＝，求四边形OCDB的面积．

2．（2019·江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.

（1）求证：

AB为⊙O的切线；

3．（2019·临沂）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积．

4．（2019·武汉）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.　

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值．

参考答案

【专题类型突破】

类型一

【例1】

（1）证明：

如解图，连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC＝∠CAE，

∴∠OCA＝∠CAE，

∴OC∥AE，

∴∠OCD＝∠E，

∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴OC⊥CD，

又∵点C在圆O上，

∴DE是圆O的切线；

（2）解：

∵在Rt△AED中，∠D＝30°，AE＝6，

∴AD＝2AE＝12，

在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，

∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，

∴DB＝OB＝OC＝AD＝4，DO＝8，

∴CD＝＝＝4，

∴S△OCD＝＝＝8，

∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，

∴∠DOC＝60°，

∴S扇形OBC＝π·OC2＝π，

∵S阴影＝S△COD－S扇形OBC，

∴S阴影＝8－，

即阴影部分的面积为8－.

针对训练

1．

（1）证明：

如解图，连接OC，

∵点C是的中点，

∴＝，∴OC⊥BE.

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，

∴AD∥OC.

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，连接BC，

在△AEF和△BCF中，

∴△AEF∽△BCF，

∴＝，

∵cos∠CAD＝＝，

∴＝＝.

BC＝BF＝12.

∵cos∠CAD＝，∴tan∠CAD＝＝，

∵点C是的中点，∴＝，∠BAC＝∠CAE，

在Rt△ABC中，tan∠BAC＝tan∠CAE＝＝，

∴AC＝BC＝16.

2．

（1）证明：

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠OAD，

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD.

∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，连接BC交OD于点F.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理可知BC＝4.

∵OD∥AE，∴OD⊥BC，∴CF＝BF＝2，

∵DE⊥AE，BC⊥AE，∴DE∥BC，

∴四边形CEDF是矩形，

∴DE＝CF＝2，又易得OF＝AC＝，

∴CE＝DF＝DO－OF＝－＝1，∴AE＝4，

在Rt△ADE中，AD＝＝＝2.

3．

（1）证明：

连接OE，如解图，

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC.

∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.

又∵∠C＝90°，

∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE.

又∵OE是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：

在△BCE与△BED中，

∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，　

∴△BCE∽△BED.

∴＝，

∵BE＝4，BD是⊙O的直径，BD＝5，

∴＝，BC＝，

又∵OE∥BC，∴＝，

∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，

∴＝，解得AD＝.

4．

（1）证明：

连接OD，如解图．

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°.

∴∠AOD＝90°.

∵DE∥AC，

∴∠ODE＝∠AOD＝90°，即OD⊥DE.

又∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：

在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，

∴AC＝＝5，

∴OD＝.

过点C作CG⊥DE，垂足为G，

则四边形ODGC为正方形，∴DG＝CG＝OD＝.

∵DE∥AC，

∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，

∴＝，即＝，

∴GE＝，

∴DE＝DG＋GE＝.

5．

（1）证明：

∵CA＝CB，OA＝OC，　

∴∠B＝∠OCA＝∠OAC＝30°.　

∴∠OCB＝180°－∠OAC－∠OCA－∠B＝90°，

∴CB⊥CO，

∵OC为⊙O的半径，

∴CB是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，过C点作CF⊥AB交AB于点F，则AF＝BF，

∵OM＝CM＝2，∴∠MOC＝∠MCO＝30°，

∵OA＝OC，∠CAB＝30°.

∴∠AOC＝120°，

∴∠AOM＝90°，

在Rt△AOM中，AM＝2OM＝4，

∴AC＝6，

在Rt△ACF中，CF＝AC＝3，

AF＝CF＝3，

∴AB＝2AF＝6，

∴S△ABC＝×6×3＝9.

6．

（1）证明：

如解图，连接OD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.

∴∠ODA＝∠CAD.

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠C＝90°，

即OD⊥BC.

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：

连接DF，如解图．

∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.

∴∠ODF＝（180°－∠DOF）＝90°－∠DOF.

∴∠FDC＝90°－∠ODF＝∠DOF.

∵∠DAF＝∠DOF，∴∠FDC＝∠DAF.

∴∠FDC＝∠ODA.

∵∠ADB＝90°＋∠ODA，∠AFD＝90°＋∠FDC，

∴∠ADB＝∠AFD.

∵∠BAD＝∠DAF，

∴△ABD∽△ADF.

∴＝.

∴AD2＝AB·AF＝xy.

∴AD＝；

（3）解：

如解图，连接EF.

在Rt△BOD中，sinB＝＝.

设⊙O的半径为r，∴＝，解得r＝5.

经检验，r＝5是所列分式方程的解．

∴AE＝10，AB＝18.

∵AE是⊙O直径，∴∠AFE＝90°.

∵∠C＝90°，

∴EF∥BC.

∴∠AEF＝∠B.

∴sin∠AEF＝sinB＝，

∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×＝.

∵OD∥AC，

∴△AGF∽△DGO，

∴＝＝＝，

∴DG＝AD.

∵AD＝＝＝，

∴DG＝×＝.

类型二

【例2】

（1）证明：

如解图，连接OC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

即∠ACO＋∠OCB＝90°.

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠BAC.

∵∠BCD＝∠BAC，

∴∠ACO＝∠BCD.

∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°.

∴OC⊥CD.

又∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：

∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，

∴∠BOC＝60°，OD＝2OC.

∴∠AOC＝120°，∠A＝30°.

设⊙O的半径为x，则OB＝OC＝x.

∴x＋2＝2x.

解得x＝2.

如解图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，则AE＝CE，

在Rt△OEA中，OE＝OA＝1，AE＝＝＝.

∴AC＝2.

∴S阴影＝S扇形OAC－S△OAC

＝－×2×1

＝π－.

针对训练

1．

（1）证明：

∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠B＋∠BAD＝90°，

∵∠DAC＝∠B，

∴∠DAC＋∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，且AB是⊙O的直径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：

∵∠BCE＝∠B，

∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，

在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8，

∴AC＝4，

在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，

∴x2＝（8－x）2＋42，

解得x＝5，

∴CE＝5.

2．

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠A＋∠ABD＝90°，

又∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，　

∴∠A＝∠DBC.

∴∠DBC＋∠ABD＝90°，

∴AB⊥BC，

又∵OB是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，连接OD，

∵BF＝BC＝2，∠ADB＝90°，

∴∠CBD＝∠FBD.

又∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB.

∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.

∴∠CBD＝∠EBD＝∠OBE＝∠ABC＝30°，

∴∠C＝60°.∴AB＝BC＝2，

∴⊙O的半径为.

∵∠OBD＝∠OBE＋∠EBD＝60°，OB＝OD，

∴△OBD是等边三角形，∠BOD＝60°，

∴阴影部分的面积为S扇形OBD－S△OBD＝π×3－××＝－.

3．

（1）证明：

如解图，连接OD，

∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，

又∵∠A＝∠ADE，

∴∠ADE＋∠ODB＝∠A＋∠B＝90°，

∴∠ODE＝180°－90°＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：

在Rt△ABC中，tanA＝＝，

∴＝，解得AC＝20，

∵EC⊥BC，BC为⊙O的直径，∴EC是⊙O的切线，

又∵∠A＝∠ADE，∴ED＝EA，∴ED＝AE＝CE，

∴DE＝AC＝×20＝10.

4．

（1）证明：

如解图，连接OC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCA＋∠OCB＝90°，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD＋∠OCA＝90°，

∴OC⊥CD，且OC是圆O的半径，

∴CD是圆O的切线；

（2）解：

∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，

∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴CF＝CE.

∵sinB＝＝，∴AC＝6，由勾股定理得，BC＝8，

∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠COB，

∴△CAD∽△BCD，

∴＝＝，

设AD＝3x，CD＝4x，

在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝OD2，即52＋（4x）2＝（5＋3x）2，

解得x＝0（舍去）或x＝，

∴AD＝，CD＝，

∵∠CEF＝∠ACD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠BDF，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠CDE＝∠BDF，

∴△CDE∽△BDF，

∴＝，即＝，

∵CE＝CF，

∴CF＝.

类型三

【例3】

（1）证明：

如解图，连接OC，

∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，

∵AC∥OP，∴∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，

∴∠COP＝∠BOP，

∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠OBP＝90°，

在△POC与△POB中，

，

∴△COP≌△BOP，

∴∠OCP＝∠OBP＝90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，过O作OD⊥AC于D，

∴∠ODC＝∠OCP＝90°，CD＝AC，

∵∠DCO＝∠COP，

∴△ODC∽△PCO，

∴＝，

∴CD·OP＝OC2，

∵OP＝AC，

∴AC＝OP，

∴CD＝OP，

∴OP·OP＝OC2，

∴＝，

∴sin∠CPO＝＝；

（3）解：

如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥BC，

∵AC＝9，AB＝15，

∴BC＝＝12，

当M与A重合时，d＝0，f＝12.∴d＋f＝12，

当CM⊥AB时，

d＝AM，f＝BM，

∴d＋f＝AM＋BM＝15，

当M与B重合时，

d＝9，f＝0，

∴d＋f＝9，

∴d＋f的取值范围是：

9≤d＋f≤15.

针对训练

1．解：

（1）PM是⊙O的切线．理由如下：

如解图，连接DO并延长交PM于E，

∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，

∴OC＝DC，OB＝BD，

∴OC＝OB＝DC＝BD，

∴四边形OBDC为菱形，

∴OC⊥BC，

∴△OCD和△OBD都是等边三角形，

∴∠COD＝∠BOD＝60°，

∴∠COP＝∠EOP＝60°，

∵∠MPB＝∠ADC，∠ADC＝∠ABC，

∴∠MPB＝∠ABC，

∴PM∥BC，

∴OE⊥PM，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠DCP＝90°，

在△OPE和△OPC中，

∴△POE≌△POC（AAS），

∴OE＝OC，

∴PM是⊙O的切线；

（2）由

（1）得∠CPO＝30°，

∴OC＝PC·tan30°＝×＝1，

S四边形OCDB＝2S△OCD＝2××1×＝，

∴四边形OCDB的面积为.

2．

（1）证明：

如解图，过点O作OE⊥AB于点E，

∵AD⊥BO于点D，

∴∠D＝90°，

∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.

∵∠AOD＝∠BAD，

∴∠ABD＝∠OAD.

又∵BC为⊙O的切线，

∴AC⊥BC，

∴∠BOC＋∠OBC＝90°.

∵∠BOC＝∠AOD，

∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.

在△BOE和△BOC中，

∴△BOE≌△BOC（AAS）．

∴EO＝CO，

∵EO⊥AB，

∴AB为⊙O的切线；

（2）解：

∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，

∴∠EOA＝∠ABC，

∵tan∠ABC＝，BC＝6，

∴AC＝BC·tan∠ABC＝8，

在Rt△ABC中，

AB2＝AC2＋BC2，

∴AB＝10.

∵BC，BA都为圆外一点B引出的切线，

∴BE＝BC＝6，

∴AE＝4.

∵tan∠ABC＝tan∠EOA＝，

∴＝，

∴OE＝3，

∴OB＝＝3.

∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，

∴△ABD∽△OBC，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝2.

3．

（1）证明：

如解图，过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连接OA.

∵△ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，

∴OA也是△ABC的高线，也是∠BAC的平分线，

∵AB是⊙O的切线，

∴OD⊥AB，

又∵OF⊥AC，

∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：

设⊙O半径为x，则在Rt△BOD中，OB＝x＋1，由勾股定理，得：

（x＋1）2＝x2＋（）2，解得x＝1，即OD＝OF＝1.

∵sin∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°.

∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，

∴AD＝AF＝OD·tan∠AOD＝.

∴S阴影＝S四边形ADOF－S扇形DOF＝AD·OD·2－π×12＝－＝.

4．

（1）证明：

方法一：

如解图，分别连接OB，OP，　

在△OAP和△OBP中，

，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OBP＝∠OAP，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠OBP＝∠OAP＝90°，且B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线．

方法二：

如解图，连接OB.

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO＝90°.

∵OA＝OB，PA＝PB，

∴∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA.

∴∠PBO＝∠PAO＝90°，

∴PB是⊙O的切线；

（2）解：

连接BC，设AB与OP交于点F，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PO垂直平分AB，PO平分∠APB.

∴OP∥BC，∴∠OPC＝∠PCB.

∵∠APC＝3∠BPC，

∴∠OPC＝∠CPB，

∴∠PCB＝∠CPB.

∴CB＝BP.

设OF＝t，则CB＝BP＝2t，

∵∠OPB＝∠BPF，∠OBP＝∠BFP，

∴△POB∽△PBF，∴＝，即PB2＝PF·PO.

即（2t）2＝PF·（PF＋t）．

解得PF＝t（取正值）．

∵PF∥BC，

∴△PFE∽△CBE，

∴＝，

∴＝＝.