云南中考数学总复习专题训练专题三 圆切线的相关证明及计算精品教育doc.docx

1、云南中考数学总复习专题训练专题三 圆切线的相关证明及计算精品教育doc专题三圆切线的相关证明及计算类型一 角平分线模型 (2019云南省卷)如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AEDC，垂足为E，F是AE与O的交点，AC平分BAE.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AE6，D30，求图中阴影部分的面积【分析】(1)连接OC，先证明OACOCA，结合AC平分BAE，得到OCAE，于是得到OCCD，进而证明DE是O的切线；(2)分别求出OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影SCODS扇形OBC即可得到答案【自主解答】1(2019营口)如图，点E在以AB为直径

2、的O上，点C是的中点，过点C作CDAE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.(1)求证：CD是O的切线；(2)若cosCAD，BF15，求AC的长2如图，半圆O的直径AB5，AC、AD为弦，且AC3，AD平分BAC，过D作AC延长线的垂线，垂足为E.(1)求证：DE为O的切线；(2)求AD的长3(2019聊城)如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆(1)求证：AC是O的切线；(2)已知O的半径为2.5，BE4，求BC，AD的长4(2019咸宁)如图，以ABC的边AC为直径的O恰为ABC的外接圆，ABC的平分线交O于点D，过点

3、D作DEAC交BC的延长线于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AB2，BC，求DE的长5(2019原创)如图，在ABC中，CACB，CAB30，O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分AOC交弧AC于点E，连接AE，EC.(1)求证：CB是O的切线；(2)若M在边AC上，OMCM2，求ABC的面积6(2019成都)如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.(1)求证：BC是O的切线；(2)设ABx，AFy，试用x，y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE8，sin B，求DG

4、的长类型二 弦切角模型 (2019云南省卷)如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，BCDBAC.(1)求证：CD是O的切线；(2)若D30，BD2，求图中阴影部分的面积【自主解答】 1(2019玉林)如图，在ABC中，以AB为直径作O交BC于点D，DACB.(1)求证：AC是O的切线；(2)点E是AB上一点，若BCEB，tanB，O的半径是4，求EC的长2(2019齐齐哈尔)如图，以ABC的边AB为直径画O，交AC于点D，半径OEBD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若DEBDBC.(1)求证：BC是O的切线；(2)若BFBC2，求图中阴影部分的面积3(201

5、9曲靖二模)如图，在RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，过点D作ADEA，交AC于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)若BC15，tan A，求DE的长4(2019兰州)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，ACDB.(1)求证：DC为圆O的切线；(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F，且CEF45，圆O的半径为5，sin B，求CF的长类型三 双切线模型 (2019云南省卷)已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求

6、证：PC是O的切线；(2)设OPAC，求CPO的正弦值；(3)设AC9，AB15，求df的取值范围【分析】 (1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到AOCA，由平行线的性质得到ABOP，ACOCOP，等量代换得到COPBOP，由切线的性质得到OBP90，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过O作ODAC于D，根据相似三角形的性质得到CDOPOC2，根据已知条件得到，由三角函数的定义即可得到结论；(3)连接BC，根据勾股定理得到BC12，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时df的值，从而得到结论【自主解答】1(2019曲靖)如图，AB为O的直径，点C为O上一点，将弧BC沿直线

7、BC翻折，使弧BC的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作MPBADC.(1)判断PM与O的位置关系，并说明理由；(2)若PC，求四边形OCDB的面积2(2019江西)如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作ADBO的延长线于点D，且AODBAD.(1)求证：AB为O的切线；3(2019临沂)如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D，OB与O相交于点E.(1)求证：AC是O的切线；(2)若BD，BE1，求阴影部分的面积4(2019武汉)如图，P

8、A是O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PAPB.(1)求证：PB是O的切线；(2)若APC3BPC，求的值参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)证明：如解图，连接OC，OAOC，OACOCA，AC平分BAE，OACCAE，OCACAE，OCAE，OCDE，AEDE，E90，OCD90，OCCD，又点C在圆O上，DE是圆O的切线；(2)解：在RtAED中，D30，AE6，AD2AE12，在RtOCD中，D30，DO2OCDBOBDBOC，DBOBOCAD4，DO8，CD4，SOCD8，D30，OCD90，DOC60，S扇形OBCOC2，S阴影S

9、CODS扇形OBC，S阴影8，即阴影部分的面积为8.针对训练1(1)证明：如解图，连接OC，点C是的中点，OCBE.AB是O的直径，ADBE，ADOC.ADCD，OCCD，CD是O的切线；(2)解：如解图，连接BC，在AEF和BCF中，AEFBCF，cosCAD，.BCBF12.cosCAD，tanCAD，点C是的中点，BACCAE，在RtABC中，tanBACtanCAE，ACBC16.2(1)证明：AD平分CAB，CADOAD，OAOD，OADODA，ODACAD，ACOD.DEAE，DEOD，DE是O的切线；(2)解：如解图，连接BC交OD于点F.AB是O的直径，ACB90，AC3，AB

10、5，由勾股定理可知BC4.ODAE，ODBC，CFBF2，DEAE，BCAE，DEBC，四边形CEDF是矩形，DECF2，又易得OFAC，CEDFDOOF1，AE4，在RtADE中，AD2.3(1)证明： 连接OE，如解图，OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBEEBC.OEBEBC.OEBC.又C90，OEA90，即ACOE.又OE是O的半径，AC是O的切线；(2)解： 在BCE与BED中，CBED90，EBCDBE，BCEBED.，BE4，BD是O的直径，BD5，BC，又OEBC，AOAD2.5，ABAD5，解得AD.4(1)证明： 连接OD，如解图AC是O的直径，ABC90.BD平

11、分ABC，ABD45.AOD90.DEAC，ODEAOD90，即ODDE.又点D在O上，DE是O的切线；(2)解： 在RtABC中，AB2，BC，AC5，OD.过点C作CGDE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，DGCGOD.DEAC，CEGACB，tanCEGtanACB，即，GE，DEDGGE.5(1)证明： CACB，OAOC，BOCAOAC30.OCB180OACOCAB90，CBCO，OC为O的半径，CB是O的切线；(2)解：如解图，过C点作CFAB交AB于点F，则AFBF，OMCM2，MOCMCO30，OAOC，CAB30.AOC120，AOM90，在RtAOM中，AM2OM4，

12、AC6，在RtACF中，CFAC3，AFCF3，AB2AF6，SABC639.6(1)证明： 如解图，连接OD.AD平分BAC，BADCAD.OAOD，ODAOAD.ODACAD.ODAC，ODBC90，即ODBC.BC是O的切线；(2)解： 连接DF，如解图ODOF，ODFOFD.ODF(180DOF)90DOF.FDC90ODFDOF.DAFDOF，FDCDAF.FDCODA.ADB90ODA，AFD90FDC，ADBAFD.BADDAF，ABDADF.AD2ABAFxy.AD；(3)解： 如解图，连接EF.在RtBOD中，sinB.设O的半径为r，解得r5.经检验，r5是所列分式方程的解

13、AE10，AB18.AE是O直径，AFE90.C90，EFBC.AEFB.sinAEFsin B，AFAEsinAEF10.ODAC，AGFDGO，DGAD.AD，DG.类型二【例2】 (1)证明： 如解图，连接OC.AB是O的直径，ACB90，即ACOOCB90.OAOC，ACOBAC.BCDBAC，ACOBCD.BCDOCB90，即OCD90.OCCD.又OC是O的半径，CD是O的切线；(2)解：D30，OCD90，BOC60，OD2OC.AOC120，A30.设O的半径为x，则OBOCx.x22x.解得x2.如解图，过点O作OEAC，垂足为E，则AECE，在RtOEA中，OEOA1，AE

14、.AC2.S阴影S扇形OACSOAC21.针对训练1(1)证明： AB是直径，ADB90，BBAD90，DACB，DACBAD90，BAC90，BAAC，且AB是O的直径，AC是O的切线；(2)解：BCEB，ECEB，设ECEBx，在RtABC中，tanB，AB8，AC4，在RtAEC中，EC2AE2AC2，x2(8x)242，解得x5，CE5.2(1)证明： AB是O的直径，ADB90，AABD90，又ADEB，DEBDBC，ADBC. DBCABD90，ABBC，又OB是O的半径，BC是O的切线；(2)解： 如解图，连接OD，BFBC2，ADB90，CBDFBD.又OEBD，FBDOEB.

15、OEOB，OEBOBE.CBDEBDOBEABC30，C60.ABBC2，O的半径为.OBDOBEEBD60，OBOD，OBD是等边三角形，BOD60，阴影部分的面积为S扇形OBDSOBD3.3(1)证明： 如解图，连接OD，C90，AB90，OBOD，BODB，又AADE，ADEODBAB90，ODE1809090，DEOD，OD为O的半径，DE是O的切线；(2)解： 在RtABC中，tan A，解得AC20，ECBC，BC为O的直径，EC是O的切线，又AADE，EDEA，EDAECE，DEAC2010.4(1)证明： 如解图，连接OC，OBOC，OBCOCB，AB是圆O的直径，ACB90，

16、OCAOCB90，ACDB，ACDOCA90，OCCD，且OC是圆O的半径，CD是圆O的切线；(2)解： CEF45，ACB90，CFECEF45，CFCE.sin B，AC6，由勾股定理得，BC8，ACDB，ADCCOB，CADBCD，设AD3x，CD4x，在RtOCD中，OC2CD2OD2，即52(4x)2(53x)2，解得x0(舍去)或x，AD，CD，CEFACDCDE，CFEBBDF，ACDB，CDEBDF，CDEBDF，即，CECF，CF.类型三【例3】 (1)证明：如解图，连接OC，OAOC，AOCA，ACOP，ABOP，ACOCOP，COPBOP，PB是O的切线，AB是O的直径，

17、OBP90，在POC与POB中，COPBOP，OCPOBP90，OC是O的半径，PC是O的切线；(2)解：如解图，过O作ODAC于D，ODCOCP90，CDAC，DCOCOP，ODCPCO，CDOPOC2，OPAC，ACOP，CDOP，OPOPOC2，sinCPO；(3)解：如解图，连接BC，AB是O的直径，ACBC，AC9，AB15，BC12，当M与A重合时，d0，f12.df12，当CMAB时，dAM，fBM，dfAMBM15，当M与B重合时，d9，f0，df9，df的取值范围是：9df15.针对训练1解： (1)PM是O的切线理由如下：如解图，连接DO并延长交PM于E，弧BC沿直线BC翻

18、折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，OCDC，OBBD，OCOBDCBD，四边形OBDC为菱形，OCBC，OCD和OBD都是等边三角形，CODBOD60，COPEOP60，MPBADC，ADCABC，MPBABC，PMBC，OEPM，CD是O的切线，DCP90，在OPE和OPC中，POEPOC(AAS)，OEOC，PM是O的切线；(2)由(1)得CPO30，OCPCtan301，S四边形OCDB2SOCD21，四边形OCDB的面积为.2(1)证明：如解图，过点O作OEAB于点E，ADBO于点D，D90，BADABD90，AODOAD90.AODBAD，ABDOAD.又BC为O的切线，ACBC

19、，BOCOBC90.BOCAOD，OBCOADABD.在BOE和BOC中，BOEBOC(AAS)EOCO，EOAB，AB为O的切线；(2)解：ABCBAC90，EOABAC90，EOAABC，tanABC，BC6，ACBCtanABC8，在RtABC中，AB2AC2BC2，AB10.BC，BA都为圆外一点B引出的切线，BEBC6，AE4.tanABCtanEOA，OE3，OB3.ABDOBC，DACB90，ABDOBC，AD2.3(1)证明： 如解图，过点O作OFAC，垂足为点F，连接OA.ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，OA也是ABC的高线，也是BAC的平分线，AB是O的切线，OD

20、AB，又OFAC，OFOD，即OF是O的半径，AC是O的切线；(2)解： 设O半径为x，则在RtBOD中，OBx1，由勾股定理，得：(x1)2x2()2，解得x1，即ODOF1.sinBOD，BOD60.AOD90BOD30，ADAFODtanAOD.S阴影S四边形ADOFS扇形DOFADOD212.4(1)证明： 方法一：如解图，分别连接OB，OP，在OAP和OBP中，OAPOBP(SSS)，OBPOAP，PA是O的切线，OBPOAP90，且B在O上，PB是O的切线方法二：如解图，连接OB.PA是O的切线，PAO90.OAOB，PAPB，OABOBA，PABPBA.PBOPAO90，PB是O的切线；(2)解： 连接BC，设AB与OP交于点F，AC是O的直径，ABC90，PA，PB是O的切线，PO垂直平分AB，PO平分APB.OPBC，OPCPCB.APC3BPC，OPCCPB，PCBCPB.CBBP.设OFt，则CBBP2t，OPBBPF，OBPBFP，POBPBF，即PB2PFPO.即(2t)2PF(PFt)解得PFt(取正值)PFBC，PFECBE，.