第四章三角形.docx

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第四章三角形

第四章三角形教学案

主备人：

学科：

数学备课时间：

4.1认识三角形

（1）

教学目标：

1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；

2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”；

3、按角将三角形分成三类。

教学重难点：

三角形内角和定理推理和应用。

教学设计：

（一）预习准备

（1）预习书81-84页

（2）思考①三角形的角之间的关系②三角形的分类

（3）预习作业

三角形中角的关系：

（1）三角形的三个内角之和是；

（2）直角三角形的两个锐角

三角形的分类：

按角分为三类：

三角形；三角形和三角形。

（二）教学过程

例1证明三角形的内角和为180°

例2在△ABC中，

（1）

=

（2）

=

（3）在△ABC中，

的外角是120°，

的度数是

度数的一半，求△ABC的三个内角的度数

变式训练：

在△ABC中

（1）

=

（2）若

=55°，

那么

=,

=

例3已知△ABC中，

试判断此三角形是什么形状？

变式训练：

已知△ABC中，

试判断此三角形是什么形状？

例4如图，在△ABC中，

CD⊥AB于点D，

例5

如图，已知

的度数。

回顾小结：

1、三角形的三个内角的和等于180°；

2、三角形按角分为三类：

（1）锐角三角形

（2）直角三角形（3）钝角三角形

3、直角三角形的两个锐角互余

（三）板书设计

三角形定义

认三角形内角和定理

识分类：

按角的大小分类

三

形直角三角形的两个锐角互与

四、当堂检测

1如图在锐角三角形ABC中，BE、CD分别垂直AC、AB，若

，求

的度数。

拓展：

1、如图所示，求

的度数。

2、如图在△ABC中，已知

的度数。

教学反思

4.1认识三角形教学案

（2）

主备人：

学科：

数学备课时间：

一、教学目标：

1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发掌空间观念、推理能力和有条理地表达能力；

2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系：

“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

二、教学重点：

三角形三边关系：

“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

三、教学难点：

灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。

四、教学设计

（一）预习准备

（1）预习书85-86页

（2）思考①什么叫三角形？

②三角形的基本构造③三角形的三边关系

（3）预习作业：

如图，已知AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，点F是AE的中点，则图中有个三角形，个直角三角形，个锐角三角形，个钝角三角形；以

为内角的三角形有个，它们分别是；以BE为一边的三角形是。

（二）学习过程

1、三角形的有关概念

（1）三角形的定义：

由不在上的三条线段首尾相连所组成的图形。

（2）三角形的基本构造：

①组成三角形的三条线段叫做三角形的

②两条边相接的点叫做三角形的

③相邻两边组成的角叫做三角形的

2、三角形的三边关系：

（1）三角形任意两边之和第三边

（2）三角形任意两边之差第三边

例1图中共有几个三角形？

并把它们用符号表示出来。

例2下面各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能组成三角形。

（1）1；4；5

（2）3；3；5

（3）3x；5x；7x（x为正数）（4）三条线段长度之比为4：

7：

6

变式训练：

有下列长度的三条线段能否构成三角形？

为什么？

（1）3；4；8

（2）5；6；11（3）5；7；10

（4）4；4；9（5）5；5；5

例3小明要制作一个三角形铁丝架，已知有两根铁丝长度分别是3cm，5cm

（1）他该如何选择第三根铁丝？

你能帮助小明确定它的长度或范围吗？

（2）如果要求第三根铁丝的长度是整数，那么小明有几种选择？

变式训练：

1、已知两条线段的长为5cm和8cm，要订成一个三角形，试求：

（1）第三条线段的长度范围；

（2）若第三条线段的长度为奇数，求此时三角形的周长。

2、已知等腰三角形中，有两边长为3和7，求此等腰三角形的底边和腰长

回顾小结：

掌握三角形三边关系：

“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

板书设计

三角形任意两边之和大于第三边

三角形的三边关系

三角形任意两边之差小与第三边

三、当堂检测

例4如图所示，在小河的同侧有A,B,C三个村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？

请利用你所学的数学知识加以证明。

拓展：

1、若设

是△ABC的三边，则

=

2、已知

是△ABC的三边，

，且三角形的周长是偶数，

（1）求c的值；

（2）判断△ABC的形状。

教学反思

4.1认识三角形（3）

主备人：

学科：

数学备课时间

【教学目标】：

1、三角形的角平分线、中线的定义。

2、利用三角形的角平分线和中线的性质解决有关的计算问题。

【教学重点】：

三角形的角平分线和中线的概念

（一）知识链接

1．把一个角分成两个相等的射线叫做这个角的________。

2.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，

这个角的顶点与交点之间的叫做三角形的。

一个三角形共有条角平分线，它们相交于点。

（二）教学过程

活动一

1、已知如图，AD是△ABC的平分线，

思考：

①==

，

②若∠BAC=800，则∠BAD=，∠CAD=。

2．已知如图，AD是△ABC中BC是的中线，则

思考：

①BDDC

BC，

②若BC=8cm，则BD=，CD=。

③S△ABDS△ADC

S△ABC，

活动二1、请在△EFG中画出三个角的平分线，在△IHJ中画出三条中线。

猜测：

①三条角平分线之间有怎样的位置关系？

②三条中线之间有怎样的位置关系？

2、每人准备锐角三角形、钝角三角形、直角三角形纸片个两个，

①、用折纸的方法得到三角形三条角平分线

②、用折纸的方法得到三角形三条中线

观察：

三角形三条角平分线、三条中线有怎样位置关系？

结论：

三角形的三条角平分线交于点，三条中线交于点。

【课堂探究】

例1：

如图1，Rt△ABC中，∠A=90º，∠C=40º，BD是角平分线，求∠ADB，∠CBA的度数。

解∴∠CBA=50º

∵BD是线

∴∠ABD=25º

∴∠ADB=90º-∠ABD=90º-

=

变式训练：

如图，△ABC中，∠ABC=∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC=87，求∠A的度数。

例2，如图4，若BC是Rt△ADB中DA边上的中线，∠D=90º，AB=2BD，且△BDC的周长是7，比△ABC的周长少2，求BD，BA的长。

解：

∵BC是Rt△ADB中DA边上的中线，

∴DC=

∵△BDC的周长比△ABC的周长少2

∴（AB+BC+CA）-（BD+BC+DC）=2

即AB-BD=2

又∵AB=2BD

∴2BD-BD=2

∴BD=∴BA=2BD=

变式训练：

在△ABC中，AB=AC，中线BD把这个三角形的周长分成15和16两部分，

求BC边的长。

课堂小结

1、三角形的中线及三者之间的关系

2、三角形的角平分线及三者之间的关系

【当堂检测】

1、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，已知

∠B=300，∠C=400，则∠BAD=度。

2、已知△ABC中，AC=5cm。

中线AD把△ABC分成两个小三角形，且△ABD的周长比△ADC的周长大2cm。

你能求出AB的吗？

①若将条件变为：

“这两个小三角形的周长的差

是2cm”，你能求出AB的长吗？

②已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AC=8cm，

AB=5cm，求△ADC与△ABD的周长差？

3、如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平线。

（1）若∠ABC=600，∠ACB=500，求∠BDC的度数。

（2）若∠A=600，求∠BDC的度数。

（3）若∠A=

，求∠BDC的度数（用

的代数式表示）。

教学反思

4.1认识三角形（四）教学案

主备人：

学科：

数学备课时间

【教学目标】：

1、经历折纸和画图等实践过程，认识三角形的高；

2、会画任意三角形的高；

3、会用三角形高的知识解决简单的实际问题。

【教学重点】：

三角形高的概念和画法

【教学难点】：

直角三角形和钝角三角形的高和例题

【教学过程】：

（一）、知识链接

1、垂线：

如果两直线相交成，则两直线互相，其中一条直线是另一条直线的。

2、分别过A、B、两点作直线a的垂线

A·

a

·B

（二）、探索新知

1、高线的叙述：

①AD是△ABC的边上的高。

②ADBC垂足为D

③∠=∠=90°

④三角形BC边上的高AD是（线段射线直线）

2、三角形高线的定义：

_______________________________

3、识别三角形的高:

如图△ABC中:

BC边上的高______;AB边上的高______;AC边上的高

4、画高线:

用三角尺分别画出图中锐角△ABC，直角△DEF，钝角△PQR的各边上的高。

问题：

一个三角形有几条高？

（1）锐角三角形的三条高都在三角形的，垂足在相应顶点的对边上

且三条高相交于点；

（2）直角三角形的斜边上的高在三角形的，一条直角边上的高是另

一条直角边，三条高相交于；

（3）钝角三角形的钝角所对的边上的高在三角形的，另两条边上的高

均在三角形的，三条高的延长线也相交于点。

结论：

三角形的三条高所在的直线交于点。

【课堂探究】

例1：

如图，在⊿ABC中，AE，AD分别是高线和角平分线，

已知∠BAC=800，∠C=380，

求∠DAE的度数

课堂小结

三角形高线的定义

板书设计

三角形三条高线的位置关系

【当堂达标】

1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（）

2、下列说法正确的是（）

A、三角形的三条高线都在三角形内部

B、三角形的高线、中线、角平分线都是线段

C、三角形高线是垂线

D、三角形角平分线是射线

3已知：

∠ACB=90°，CD是△ABC的高线∠A=30°

求：

∠ACD、∠BCD

4、已知：

∠ACB=90°CD⊥ABAB=13BC=12AC=5

求：

（1）S△ABC

（2）CD长

教学反思

4.2图形的全等教学案

主备人：

学科：

数学备课时间

一、教学目标：

1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.

2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.

3.掌握全等多边形性质与识别方法，全等三角形的性质.

4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.

二、教学重点:

全等多边形的性质与识别方法；全等三角形的性质应用.

三、教学难点:

平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.

四、教学设计:

（一）引入

观察教材P92图4-21几组图形。

（二）教学过程

阅读课本92-94填空：

_________________两个图形就是全等图形。

全等图形的________和______都相同。

下面，我们看看图形的运动对全等图形有何影响?

活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形，先将这个多边形沿某一方向平移一定距离（与原图形无重叠）；再将原多边形绕形外一点顺时针（或逆时针）旋转一定角度（与原图形无重叠）；然后将原图形沿形外某格线对称；最后将这些图形剪下来，将其叠合.

1、你能发现什么?

2、通过这个活动过程，说明了什么问题?

3、请你说说什么是全等多边形?

什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?

3、你认为全等多边形有何特征?

如图1，四边形ABCD与四边形EFGH全等，可记为四边形ABCD≌四边形EFGH，请指出对应顶点、对应角、对应边.

全等多边形的识别方法：

如果两个多边形对应边、对应角分别相等，那么这两个多边形全等.

三角形是特殊的多边形，所以，全等三角形的对应边、对应角分别相等；如果两个三角形的___________、__________分别相等，那么这两个多边形全等.

例1如图2，已知将△ABC绕其顶点A顺时针方向旋转

20°后得到△ADE.

（1）△ABC与△ADE的关系如何?

（2）求∠BAD的度数.

分析：

将△ABC绕其顶点A旋转得到△ADE，故△ADE是由△ABC旋转得到的，若将△ADE逆时针方向旋转20°，则能与△ABC重合，所以△ABC与△ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.

探索：

请同学们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、旋转、对称几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?

并画出这些位置关系的代表性图形.

板书设计

定义

全等图形

性质

图形的全等

定义

全等三角形

性质

当堂检测

1、全等三角形的概念：

能够___________的两个三角形称为全等三角形，其中能够_______的顶点，称为对应顶点；能够_________的边，称为对应边；能够_________的角，称为对应角

2、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边_________，对应角__________

3、全等图形的表示：

如下图，ΔABC与ΔXYZ全等，我们用符号“_________”表示全等，记作“_______________________”，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上

4、在图中找出两对全等三角形，并指出其中的对应角和对应边

5、找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形

6、如图，ΔABC≌ΔAEC，∠B=300，∠ACB=850，求ΔAEC个内角的度数

7、如图，ΔAOD≌ΔBOC，写出其中相等的角

8、如图，ΔABC≌ΔA’B’C’，∠C=250，BC=6cm，AC=4cm，你能得出ΔA’B’C’中那些角的大小，哪些边的长度？

9、如图，一栅栏顶部是由全等的三角形组成的，其中AC=0.2m,BC=2AC，求BD的长

教学反思

4.3探索三角形全等的条件教学案

（1）

主备人：

学科：

数学备课时间

一、教学目标：

1．经历探索三角形全等的“边边边”的条件的过程．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

二、教学重点：

三角形全等的条件．

三、教学难点：

寻求三角形全等的条件

四、教学设计：

（一）、预习准备

（1）回忆前面研究过的全等三角形．

（2）预习课本P157-158

（二）、教学过程

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是：

AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．

相等的角是：

∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．

（1）提出问题：

你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

（提示：

可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

（２）小明家衣橱上两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明快速配一块回来，如果只有一把尺子，小明该怎么办？

讨论下面几种情况：

1．给一个条件：

只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出两个条件可能是：

①一边一内角；②两内角；③两边．

可以发现按这些条件画出的三角形都_______________保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能．即：

三内角、三条___、两边一内角、两_____一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

1．作图方法：

先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．

2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．

这反映了一个规律：

_______________的两个三角形全等，简写为_________或_________．

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的__________．

[例1]如图，1、如图，△ABC中AB=AC，D为BC中点

求证：

①△ABD≌△ACD．

②∠BAD=∠CAD

③AD⊥BC

证明：

小结：

1、证明三角形全等的一般步骤：

①把非直接条件（公共边、公共角、对顶角，平行线，平行四边形等图形中的隐含条件）转化为直接条件（三角形中的对应相等的边或角）

②在△与△中∵

∴△≌△

当堂检测

1、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请

推导下列结论：

⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．

2、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.

⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；

⑵在⑴的基础上，求证：

DE∥BF.

教学反思

4.3探索三角形全等的条件教学案

（2）

主备人：

学科：

数学备课时间

一、教学目标

1、探索出三角形全等的条件“ASA”和“AAS”并能应用它们来判定两个三角形

是否全等。

2、体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程。

3、能够有条理的思考和理解简单的推理过程，并运用数学语言说明问题。

4、敢于面对数学活动中的困难，并能通过合作交流解决遇到的问题。

二、教学重点

掌握三角形全等条件“ASA”和“AAS”，并能应用它们来判定两个三

角形是否全等。

三、教学难点

探索“AAS”的条件

四、教学设计：

1.温故而知新

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD全等吗？

你能说明理由吗？

2、创设情景，引入新课

提问：

一张三角形的纸片，被斯成三部分，究竟用那部分可

画出原图一样的三角形？

探究练习1.

两角和它们的夹边

将学生分组小组分工合作完成下列问题：

画一个△ABC使它满足以下条件：

第一组：

∠A=90°,∠B=30°,AB=10cm

第二组：

∠A=60°,∠B=45°,AB=9cm

________________________对应相等的两个三角形全等；

（简写为_____________或者______________）

探究练习2.

如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60°和45°，一条边长为10cm，情况会怎样呢？

（1）如果角60°所对的边为10cm，你能画出这个三角形吗？

（2）如果角45°所对的边为10cm，那么按这个条件画出的三角形都全等吗？

结论___________________________对应相等的两个三角形全等

简写为________________________________

思考：

若两个三角形具备两角和其中一个角的对边分别相等，哪么这两个三角形全等，你认为对吗？

能举例说明吗？

课堂小结:

1.两边及其夹角相等的两三角形全等

2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

当堂检测

例1.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。

（若把“AO=DO”去掉，答案又会有怎样的变化呢？

）

变式训练：

如图：

已知BD＝CE，∠B＝∠C，△ABD与△ACE全等吗？

为什么？

例2、如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？

为什么？

变式训练：

已知：

如图，AB=DC，∠A=∠D．试说明：

∠1=∠2．

拓展延伸

如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．

⑴图中有全等三角形吗？

请找出来，并证明你的结论．

⑵若连结DE，则DE与AB有什么关系？

并说明理由．

教学反思

3.3探索三角形全等的条件教学案（3）

主备人：

学科：

数学备课时间

一、教学目标：

1、明确SAS公理的内容，能用SAS证明两个三角形全等。

2、通过SAS公理的运用提高学生的逻辑思维能力，通过观察几何图形培养学生识图能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点：

通过动手操作得出“SAS”可以判定两个三角形全等.

三、教学难点：

通过操作发现“两边及其一边的对角对应相等”不能成为三角形全等的条件.

四、教学设计：

一．回顾引入：

师：

到目前为止，你能用哪些方法来判定三角形全等？

_____________________________________

师：

ASA，AAS同是两角一边，有什么区别？

师：

请看下面的图形，已知1=3，BE=CF你能只添加一个条件证出△ABC≌△DEF

吗？

二．教学过程：

提出问题：

据前面的探索过程可知，至少需要三个条件，除上述三种情况外还有哪种情况？

两边与一角对应相等，可以分几种关系？

1、两边及其夹角对应相等；

2、两边及其中一边的对角对应相等。

我们可以通过什么途径来验证以上条件能否得出全等结论？

实践探索1：

两边及其夹角对应相等

请同学们画一个三角形，两边分别为20cm、16cm，且夹角为40度。

小组比较交流图形能否重合。

思考：

若改变图中的角度和边长也能重合吗？

明晰：

________________________的两个三角形全等。

（或__