92 921 总体取值规律的估计.docx
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92921总体取值规律的估计
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
课标要求
素养要求
结合实例，能用样本估计总体的取值规律.
在学习绘制频率分布直方图的过程中，掌握应用频率分布直方图等统计图表估计总体的取值规律，发展学生数据分析的素养.
教材知识探究
下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2017年的特朗普，共45任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48，70.
问题 你能很容易地看出这些数据有什么规律吗？
若不能，对这些数据如何处理才可以？
提示 不能.应对这些数据进行整理，用统计图表表示出来才容易看出其规律.
1.画频率分布直方图的步骤
画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率
（1）求极差：
极差是一组数据中最大值与最小值的差.
（2）决定组距与组数：
当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.
（3）将数据分组.
（4）列频率分布表：
一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.
（5）画频率分布直方图：
横轴表示样本数据，纵轴表示
.小长方形的面积＝组距×
＝频率.各小长方形的面积和等于1.）
2.其它统计图表
统计图表
主要应用
扇形图
直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图
直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图
描述数据随时间的变化趋势
教材拓展补遗
[微判断]
1.频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.（√）
2.频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.（×）
3.扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例.（×）
提示 2.频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率.
3.条形图可以表示频率或频数.
[微训练]
1.把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康.如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到（ ）
A.79%B.80%C.18%D.82%
解析 79%＋1%＋2%＝82%.
答案 D
2.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为（ ）
A.20B.30C.40D.50
解析 样本数据落在[15，20]内的频数为100×[1－5×（0.04＋0.1）]＝30.
答案 B
[微思考]
1.为什么要对样本数据进行分组？
提示 不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征.
2.频数分布表与频率分布直方图有什么不同？
提示 频数分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律.
题型一 画频率分布直方图
【例1】 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：
分）及各组的频数如下：
[40，50），2；[50,60），3；[60,70）,10；[70,80）,15；[80，90），12；[90，100]，8.
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在[60，90）分的学生比例.
解
（1）频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
累积频率
[40，50）
2
0.04
0.04
[50，60）
3
0.06
0.1
[60，70）
10
0.2
0.3
[70，80）
15
0.3
0.6
[80，90）
12
0.24
0.84
[90，100]
8
0.16
1.00
合计
50
1.00
（2）频率分布直方图如图所示.
（3）学生成绩在[60，90）分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%，所以估计成绩在[60，90）分的学生比例为74%.
规律方法 绘制频率分布直方图的注意点
（1）各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1；
（2）频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律；
（3）在xOy坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝
，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、
为高的小矩形的面积来表示.其中，矩形的高＝
＝
×频数；
（4）同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同；
（5）同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个相同容量的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看做总体的分布.
【训练1】 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[1.30，1.34）
4
[1.34，1.38）
25
[1.38，1.42）
30
[1.42，1.46）
29
[1.46，1.50）
10
[1.50，1.54]
2
合计
100
（1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在[1.38，1.50）内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
解
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[1.30，1.34）
4
0.04
[1.34，1.38）
25
0.25
[1.38，1.42）
30
0.30
[1.42，1.46）
29
0.29
[1.46，1.50）
10
0.10
[1.50，1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示.
（2）利用样本估计总体，则纤度落在[1.38，1.50）的可能性即为纤度落在[1.38，1.50）的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
题型二 频率分布直方图的综合应用
【例2】 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？
解
（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
因为第二小组的频率＝
，
所以样本容量＝
＝
＝150.
（2）由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为
×100%＝88%.
【迁移1】 （变结论）在例2条件下，试求样本中不达标的学生人数.
解 样本的达标率为88%，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18（人）.
【迁移2】 （变结论）在例2条件下，试求次数在130以上（含130次）的学生人数.
解 次数在130以上（含130次）的学生人数为：
×150＝36.
规律方法 解决与频率分布直方图有关问题的关系式
由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
（1）
×组距＝频率.
（2）
＝频率，此关系式的变形为：
样本容量×频率＝频数.
【训练2】 某校100名学生期中考试语文成绩（单位：
分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
（2）若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解
（1）依题意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，解得a＝0.005.
（2）数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）之间的人数为100×0.4×
＝20，数学成绩在[70，80）之间的人数为100×0.3×
＝40，数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2×
＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
题型三 折线图、条形图、扇形图及应用
【例3】 如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：
℃）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温（单位：
℃）的扇形统计图和条形统计图.
解 该城市3月1日至10日的最低气温（单位：
℃）情况如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最低气温（℃）
－3
－2
0
－1
1
2
0
－1
2
2
其中最低气温为－3℃的有1天，占10%，最低气温为－2℃的有1天，占10%，最低气温为－1℃的有2天，占20%，最低气温为0℃的有2天，占20%，最低气温为1℃的有1天，占10%，最低气温为2℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示.
条形统计图如下图所示：
规律方法 1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.
2.扇形图是用整个圆面积表示总数（100%），用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.
3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.
【训练3】 如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（ ）
A.250B.150C.400D.300
解析 甲组人数是120，占30%，则总人数是
＝400.则乙组人数是400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250.
答案 A
一、素养落地
1.通过学习频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图及其应用，重点培养数据分析素养.
2.由于总体取值不易知道，因此我们用样本取值的规律去估计总体取值的规律，并且常借助于如下统计图表：
频率分布直方图、条形图、折线图、扇形图等.
二、素养训练
1.200辆汽车经过某一雷达地区，时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h（含60km/h）的汽车数量为（ ）
A.65辆B.76辆C.88辆D.95辆
解析 由频率分布直方图可得数据落在[60，80）内的频率是（0.028＋0.010）×10＝0.38，故时速超过60km/h（含60km/h）的汽车数量为200×0.38＝76（辆）.
答案 B
2.甲、乙两个城市2018年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________城市（填“甲”“乙”）.
解析 从折线统计图可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大.
答案 甲
3.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.
解析 设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝
，所以前三组数据的频率分别是
，
，
，故前三组数据的频数之和为
＋
＋
＝27，解得n＝60.
答案 60
4.已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，6，7，10，第五组的频率是0.2，求第六组的频数和频率.
解 频数＝频率×样本容量，因为第五组的频率是0.2，样本容量是40，所以频数是0.2×40＝8，所以第六组的频数是40－（5＋6＋7＋10＋8）＝4，频率是
＝0.1.
基础达标
一、选择题
1.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40）的频率为（ ）
A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65
解析 由表得样本数据落在区间[10，40）的频率为
＝0.45.
答案 B
2.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：
cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.（ ）
A.21B.22C.23D.24
解析 底部周长在[80，90）的频率为0.015×10＝0.15，
底部周长在[90，100）的频率为0.025×10＝0.25，
样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为（0.15＋0.25）×60＝24.
答案 D
3.如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的（ ）
A.20%B.30%C.50%D.60%
解析 某校高一年级学生总数为60＋90＋150＝300（人），骑自行车人数为90，骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为
×100%＝30%.
答案 B
4.如图是某市2018年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是（ ）
A.4月1日B.4月2日
C.4月3日D.4月5日
解析 由折线图可以看出，该市日温差最大的一天是4月5日.
答案 D
5.为了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了n名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间（单位：
小时）在[10，50]内，其中锻炼时间在[30，50]内的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则n＝（ ）
A.150B.160C.180D.200
解析 由频率分布直方图得锻炼时间在[30，50]内对应的频率为1－（0.010＋0.023）×10＝0.670，所以n＝
＝200.
答案 D
二、填空题
6.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，单位：
分）分成六段：
[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，第四小组的频率为________.
解析 第四小组的频率为1－（0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005）×10＝0.3.
答案 0.3
7.某公司2019年在各项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资额占比情况，已知在1万元以上的项目中，少于3万元的项目投资额占
，那么不少于3万元的项目共投资________万元.
解析 由题意得，在1万元以上的项目中，不少于3万元的项目投资额占
，而1万元以上的项目的投资额占总投资的比例为1－46%－33%＝21%，所以不少于3万元的项目共投资500×21%×
＝65（万元）.
答案 65
8.一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为
，则第三组的频数为________.
解析 因为频率＝
，所以第二、四组的频数都为72×
＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.
答案 24
三、解答题
9.某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？
（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的条形统计图.请结合统计图回答下列问题：
图1
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？
占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
图2
解
（1）由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50（名）.即该校对50名学生进行了抽样调查.
（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，
×100%＝36%.
即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
（3）1－（30%＋26%＋24%）＝20%，200÷20%＝1000（人），
×1000＝160（人）.
即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.
10.某市2019年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，
95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
（1）完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
解
（1）频率分布表：
分组
频数
频率
[41，51）
2
[51，61）
1
[61，71）
4
[71，81）
6
[81，91）
10
[91，101）
5
[101，111]
2
（2）频率分布直方图如图所示.
（3）答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的
；有26天处于良的水平，占当月天数的
；处于优或良的天数为28，占当月天数的
.说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的
；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的
，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.
能力提升
11.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析 由折线图，可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少.A错误.
答案 A
12.某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽到100名学生的笔试成绩（满分200分），按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165）
5
0.05
第2组
[165，170）
①
0.35
第3组
[170，175）
30
②
第4组
[175，180）
20
0.20
第5组
[180，185]
10
0.10
合计
100
1.00
（1）请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
解
（1）由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为
＝0.30，故①处应填35，②处应填0.30.
频率分布直方图如图.
（2）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为
＝
，故第3组应抽取30×
＝3（名）学生，第4组应抽取20×
＝2（名）学生，第5组应抽取10×
＝1（名）学生，所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.
创新猜想
13.（多选题）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.
下列说法正确的是（ ）
A.月收入低于5000元的职工有5500名
B.如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税
C.月收入高于或等于7000元的职工约为当地职工的5%
D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5000，6000）内
解析 月收入低于5000元的职工有10000×（0.0001＋0.0002＋0.00025）×1000＝5500（名），A正确；
如果个税起征点调整至5000元，由（0.00025＋0.00015＋0.00005）×1000×100%＝45%，可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；
月收入高于或等于7000元的职工约占0.00005×1000×100%＝5%，C正确；
月收入低于5000元的频率为0.55，低于6000元的频率为0.8，D正确.
答案 ACD
14.（多填题）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：
分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].则
（1）图中的x＝________；
（2）若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿.
解析
（1）由频率分布直方图知20x＝1－20×（0.025＋0.0065＋0.003＋0.003），解得x＝0.0125.
（2）上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20＝0.12，因此估计有0.12×600＝72（人）可以申请住宿.
答案
（1）0.0125
（2）72
升级会员 